莱布尼茨公式
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第6题计算题
6．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1}(\ln x)^{n} \mathrm{~d} x$. ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}+1} x^{2} \ln (x-1) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left[\frac{x(1+x)}{\sqrt{1+2 x}}+\ln x\right] \mathrm{d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{e^{-1}}^{e}|\ln x| d x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1}(\ln x)^{n} \mathrm{~d} x$. ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}+1} x^{2} \ln (x-1) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left[\frac{x(1+x)}{\sqrt{1+2 x}}+\ln x\right] \mathrm{d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{e^{-1}}^{e}|\ln x| d x$ ．
第14题证明题
14．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a+k \frac{b-a}{n}\right)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ，并求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{2 n} \frac{1}{n+k}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{p}+2^{p}+\cdots+n^{p}}{n^{p+1}},(p>0)$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2^{4}+\cdots+n^{4}}{n^{\alpha}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n^{2}} \frac{n}{n^{2}+k^{2}}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}+k^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n}{(n+1)^{2}}+\frac{n}{(n+2)^{2}}+\cdots+\frac{n}{(n+n)^{2}}\right]$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n^{2}}}\right)$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}-1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}-2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}-n^{2}}}\right)$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left(\sqrt{n^{2}-1^{2}}+\sqrt{n^{2}-2^{2}}+\cdots+\sqrt{n^{2}-(n-1)^{2}}\right)$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{3}} \sqrt{n^{2}-k^{2}}$ ．
（13） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{n-1}{n}}\right)$ ．
（14） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sin \frac{\pi}{n}+\sin \frac{2 \pi}{n}+\cdots+\sin \frac{(n-1) \pi}{n}\right) \cdot(x=\pi$ ：中南大学 2009 ，新疆大学 2005 ，华中师大 2004；$\displaystyle x=1$ ：北京理工 2007）
（15） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\sin \frac{k-1}{n} \pi}$ ．
（16） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\cos \frac{k \pi}{n}}{2+\sin \frac{k \pi}{n}}$ ．
（17） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} k \mathrm{e}^{\frac{k}{n}}$ ．
（18） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(1+\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{1}{n}}}+\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{2}{n}}}+\cdots+\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{n-1}{n}}}+\mathrm{e}\right)$ ．
（19） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\mathrm{e}^{\frac{k}{n}}}{n+n \mathrm{e}^{\frac{2 k}{n}}}$ ．
（20） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \frac{k \pi}{n}$ ．
（21） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left[\sqrt{1+\left(\frac{1}{n}\right)^{2}}+2 \sqrt{1+\left(\frac{2}{n}\right)^{2}}+\cdots+n \sqrt{1+\left(\frac{n}{n}\right)^{2}}\right]$ ．
（22） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}+\frac{\sin n}{n}+\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right]$ ．
分析：定积分为一特定和式的极限。对具有特殊结构的 $\displaystyle n$ 项和或积形式的极限，可考虑用定积分法求解．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{2 n} \frac{1}{n+k}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{p}+2^{p}+\cdots+n^{p}}{n^{p+1}},(p>0)$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2^{4}+\cdots+n^{4}}{n^{\alpha}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n^{2}} \frac{n}{n^{2}+k^{2}}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}+k^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n}{(n+1)^{2}}+\frac{n}{(n+2)^{2}}+\cdots+\frac{n}{(n+n)^{2}}\right]$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n^{2}}}\right)$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}-1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}-2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}-n^{2}}}\right)$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left(\sqrt{n^{2}-1^{2}}+\sqrt{n^{2}-2^{2}}+\cdots+\sqrt{n^{2}-(n-1)^{2}}\right)$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{3}} \sqrt{n^{2}-k^{2}}$ ．
（13） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{n-1}{n}}\right)$ ．
（14） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sin \frac{\pi}{n}+\sin \frac{2 \pi}{n}+\cdots+\sin \frac{(n-1) \pi}{n}\right) \cdot(x=\pi$ ：中南大学 2009 ，新疆大学 2005 ，华中师大 2004；$\displaystyle x=1$ ：北京理工 2007）
（15） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\sin \frac{k-1}{n} \pi}$ ．
（16） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\cos \frac{k \pi}{n}}{2+\sin \frac{k \pi}{n}}$ ．
（17） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} k \mathrm{e}^{\frac{k}{n}}$ ．
（18） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(1+\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{1}{n}}}+\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{2}{n}}}+\cdots+\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{n-1}{n}}}+\mathrm{e}\right)$ ．
（19） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\mathrm{e}^{\frac{k}{n}}}{n+n \mathrm{e}^{\frac{2 k}{n}}}$ ．
（20） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \frac{k \pi}{n}$ ．
（21） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left[\sqrt{1+\left(\frac{1}{n}\right)^{2}}+2 \sqrt{1+\left(\frac{2}{n}\right)^{2}}+\cdots+n \sqrt{1+\left(\frac{n}{n}\right)^{2}}\right]$ ．
（22） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}+\frac{\sin n}{n}+\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right]$ ．
分析：定积分为一特定和式的极限。对具有特殊结构的 $\displaystyle n$ 项和或积形式的极限，可考虑用定积分法求解．
第16题计算题
16．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{f\left(\frac{1}{n}\right) f\left(\frac{2}{n}\right) \cdots f\left(\frac{n}{n}\right)}$ ，其中 $\displaystyle f \in C[0,1]$ 且取正值．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ln \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1) \cdots(2 n-1)(n+n)}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{n(n+1) \cdots(2 n-1)}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+2)(n+4) \cdots(n+2 n)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(2 n+1) \cdots(2 n+2)(2 n+n)}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{2\left(2+\frac{2}{n}\right)\left(2+\frac{4}{n}\right) \cdots\left(2+\frac{2(n-1)}{n}\right)}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1^{2}}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2^{2}}{n^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)} \cdot$
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2^{2}}{n^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{2}} \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{f\left(\frac{1}{n}\right) f\left(\frac{2}{n}\right) \cdots f\left(\frac{n}{n}\right)}$ ，其中 $\displaystyle f \in C[0,1]$ 且取正值．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ln \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1) \cdots(2 n-1)(n+n)}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{n(n+1) \cdots(2 n-1)}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+2)(n+4) \cdots(n+2 n)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(2 n+1) \cdots(2 n+2)(2 n+n)}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{2\left(2+\frac{2}{n}\right)\left(2+\frac{4}{n}\right) \cdots\left(2+\frac{2(n-1)}{n}\right)}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1^{2}}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2^{2}}{n^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)} \cdot$
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2^{2}}{n^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{2}} \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
第19题证明题
19．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，且存在 $\displaystyle x_{0} \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0$ ，求证： $\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上变号，且为连续函数，求证： $\displaystyle \min _{[0,1]} f(x) \geqslant-\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶连续可微，且在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在极值，求证： $\displaystyle \max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在连续的二阶导数．证明： $\displaystyle \max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant|f(1)-f(0)|+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，且存在 $\displaystyle x_{0} \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0$ ，求证： $\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上变号，且为连续函数，求证： $\displaystyle \min _{[0,1]} f(x) \geqslant-\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶连续可微，且在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在极值，求证： $\displaystyle \max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在连续的二阶导数．证明： $\displaystyle \max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant|f(1)-f(0)|+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
第20题证明题
20．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (-1,1)$ 上的无穷次可导函数，$\displaystyle f(0)=1,\left|f^{\prime}(0)\right| \leqslant 2$ ．令 $\displaystyle g(x)=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$ ， $\displaystyle \left|g^{(n)}(0)\right| \leqslant 2 n!$ ．证明：对所有正整数 $\displaystyle n,\left|f^{(n)}(0)\right| \leqslant(n+1)!$ ．
第20题证明题
20．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, T]$ 二阶连续可导，$\displaystyle M=\max _{[0, T]} f(x), m=\min _{[0, T]} f(x)$ ．证明：
$$
M-m \leqslant T \int_{0}^{T}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x . \text {. }
$$
$$
M-m \leqslant T \int_{0}^{T}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x . \text {. }
$$
第21题证明题
21．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导，证明： $\displaystyle \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \max \left\{(b-a) \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x,\left|\int_{a}^{b}\right| f(x)|\mathrm{d} x|\right\}$ ． （四川大学 2009，南京农大 2008，扬州大学 $\displaystyle 2010([a, b]=[0,1])$
第25题证明题
25．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上具有连续的导数，证明：
（1） $\displaystyle \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant\left|\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；
（2）$\displaystyle |f(x)| \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；
（3）$\displaystyle \left|f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right| \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant\left|\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；
（2）$\displaystyle |f(x)| \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；
（3）$\displaystyle \left|f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right| \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
第26题证明题
26．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a](a>0)$ 上连续可微．证明：$\displaystyle |f(0)| \leqslant \frac{1}{a} \int_{0}^{a}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{0}^{a}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．（四川师大 2013 ，上海大学 2003 ，华中师大 2000 ，沈阳工大 2007 ，山东师大 2008 ，郑州大学；东南大学 2001（ $\displaystyle a=$ 1），东北大学 2007／2003）
说明：这是 25 题的特殊情况。
说明：这是 25 题的特殊情况。
第29题求解题
29．求下列函数的高阶导数．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{-x}$ ，求 $\displaystyle f^{(8)}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=x^{2} \cos 3 x$ ，求 $\displaystyle f^{(50)}(x)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\left(3 x^{2}-2\right) \sin 2 x$ ，求 $\displaystyle f^{(100)}(x)$ ．
（4）设 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{a x} \sin b x$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{-x}$ ，求 $\displaystyle f^{(8)}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=x^{2} \cos 3 x$ ，求 $\displaystyle f^{(50)}(x)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\left(3 x^{2}-2\right) \sin 2 x$ ，求 $\displaystyle f^{(100)}(x)$ ．
（4）设 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{a x} \sin b x$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ ．
第33题求解题
33．设 $\displaystyle f(x)=x \sin \omega x$ ，求证：$\displaystyle f^{(2 n)}(x)=(-1)^{n}\left(\omega^{2 n} x \sin \omega x-2 n \omega^{2 n-1} \cos \omega x\right), n=1,2, \cdots$ ．
第33题证明题
33．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，并且导函数连续，证明：
$$
|f(x)| \leqslant|f(a)|+\sqrt{x-a} \sqrt{\int_{a}^{x}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t}, \forall x \in[a, b] \text {. }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．求证：$\displaystyle \forall x_{0} \in(a, b), \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t \geqslant \frac{f^{2}\left(x_{0}\right)}{x_{0}-a}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{x \in[a, b]}|f(x)| \leqslant \sqrt{b-a}\left(\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{2}}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ 。中科院 2006，湘潭大学 2004 ，地质大学 2006 ，北航 $\displaystyle 2007 ;[a, b]=[0,1]$ ：上海大学 2002 ，南京财大 2012）
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．求证：$\displaystyle \exists M>0$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant M \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 一阶连续可导，$\displaystyle f(a)=0$ ．证明：
$$
\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x-\frac{1}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}(x-a)^{2} \mathrm{~d} x \text {. }
$$
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，并且导函数连续，证明：
$$
|f(x)| \leqslant|f(a)|+\sqrt{x-a} \sqrt{\int_{a}^{x}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t}, \forall x \in[a, b] \text {. }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．求证：$\displaystyle \forall x_{0} \in(a, b), \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t \geqslant \frac{f^{2}\left(x_{0}\right)}{x_{0}-a}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{x \in[a, b]}|f(x)| \leqslant \sqrt{b-a}\left(\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{2}}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ 。中科院 2006，湘潭大学 2004 ，地质大学 2006 ，北航 $\displaystyle 2007 ;[a, b]=[0,1]$ ：上海大学 2002 ，南京财大 2012）
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．求证：$\displaystyle \exists M>0$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant M \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 一阶连续可导，$\displaystyle f(a)=0$ ．证明：
$$
\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x-\frac{1}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}(x-a)^{2} \mathrm{~d} x \text {. }
$$
第34题求解题
34．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．求证：
（1）对任何 $\displaystyle x \in(0,1)$ 都有 $\displaystyle f^{2}(x) \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x ;$
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ 。四川大学 2006，南京大学 2008，地质大学 2007，北航 2005）
（1）对任何 $\displaystyle x \in(0,1)$ 都有 $\displaystyle f^{2}(x) \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x ;$
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ 。四川大学 2006，南京大学 2008，地质大学 2007，北航 2005）
第35题证明题
35．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ，且等号成立时有 $\displaystyle f(x)=c(x-a), \mathrm{c}$ 为某常数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ．求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{b-a}{4} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ，且等号成立时有 $\displaystyle f(x)=c(x-a), \mathrm{c}$ 为某常数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ．求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{b-a}{4} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
第55题证明题
55．设 $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{-x}\left(a x^{2}+b x+c\right), x \in \mathbf{R}$ ，满足 $\displaystyle c(b-c) \geqslant 0$ ．证明存在非负单调数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ ，使得 $\displaystyle f^{(n)}\left(x_{n}\right)=0, n \geqslant 1$ 。