莱布尼茨判别法
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第1题证明题
1．证明下列函数项级数在指定区间上的一致收敛性．
（1）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(1-x) x^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上处处收敛，在 $\displaystyle [0, a](a<1)$ 上一致收敛，但在 $\displaystyle [0,1]$ 上不一致收玫．
（2）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} x^{n}(1-x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上绝对收敛和一致收敛，但由其各项绝对值所组成的级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(1-x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上不一致收敛。湖南师大 2012 ，河南师大 2012，南京航空 2008，华南理工 2008，浙江师大2006，北京科技 2008，青岛科技 2005，西安电子科技 2002，东华大学 2010，浙江理工 2007，重庆大学 2010）
（3）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} x(1-x)^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
（4）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(1-x)^{2}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
（5）证明：定义在 $\displaystyle [0,1]$ 上的函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(1-x)^{\alpha}$ ，当 $\displaystyle \alpha>1$ 时一致收敛，当 $\displaystyle \alpha=0,1$ 时均不一致收玫．
（6）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(1-\cos x) \cos ^{n} x$ 在 $\displaystyle x=0$ 的邻域 $\displaystyle U(0)$ 内不一致收敛。华南师大2008）
（7）设一元函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，$\displaystyle g(1)=0$ 且 $\displaystyle g^{\prime}(1)=0$ ，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
（1）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(1-x) x^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上处处收敛，在 $\displaystyle [0, a](a<1)$ 上一致收敛，但在 $\displaystyle [0,1]$ 上不一致收玫．
（2）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} x^{n}(1-x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上绝对收敛和一致收敛，但由其各项绝对值所组成的级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(1-x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上不一致收敛。湖南师大 2012 ，河南师大 2012，南京航空 2008，华南理工 2008，浙江师大2006，北京科技 2008，青岛科技 2005，西安电子科技 2002，东华大学 2010，浙江理工 2007，重庆大学 2010）
（3）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} x(1-x)^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
（4）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(1-x)^{2}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
（5）证明：定义在 $\displaystyle [0,1]$ 上的函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(1-x)^{\alpha}$ ，当 $\displaystyle \alpha>1$ 时一致收敛，当 $\displaystyle \alpha=0,1$ 时均不一致收玫．
（6）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(1-\cos x) \cos ^{n} x$ 在 $\displaystyle x=0$ 的邻域 $\displaystyle U(0)$ 内不一致收敛。华南师大2008）
（7）设一元函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，$\displaystyle g(1)=0$ 且 $\displaystyle g^{\prime}(1)=0$ ，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
第6题证明题
6．证明下列级数条件收玫．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}(\sqrt[n]{n}-1)$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}(\sqrt[n]{n}-1)$ ．
第10题讨论/判定题
10．讨论下列级数的绝对收玫性与条件收敛性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln n}{n^{p}} .\left(p=1\right.$ ：西安电子科技 2012 ，地质大学 2006 ，宁波大学 2004 ，北京科技 $\displaystyle 2007 ; p=2^{-1}$ ：中科院2005，首都师大2012）
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right)$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \tan \left(\sqrt{n^{2}+\lambda} \pi\right)(\lambda>0)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}-\ln n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} n\left(1-n \sin \frac{1}{n}\right)$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{x}{n}$ ．（计量学院 2009，嗄门大学 2002（ $\displaystyle x=1$ ），内蒙古大学）
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{\ln n}}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{2 n^{n}}+\sin \frac{x}{n}\right)$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(\ln n)^{3}}{(\ln 3)^{n}}$ ．
（11）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\arctan n}{\sqrt{n}}$ ．
（12）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n} \frac{a}{1+a^{n}}, a>0$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln n}{n^{p}} .\left(p=1\right.$ ：西安电子科技 2012 ，地质大学 2006 ，宁波大学 2004 ，北京科技 $\displaystyle 2007 ; p=2^{-1}$ ：中科院2005，首都师大2012）
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right)$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \tan \left(\sqrt{n^{2}+\lambda} \pi\right)(\lambda>0)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}-\ln n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} n\left(1-n \sin \frac{1}{n}\right)$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{x}{n}$ ．（计量学院 2009，嗄门大学 2002（ $\displaystyle x=1$ ），内蒙古大学）
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{\ln n}}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{2 n^{n}}+\sin \frac{x}{n}\right)$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(\ln n)^{3}}{(\ln 3)^{n}}$ ．
（11）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\arctan n}{\sqrt{n}}$ ．
（12）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n} \frac{a}{1+a^{n}}, a>0$ ．
第30题证明题
30．证明：（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x+n \pi} \mathrm{~d} x$ ；（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x<\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
第31题证明题
31．证明或判别下列级数的敛散性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{n}} \sqrt{\frac{x}{1+x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \frac{\sin x}{1+x} \mathrm{~d} x$ ．
（3）已知 $\displaystyle a_{n}=\frac{n}{\int_{0}^{\pi n} x|\sin x| \mathrm{d} x}$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 的玫散性。若收敛则求和。地质大学 2006）
（4）已知 $\displaystyle a_{2 n-1}=\frac{1}{n}, a_{2 n}=\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ，求证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 条件收玫．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{n}} \sqrt{\frac{x}{1+x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \frac{\sin x}{1+x} \mathrm{~d} x$ ．
（3）已知 $\displaystyle a_{n}=\frac{n}{\int_{0}^{\pi n} x|\sin x| \mathrm{d} x}$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 的玫散性。若收敛则求和。地质大学 2006）
（4）已知 $\displaystyle a_{2 n-1}=\frac{1}{n}, a_{2 n}=\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ，求证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 条件收玫．
第38题证明题
38．证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n}$ 收敛；
（2）$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n} \frac{1}{(\ln n)^{x}}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致收敛；
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n} \frac{1}{(\ln n)^{x}}=\sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n} \frac{1}{(\ln n)^{x}}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致收敛；
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n} \frac{1}{(\ln n)^{x}}=\sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n}$ ．
第42题证明题
42．证明下列结论．
（1）设正项数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 单调减少，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} x_{n}$ 发散，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(1+x_{n}\right)^{n}}$ 收玫。
（2）设正项数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 发散．令 $\displaystyle u_{n}=\frac{1}{1+a_{1}} \cdot \frac{1}{1+a_{2}} \cdots \frac{1}{1+a_{n}}$ ．试问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 是否收敛？并说明理由．
（3）设 $\displaystyle a_{n}>0, a_{n}>a_{n+1}(n=1,2, \cdots)$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ．证明 $\displaystyle \left\{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\right\}$ 单调减少，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}$ 是收玫的．
（4）设 $\displaystyle x_{n} \neq 0$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}=2$ ，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{x_{n+1}+x_{n}}{x_{n} x_{n+1}}\right)$ 的敛散性，包括条件收敛和绝对收敛．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可微，对任意 $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty), f(x)>0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant m f(x)$ ，其中 $\displaystyle 0<m<1$ ，任取实数 $\displaystyle a_{0}, a_{n}=\ln f\left(a_{n-1}\right),(n=1,2, \cdots)$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}-a_{n-1}\right|$ 收玫．
（1）设正项数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 单调减少，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} x_{n}$ 发散，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(1+x_{n}\right)^{n}}$ 收玫。
（2）设正项数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 发散．令 $\displaystyle u_{n}=\frac{1}{1+a_{1}} \cdot \frac{1}{1+a_{2}} \cdots \frac{1}{1+a_{n}}$ ．试问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 是否收敛？并说明理由．
（3）设 $\displaystyle a_{n}>0, a_{n}>a_{n+1}(n=1,2, \cdots)$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ．证明 $\displaystyle \left\{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\right\}$ 单调减少，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}$ 是收玫的．
（4）设 $\displaystyle x_{n} \neq 0$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}=2$ ，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{x_{n+1}+x_{n}}{x_{n} x_{n+1}}\right)$ 的敛散性，包括条件收敛和绝对收敛．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可微，对任意 $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty), f(x)>0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant m f(x)$ ，其中 $\displaystyle 0<m<1$ ，任取实数 $\displaystyle a_{0}, a_{n}=\ln f\left(a_{n-1}\right),(n=1,2, \cdots)$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}-a_{n-1}\right|$ 收玫．
第48题证明题
48．证明或判断下列级数的玫散性．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 都是正项级数，满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n}}{n}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=y>0$ 。求证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。
（2）设 $\displaystyle a_{n}>0,(n=1,2, \cdots), \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=\lambda>0$ 。求证：交错级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收玫．
（3）设 $\displaystyle a>0$ ，判断使 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a^{\ln n}}$ 收玫的 $\displaystyle a$ 的范围．（首都师大 2012，南航 2010（ $\displaystyle a=3$ ））
（4）判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{\ln n}}$ 是绝对收敛、条件收敛还是发散．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 都是正项级数，满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n}}{n}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=y>0$ 。求证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。
（2）设 $\displaystyle a_{n}>0,(n=1,2, \cdots), \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=\lambda>0$ 。求证：交错级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收玫．
（3）设 $\displaystyle a>0$ ，判断使 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a^{\ln n}}$ 收玫的 $\displaystyle a$ 的范围．（首都师大 2012，南航 2010（ $\displaystyle a=3$ ））
（4）判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{\ln n}}$ 是绝对收敛、条件收敛还是发散．