费马定理
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第2题未分类
2．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续并且在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内可导．若 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$（但不恒为零）， $\displaystyle f(0)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。则（1）存在 $\displaystyle \xi \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ；（2）存在直线 $\displaystyle y=b>0$ 与曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 至少交于两点。
第4题证明题
4．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle a<0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0, f(0) \cdot f^{\prime}(0) \geqslant 0$ ．证明：存 在 $\displaystyle \xi \in[a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，若 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a)>0, f(a)>f(b)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（1）设 $\displaystyle a<0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0, f(0) \cdot f^{\prime}(0) \geqslant 0$ ．证明：存 在 $\displaystyle \xi \in[a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，若 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a)>0, f(a)>f(b)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
第5题证明题
5．证明下列命题（导数的介值性）．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且有 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a) \cdot f_{-}^{\prime}(b)<0$ ，则在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可微，且 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in(a, b), f^{\prime}\left(x_{1}\right) \cdot f^{\prime}\left(x_{2}\right)<0$ ，证明在 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 之间至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（3）若 函 数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 处 处 可 导（端 点 指 单 侧 导 数），$\displaystyle f^{\prime}(a)<f^{\prime}(b)$ ，则 $\displaystyle \forall c: f^{\prime}(a)<c<f^{\prime}(b), \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=c$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可导，$\displaystyle x_{k}, y_{k} \in[a, b], x_{k}<y_{k}(k=1,2, \cdots, n)$ ，求证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(f\left(y_{k}\right)-f\left(x_{k}\right)\right)=f^{\prime}(\xi) \sum_{k=1}^{n}\left(y_{k}-x_{k}\right)$. ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且有 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a) \cdot f_{-}^{\prime}(b)<0$ ，则在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可微，且 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in(a, b), f^{\prime}\left(x_{1}\right) \cdot f^{\prime}\left(x_{2}\right)<0$ ，证明在 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 之间至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（3）若 函 数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 处 处 可 导（端 点 指 单 侧 导 数），$\displaystyle f^{\prime}(a)<f^{\prime}(b)$ ，则 $\displaystyle \forall c: f^{\prime}(a)<c<f^{\prime}(b), \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=c$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可导，$\displaystyle x_{k}, y_{k} \in[a, b], x_{k}<y_{k}(k=1,2, \cdots, n)$ ，求证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(f\left(y_{k}\right)-f\left(x_{k}\right)\right)=f^{\prime}(\xi) \sum_{k=1}^{n}\left(y_{k}-x_{k}\right)$. ．
第6题证明题
6．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, \min _{0 \leq x \leq 1}\{f(x)\}=-1$ 。证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 8$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, \min _{0<x<1}\{f(x)\}=-\frac{1}{2}$ ．证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 4$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=3, \min _{x \in[0,1]} f(x)=-1$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 18$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, ~ \max _{0<x<1}\{f(x)\}=2$ ．证明： $\displaystyle \min _{x \in[0,1]} f^{\prime \prime}(x) \leqslant-16$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, \min _{0 \leq x \leq 1}\{f(x)\}=-1$ 。证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 8$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, \min _{0<x<1}\{f(x)\}=-\frac{1}{2}$ ．证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 4$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=3, \min _{x \in[0,1]} f(x)=-1$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 18$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, ~ \max _{0<x<1}\{f(x)\}=2$ ．证明： $\displaystyle \min _{x \in[0,1]} f^{\prime \prime}(x) \leqslant-16$ ．
第8题证明题
8．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant \frac{1}{8}(b-a)^{2} \max _{a<x<b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 4, f(a)=f(b)=0$ ．试证：$\displaystyle \left|f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right| \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant \frac{1}{8}(b-a)^{2} \max _{a<x<b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 4, f(a)=f(b)=0$ ．试证：$\displaystyle \left|f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right| \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2}$ ．
第9题证明题
9．设 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导，且 $\displaystyle \left|g^{\prime \prime}(x)\right| \geqslant m>0$（ $\displaystyle m$ 为常数），又 $\displaystyle g(a)=g(b)=0$ ．证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}|g(x)| \geqslant \frac{m}{8}(b-a)^{2}$ ．