费马定理（Fermat引理）
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第6题证明题
6．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, \min _{0 \leq x \leq 1}\{f(x)\}=-1$ 。证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 8$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, \min _{0<x<1}\{f(x)\}=-\frac{1}{2}$ ．证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 4$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=3, \min _{x \in[0,1]} f(x)=-1$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 18$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, ~ \max _{0<x<1}\{f(x)\}=2$ ．证明： $\displaystyle \min _{x \in[0,1]} f^{\prime \prime}(x) \leqslant-16$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, \min _{0 \leq x \leq 1}\{f(x)\}=-1$ 。证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 8$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, \min _{0<x<1}\{f(x)\}=-\frac{1}{2}$ ．证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 4$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=3, \min _{x \in[0,1]} f(x)=-1$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 18$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, ~ \max _{0<x<1}\{f(x)\}=2$ ．证明： $\displaystyle \min _{x \in[0,1]} f^{\prime \prime}(x) \leqslant-16$ ．
第8题证明题
8．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant \frac{1}{8}(b-a)^{2} \max _{a<x<b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 4, f(a)=f(b)=0$ ．试证：$\displaystyle \left|f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right| \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant \frac{1}{8}(b-a)^{2} \max _{a<x<b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 4, f(a)=f(b)=0$ ．试证：$\displaystyle \left|f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right| \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2}$ ．
第9题证明题
9．设 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导，且 $\displaystyle \left|g^{\prime \prime}(x)\right| \geqslant m>0$（ $\displaystyle m$ 为常数），又 $\displaystyle g(a)=g(b)=0$ ．证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}|g(x)| \geqslant \frac{m}{8}(b-a)^{2}$ ．