聚点定理（Bolzano-Weierstrass定理）
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第22题证明题
22．用有限覆盖定理、致密性定理、区间套定理证明下列结论．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上仅有第一类不连续点，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [a, b]$ 士 且 $\displaystyle \forall x_{0} \in[a, b], \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 定义在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内，若对任意的 $\displaystyle c \in(a, b)$ ，都有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} f(x)$（或 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(x), f_{-}^{\prime}(x)$ ）存在，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{+}} f(x)$ 也存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内有界。华中师大 2009 ，扬州大学 2003）
（5）若 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上，$\displaystyle \forall x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle x$ 的邻域使 $\displaystyle f(x)$ 在该邻域内有界．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界。
（6）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，则必存在 $\displaystyle [a, b]$ 上的某点，使得 $\displaystyle f(x)$ 在该点的任何邻域内无界．
（7）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，证明：（1）$\displaystyle \exists\left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\infty$ ； （2）$\displaystyle \exists c \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \forall \delta>0, f(x)$ 在 $\displaystyle (c-\delta, c+\delta) \cap[a, b]$ 上无界．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上仅有第一类不连续点，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [a, b]$ 士 且 $\displaystyle \forall x_{0} \in[a, b], \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 定义在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内，若对任意的 $\displaystyle c \in(a, b)$ ，都有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} f(x)$（或 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(x), f_{-}^{\prime}(x)$ ）存在，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{+}} f(x)$ 也存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内有界。华中师大 2009 ，扬州大学 2003）
（5）若 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上，$\displaystyle \forall x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle x$ 的邻域使 $\displaystyle f(x)$ 在该邻域内有界．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界。
（6）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，则必存在 $\displaystyle [a, b]$ 上的某点，使得 $\displaystyle f(x)$ 在该点的任何邻域内无界．
（7）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，证明：（1）$\displaystyle \exists\left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\infty$ ； （2）$\displaystyle \exists c \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \forall \delta>0, f(x)$ 在 $\displaystyle (c-\delta, c+\delta) \cap[a, b]$ 上无界．
第25题证明题
25．一个函数 $\displaystyle f(x):[a, b] \rightarrow \mathbf{R}$ 称作上半连续的，假如对给定的 $\displaystyle x \in[a, b]$ 及 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，存在一个 $\displaystyle \delta>0$ ，使得若 $\displaystyle y \in[a, b],|y-x|<\delta$ ，则 $\displaystyle f(x)<f(y)+\varepsilon$ ．证明：$\displaystyle [a, b]$ 上的上半连续函数是有上界的，且在某个点 $\displaystyle c \in[a, b]$ 处达到最大值．
第27题证明题
27．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ ：连续，且对每一个 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle y \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle |f(y)| \leqslant \frac{1}{2}|f(x)|$ 。证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0$ 。（浙江大学 2005 ，南开大学 2008 ，深圳大学 2004 ，扬州大学 2011 ，江苏大学 $\displaystyle 2007 / 2012$ ，西北大学 2004 ，沈阳工大 2009 ，苏州科技 2008 ，哈工大 2004 ，华东理工 2002 ，首都师大 2012$\displaystyle )$
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，对任 何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle y \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle z \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ，使得 $\displaystyle |f(y)| \leqslant z|f(x)|$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上至少有一个零点．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且存在 $\displaystyle \lambda \in(0,1)$ ，对任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle y \in[a, b]$ 使 $\displaystyle |f(y)| \leqslant \lambda|f(x)|$ ．则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内有零点．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ ：连续，且对每一个 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle y \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle |f(y)| \leqslant \frac{1}{2}|f(x)|$ 。证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0$ 。（浙江大学 2005 ，南开大学 2008 ，深圳大学 2004 ，扬州大学 2011 ，江苏大学 $\displaystyle 2007 / 2012$ ，西北大学 2004 ，沈阳工大 2009 ，苏州科技 2008 ，哈工大 2004 ，华东理工 2002 ，首都师大 2012$\displaystyle )$
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，对任 何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle y \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle z \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ，使得 $\displaystyle |f(y)| \leqslant z|f(x)|$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上至少有一个零点．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且存在 $\displaystyle \lambda \in(0,1)$ ，对任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle y \in[a, b]$ 使 $\displaystyle |f(y)| \leqslant \lambda|f(x)|$ ．则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内有零点．
第32题证明题
32．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且有数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}: x_{n} \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=A$ ，则存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=A$.
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ ：连续，且有唯一的最大值点 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ．若有数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}: x_{n} \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} f\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且有数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}: x_{n} \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=A$ ，则存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=A$.
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ ：连续，且有唯一的最大值点 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ．若有数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}: x_{n} \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} f\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ．
第35题证明题
35．叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理，并证明之．（北京大学 2014（用致密性定理证明），中山大学 2013，浙江大学 2003，安徽大学 2002，北京科技 2012）
第41题证明题
41．证明下列结论．
（1）若连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，且 $\displaystyle f_{n}(x) \leqslant f_{n+1}(x)$ ．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必有最小值．
（2）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是定义在有界闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数列，且满足：
i）$\displaystyle \forall x \in[a, b], f_{1}(x) \geqslant f_{2}(x) \geqslant \cdots \geqslant f_{n}(x) \geqslant \cdots$ ，ii）$\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)$ 处处收敛。
试证：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必有最大值．
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，而 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上是非负连续函数，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$取到最小值．
（1）若连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，且 $\displaystyle f_{n}(x) \leqslant f_{n+1}(x)$ ．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必有最小值．
（2）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是定义在有界闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数列，且满足：
i）$\displaystyle \forall x \in[a, b], f_{1}(x) \geqslant f_{2}(x) \geqslant \cdots \geqslant f_{n}(x) \geqslant \cdots$ ，ii）$\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)$ 处处收敛。
试证：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必有最大值．
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，而 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上是非负连续函数，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$取到最小值．
第57题证明题
57．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 至多只有一个实根，则方程 $\displaystyle f(x)=0$ 最多只有两个实根．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(x)$ 的每个零点都是简单零点（即若 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ）．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上只有有限个零点．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 至多只有一个实根，则方程 $\displaystyle f(x)=0$ 最多只有两个实根．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(x)$ 的每个零点都是简单零点（即若 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ）．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上只有有限个零点．