连续函数的局部性质（局部有界性、局部保号性）
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第33题证明题
33．用确界存在定理证明：如果 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle I$ 上的连续函数，则 $\displaystyle f(I)$ 是一个区间．
第33题证明题
33．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，并且导函数连续，证明：
$$
|f(x)| \leqslant|f(a)|+\sqrt{x-a} \sqrt{\int_{a}^{x}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t}, \forall x \in[a, b] \text {. }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．求证：$\displaystyle \forall x_{0} \in(a, b), \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t \geqslant \frac{f^{2}\left(x_{0}\right)}{x_{0}-a}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{x \in[a, b]}|f(x)| \leqslant \sqrt{b-a}\left(\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{2}}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ 。中科院 2006，湘潭大学 2004 ，地质大学 2006 ，北航 $\displaystyle 2007 ;[a, b]=[0,1]$ ：上海大学 2002 ，南京财大 2012）
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．求证：$\displaystyle \exists M>0$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant M \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 一阶连续可导，$\displaystyle f(a)=0$ ．证明：
$$
\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x-\frac{1}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}(x-a)^{2} \mathrm{~d} x \text {. }
$$
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，并且导函数连续，证明：
$$
|f(x)| \leqslant|f(a)|+\sqrt{x-a} \sqrt{\int_{a}^{x}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t}, \forall x \in[a, b] \text {. }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．求证：$\displaystyle \forall x_{0} \in(a, b), \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t \geqslant \frac{f^{2}\left(x_{0}\right)}{x_{0}-a}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{x \in[a, b]}|f(x)| \leqslant \sqrt{b-a}\left(\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{2}}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ 。中科院 2006，湘潭大学 2004 ，地质大学 2006 ，北航 $\displaystyle 2007 ;[a, b]=[0,1]$ ：上海大学 2002 ，南京财大 2012）
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．求证：$\displaystyle \exists M>0$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant M \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 一阶连续可导，$\displaystyle f(a)=0$ ．证明：
$$
\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x-\frac{1}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}(x-a)^{2} \mathrm{~d} x \text {. }
$$
第36题未分类
36．判断题．
（1）设 $\displaystyle f \in C(a, b)$ ，若存在 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A<0, \lim _{x \rightarrow b} f(x)=B>0$ ，则必存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
（1）设 $\displaystyle f \in C(a, b)$ ，若存在 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A<0, \lim _{x \rightarrow b} f(x)=B>0$ ，则必存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
第36题证明题
36．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内定义，对所有的 $\displaystyle x, y$ ，有 $\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)$ ．证明：（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)=f(1) x$ ；（2）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin x}=1$ ，试求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，且对任意 $\displaystyle x, y \in \mathbf{R}$ 有 $\displaystyle f(x+y)=f(x) f(y)$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上可微．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有定义，且对任意 $\displaystyle x, y \in(0,+\infty)$ 都有 $\displaystyle f(x y)=f(x)+f(y)$ 。证明：
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 点处连续，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续；
（2）若 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ 存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可导，并求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．（四川大学 2002 ，西南大学 2002 ，湖南大学
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内定义，对所有的 $\displaystyle x, y$ ，有 $\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)$ ．证明：（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)=f(1) x$ ；（2）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin x}=1$ ，试求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，且对任意 $\displaystyle x, y \in \mathbf{R}$ 有 $\displaystyle f(x+y)=f(x) f(y)$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上可微．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有定义，且对任意 $\displaystyle x, y \in(0,+\infty)$ 都有 $\displaystyle f(x y)=f(x)+f(y)$ 。证明：
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 点处连续，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续；
（2）若 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ 存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可导，并求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．（四川大学 2002 ，西南大学 2002 ，湖南大学