迫敛性（夹逼定理）
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第1题证明题
1．证明．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{n}^{n+p} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=0(p>0)$ ．（中南大学 2012 ，新疆大学 2005 ，河北工大 2006（ $\displaystyle p=1$ ）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{n}^{n+p} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x=0,(p>0$ ，是常数）．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{n}^{n+p} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=0(p>0)$ ．（中南大学 2012 ，新疆大学 2005 ，河北工大 2006（ $\displaystyle p=1$ ）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{n}^{n+p} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x=0,(p>0$ ，是常数）．
第3题证明题
3．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$（ $\displaystyle a$ 为有限数或 $\displaystyle \pm \infty$ ），则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=a$（ $\displaystyle a$ 为有限数或 $\displaystyle \pm \infty$ ）．
（2）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n+\sqrt{n}}=a$ ．
（3）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n}=1$ ．
（4）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}} \sum_{k=1}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} x_{n}=a$ ，其中 $\displaystyle \mathrm{C}_{n}^{k}=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdots k}$ ．
（5）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=b$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=\frac{a+b}{2}$ ．
（6）已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 非负且单调递减， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} b_{n}=b$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} \frac{a_{1} b_{n}+a_{2} b_{n-1}+\cdots+a_{n} b_{1}}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}=b$ ．
（7）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为正实数列，$\displaystyle s_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}, r_{n}=\frac{a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}+\cdots+a_{n}^{-1}}{n}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}, \lim _{n \rightarrow \infty} r_{n}$ 均存在。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} s_{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} r_{n} \geqslant 1$ ．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$（ $\displaystyle a$ 为有限数或 $\displaystyle \pm \infty$ ），则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=a$（ $\displaystyle a$ 为有限数或 $\displaystyle \pm \infty$ ）．
（2）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n+\sqrt{n}}=a$ ．
（3）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n}=1$ ．
（4）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}} \sum_{k=1}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} x_{n}=a$ ，其中 $\displaystyle \mathrm{C}_{n}^{k}=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdots k}$ ．
（5）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=b$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=\frac{a+b}{2}$ ．
（6）已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 非负且单调递减， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} b_{n}=b$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} \frac{a_{1} b_{n}+a_{2} b_{n-1}+\cdots+a_{n} b_{1}}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}=b$ ．
（7）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为正实数列，$\displaystyle s_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}, r_{n}=\frac{a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}+\cdots+a_{n}^{-1}}{n}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}, \lim _{n \rightarrow \infty} r_{n}$ 均存在。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} s_{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} r_{n} \geqslant 1$ ．
第3题证明题
3．证明下列结论．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2^{2}} \cdots \cdot \cos \frac{x}{2^{n}}=\frac{\sin x}{x}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2^{2}} \cdots \cdot \cos \frac{x}{2^{n}}\right)=1$ ；
（3）$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}} \cdots=\frac{2}{\pi}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2^{2}} \cdots \cdot \cos \frac{x}{2^{n}}=\frac{\sin x}{x}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2^{2}} \cdots \cdot \cos \frac{x}{2^{n}}\right)=1$ ；
（3）$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}} \cdots=\frac{2}{\pi}$ ．
第3题证明题
3．证明下列结论．
（1）证明：$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin \pi x, x \text { 为有理数，} \\ 0, x \text { 为无理数 }\end{array}\right.$ ，在 $\displaystyle x=n$（ $\displaystyle n$ 是整数）连续，而在其他点处间断．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\cos n x, x \text { 为有理数，证明函数 } f(x) \text { 在点 } x_{k}=k+\frac{1}{2} \text {（为任意整数）连续，而在其他 } \\ 0, x \text { 为无理数，}\end{array}\right.$点不连续．
（1）证明：$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin \pi x, x \text { 为有理数，} \\ 0, x \text { 为无理数 }\end{array}\right.$ ，在 $\displaystyle x=n$（ $\displaystyle n$ 是整数）连续，而在其他点处间断．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\cos n x, x \text { 为有理数，证明函数 } f(x) \text { 在点 } x_{k}=k+\frac{1}{2} \text {（为任意整数）连续，而在其他 } \\ 0, x \text { 为无理数，}\end{array}\right.$点不连续．
第4题计算题
4．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \ldots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{1+3}\right)\left(1-\frac{1}{1+3+5}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{1+3+\cdots+(2 n+1)}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(1+x)\left(1+x^{2}\right) \cdots\left(1+x^{2^{n}}\right),|x|<1$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(1-x)^{n-1}}{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x}) \cdots(1-\sqrt[n]{x})}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\left(x^{n}-1\right)\left(x^{n-1}-1\right) \cdots\left(x^{n-k+1}-1\right)}{(x-1)\left(x^{2}-1\right) \cdots\left(x^{k}-1\right)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{x+1}-1}{\ln (1+x)}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \ldots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{1+3}\right)\left(1-\frac{1}{1+3+5}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{1+3+\cdots+(2 n+1)}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(1+x)\left(1+x^{2}\right) \cdots\left(1+x^{2^{n}}\right),|x|<1$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(1-x)^{n-1}}{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x}) \cdots(1-\sqrt[n]{x})}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\left(x^{n}-1\right)\left(x^{n-1}-1\right) \cdots\left(x^{n-k+1}-1\right)}{(x-1)\left(x^{2}-1\right) \cdots\left(x^{k}-1\right)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{x+1}-1}{\ln (1+x)}$ ．
第5题证明题
5．设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，且 $\displaystyle a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$（几何平均值收敛公式）．
第6题证明题
6．证明：若 $\displaystyle x_{n}>0$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ 存在，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ ，并求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{(n+1)!}}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{\sqrt[n]{n!}}$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n^{\alpha}}(\alpha>0)$ ；
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{(n+1)!}}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{\sqrt[n]{n!}}$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n^{\alpha}}(\alpha>0)$ ；
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}$ ．
第6题证明题
6．举例或证明你的结论．
（1）定义函数如下：$\displaystyle R(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{q}, x=\frac{p}{q}, q>0, p, q \text { 是互质整数，}(0 \leqslant x \leqslant 1) \text { ，证明：} \\ 0, x=0,1 \text { 及无理数，}\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle \forall x_{0} \in(0,1), \lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0$ ；（2）函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 中的无理数点处连续，而在 $\displaystyle [0,1]$ 中的有理数点处不连续．
（2）给出一个一元函数 $\displaystyle f(x)$ ，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之。
（1）定义函数如下：$\displaystyle R(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{q}, x=\frac{p}{q}, q>0, p, q \text { 是互质整数，}(0 \leqslant x \leqslant 1) \text { ，证明：} \\ 0, x=0,1 \text { 及无理数，}\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle \forall x_{0} \in(0,1), \lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0$ ；（2）函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 中的无理数点处连续，而在 $\displaystyle [0,1]$ 中的有理数点处不连续．
（2）给出一个一元函数 $\displaystyle f(x)$ ，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之。
第7题证明题
7．设 $\displaystyle a_{n}>0, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q<1$（或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}}=l>1$ ），证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ 。
第8题证明题
8．证明下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1(a>0)$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1(a>0)$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$ ．
第9题证明题
9．设 $\displaystyle a>0, a_{n}>0$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=1$ ，并求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{4+\frac{1}{2 n}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n+b} .(b=2$ ：南京航空 2011；$\displaystyle b=1:$ 山东大学，计量学院 2009）
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1-\frac{1}{n}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n^{k}+k^{n}} .(k=2$ ：山西师大 2008 ；$\displaystyle k=3$ ：哈师大 2008）
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{4+\frac{1}{2 n}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n+b} .(b=2$ ：南京航空 2011；$\displaystyle b=1:$ 山东大学，计量学院 2009）
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1-\frac{1}{n}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n^{k}+k^{n}} .(k=2$ ：山西师大 2008 ；$\displaystyle k=3$ ：哈师大 2008）
第9题证明题
9．证明下列的结论．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，对任意有理数 $\displaystyle r \in(a, b)$ 有 $\displaystyle f(x)=0$ ，则对任意 $\displaystyle x \in(a, b)$ 都有 $\displaystyle f(x)=0$ ．
（2）不存在在 $\displaystyle [a, b]$ 上不恒为零的连续函数，它在 $\displaystyle [a, b]$ 中的有理点都取值为零．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，对任意有理数 $\displaystyle r \in(a, b)$ 有 $\displaystyle f(x)=0$ ，则对任意 $\displaystyle x \in(a, b)$ 都有 $\displaystyle f(x)=0$ ．
（2）不存在在 $\displaystyle [a, b]$ 上不恒为零的连续函数，它在 $\displaystyle [a, b]$ 中的有理点都取值为零．
第9题证明题
9．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在任何有限区间上可积（或 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续），且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．求证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在任何有限区间上可积（或 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续），且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=l$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在任何有限区间上可积（或 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续），且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．求证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在任何有限区间上可积（或 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续），且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=l$ ．
第10题计算题
10．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{m}^{n}}, a_{k}>0, k=1,2, \cdots, m$ ．
特例：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}$ ，其中 $\displaystyle a, b>0$ ．（南京大学 2009／2003（ $\displaystyle b=1$ ），华东师大 2006，暨南大学 2010，苏州大学 2005，扬州大学 2005，南京理工 2001；$\displaystyle b=1$ ：南京师大 2000 ，四川师大 2013，陕西师大 2005 ，北京大学 1999／1998；$\displaystyle b=2006, a=2005$ ：兰州大学 2006）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}+c^{n}}$ ，其中 $\displaystyle a, b, c>0$ ．（中科院 2000／2003，辽宁大学 2004／2005，扬州大学 2005，湘潭大学2009，哈师大 2006（ $\displaystyle a=1, b=2, c=3$ ），山东大学 2002（ $\displaystyle a=3, b=5, c=7$ ））
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+2^{n}+3^{n}+4^{n}+5^{n}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin ^{2} n+2 \cos ^{2} n}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{m}^{n}}, a_{k}>0, k=1,2, \cdots, m$ ．
特例：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}$ ，其中 $\displaystyle a, b>0$ ．（南京大学 2009／2003（ $\displaystyle b=1$ ），华东师大 2006，暨南大学 2010，苏州大学 2005，扬州大学 2005，南京理工 2001；$\displaystyle b=1$ ：南京师大 2000 ，四川师大 2013，陕西师大 2005 ，北京大学 1999／1998；$\displaystyle b=2006, a=2005$ ：兰州大学 2006）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}+c^{n}}$ ，其中 $\displaystyle a, b, c>0$ ．（中科院 2000／2003，辽宁大学 2004／2005，扬州大学 2005，湘潭大学2009，哈师大 2006（ $\displaystyle a=1, b=2, c=3$ ），山东大学 2002（ $\displaystyle a=3, b=5, c=7$ ））
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+2^{n}+3^{n}+4^{n}+5^{n}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin ^{2} n+2 \cos ^{2} n}$ ．
第10题证明题
10．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 对任意 $\displaystyle x \in \mathbf{R}$ ，有 $\displaystyle f(x)=f\left(x^{2}\right)$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 和 $\displaystyle x=1$ 处连续．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上为常数。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 连续且 $\displaystyle f(x)=f\left(x^{2}\right)$ 。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上为常数。青岛理工 2013／2009，华东理工 2006）
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ ：连续，且 $\displaystyle \forall n, f\left(x+\frac{1}{n}\right)=f(x)$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 的常值函数．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有定义，在 $\displaystyle x=0$ 处连续，$\displaystyle \forall x \in \mathbf{R}, f(x)=f(2 x)$ ．证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 为常数。
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续，试证对一切 $\displaystyle x$ 满足 $\displaystyle f(2 x)=f(x) \mathrm{e}^{x}$ 的充要条件是 $\displaystyle f(x)=f(0) \mathrm{e}^{x}$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 对任意 $\displaystyle x \in \mathbf{R}$ ，有 $\displaystyle f(x)=f\left(x^{2}\right)$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 和 $\displaystyle x=1$ 处连续．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上为常数。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 连续且 $\displaystyle f(x)=f\left(x^{2}\right)$ 。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上为常数。青岛理工 2013／2009，华东理工 2006）
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ ：连续，且 $\displaystyle \forall n, f\left(x+\frac{1}{n}\right)=f(x)$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 的常值函数．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有定义，在 $\displaystyle x=0$ 处连续，$\displaystyle \forall x \in \mathbf{R}, f(x)=f(2 x)$ ．证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 为常数。
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续，试证对一切 $\displaystyle x$ 满足 $\displaystyle f(2 x)=f(x) \mathrm{e}^{x}$ 的充要条件是 $\displaystyle f(x)=f(0) \mathrm{e}^{x}$ ．
第11题计算题
11．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(n!)^{\frac{1}{n^{2}}}$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots \cdot 2 n}}$
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}$ ．．苏州大学 2012，华中师大 04 ，辽宁大学 2007，青岛理工 2010，安徽大学 2006，华中科技 2008）
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin 1+\sin \frac{1}{2}+\cdots+\sin \frac{1}{n}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2006}}}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\cos ^{2} 1+\cos ^{2} 2+\cdots+\cos ^{2} n}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(n!)^{\frac{1}{n^{2}}}$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots \cdot 2 n}}$
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}$ ．．苏州大学 2012，华中师大 04 ，辽宁大学 2007，青岛理工 2010，安徽大学 2006，华中科技 2008）
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin 1+\sin \frac{1}{2}+\cdots+\sin \frac{1}{n}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2006}}}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\cos ^{2} 1+\cos ^{2} 2+\cdots+\cos ^{2} n}$ ．
第11题证明题
11．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上满足 $\displaystyle f\left(x^{2}\right)=f(x)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=f(1)$ 。证 明： $\displaystyle f(x) \equiv f(1), x \in(0,+\infty)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, 0)$ 上满 足 $\displaystyle f\left(x^{3}\right)=f(x), \lim _{x \rightarrow-x} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=f(-1)$ ．证 明： $\displaystyle f(x) \equiv f(-1), x \in(-\infty, 0)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上满足 $\displaystyle f(2 x)=f(x)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A(A$ 为常数），证明：$\displaystyle f(x) \equiv A$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 0 点的某一邻域内有界，且满足 $\displaystyle f(\alpha x)=\beta f(x), \alpha>1, \beta>1$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 0 点连续．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上满足 $\displaystyle f\left(x^{2}\right)=f(x)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=f(1)$ 。证 明： $\displaystyle f(x) \equiv f(1), x \in(0,+\infty)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, 0)$ 上满 足 $\displaystyle f\left(x^{3}\right)=f(x), \lim _{x \rightarrow-x} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=f(-1)$ ．证 明： $\displaystyle f(x) \equiv f(-1), x \in(-\infty, 0)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上满足 $\displaystyle f(2 x)=f(x)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A(A$ 为常数），证明：$\displaystyle f(x) \equiv A$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 0 点的某一邻域内有界，且满足 $\displaystyle f(\alpha x)=\beta f(x), \alpha>1, \beta>1$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 0 点连续．
第12题证明题
12．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为有界正数列，$\displaystyle a=\sup \left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, \cdots\right\}$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}}=a$ 。
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是单调递减的非负数列，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=a_{1}$ ．
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 非负单调增加，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=a$ 。
（1）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为有界正数列，$\displaystyle a=\sup \left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, \cdots\right\}$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}}=a$ 。
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是单调递减的非负数列，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=a_{1}$ ．
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 非负单调增加，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=a$ 。
第12题证明题
12．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle x>a$ 时 $\displaystyle g(x)>0, f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在任意有限区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 发散，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=0$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t}=0$ ．
（2）设 $\displaystyle x>a$ 时，$\displaystyle g(x)>0, f(x), g(x)$ 在任何有限区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(t) \mathrm{d} t$ 发散，且 $\displaystyle f(x)=o(g(x))(x \rightarrow+\infty)$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=o\left(\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t\right)(x \rightarrow+\infty)$ ．
分析：即证 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists M>0, \forall x>M$ 时有 $\displaystyle \left|\frac{\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t}\right|<\varepsilon$ ．由 $\displaystyle g(x)>0$ ，需证
$$
\left|\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right|<\varepsilon \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t
$$
（1）设 $\displaystyle x>a$ 时 $\displaystyle g(x)>0, f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在任意有限区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 发散，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=0$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t}=0$ ．
（2）设 $\displaystyle x>a$ 时，$\displaystyle g(x)>0, f(x), g(x)$ 在任何有限区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(t) \mathrm{d} t$ 发散，且 $\displaystyle f(x)=o(g(x))(x \rightarrow+\infty)$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=o\left(\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t\right)(x \rightarrow+\infty)$ ．
分析：即证 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists M>0, \forall x>M$ 时有 $\displaystyle \left|\frac{\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t}\right|<\varepsilon$ ．由 $\displaystyle g(x)>0$ ，需证
$$
\left|\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right|<\varepsilon \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t
$$
第13题计算题
13．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{3}{n^{2}+3}+\cdots+\frac{2 n-1}{n^{2}+2 n-1}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}-1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}-2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}-n}}\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+\sqrt{2}}+\frac{1}{n+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{n+\sqrt{n}}\right)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^{2}}\right]$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=n^{2}}^{(n+1)^{2}} \frac{1}{\sqrt{k}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+\frac{1}{n}}\right)$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{n^{3}+2 n+k}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt{7} n}{2 n^{2}+1}+\frac{\sqrt{7} n}{2 n^{2}+2}+\cdots+\frac{\sqrt{7} n}{2 n^{2}+n}\right)$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{3}{n^{2}+3}+\cdots+\frac{2 n-1}{n^{2}+2 n-1}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}-1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}-2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}-n}}\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+\sqrt{2}}+\frac{1}{n+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{n+\sqrt{n}}\right)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^{2}}\right]$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=n^{2}}^{(n+1)^{2}} \frac{1}{\sqrt{k}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+\frac{1}{n}}\right)$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{n^{3}+2 n+k}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt{7} n}{2 n^{2}+1}+\frac{\sqrt{7} n}{2 n^{2}+2}+\cdots+\frac{\sqrt{7} n}{2 n^{2}+n}\right)$ ．
第13题证明题
13．证明下列命题，并求极限．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续非负，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\int_{a}^{b} f^{n}(x) \mathrm{d} x}=\max _{a<x<b} f(x)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{a}^{b}\left|f^{n}(x)\right| \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{n}}=\max _{x \in[a, b]}|f(x)|$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续有界，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{\int_{0}^{n}|f(x)|^{n} \mathrm{~d} x}=\sup \{|f(x)| x \in[0,+\infty)\}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \min _{a<x<b} f(x)=1$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\int_{a}^{b} \frac{1}{(f(x))^{n}} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}=1$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续恒大于 0 ，证明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow \infty} \sqrt[p]{\int_{a}^{b} f^{p}(x) \mathrm{d} x}=\max _{a<x<b} f(x)$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, a+1]$ 上的连续正值函数，$\displaystyle M=\sup _{a<x<a+1} f(x), A_{n}=\sqrt[n]{\int_{a}^{a+1} f^{n}(x) \mathrm{d} x}$ ．证明：$\displaystyle \left\{A_{n}\right\}$关于 $\displaystyle n$ 单调递增，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}=M$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x) \geqslant 0, g(x) \geqslant 0$ ．证明：
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{a}^{b} f^{n}(x) \mathrm{g}(x) \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{n}}=\max _{a<x<b} f(x)$
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x+\cos x)^{n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}$ 。
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{\pi} x^{2013} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续非负，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\int_{a}^{b} f^{n}(x) \mathrm{d} x}=\max _{a<x<b} f(x)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{a}^{b}\left|f^{n}(x)\right| \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{n}}=\max _{x \in[a, b]}|f(x)|$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续有界，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{\int_{0}^{n}|f(x)|^{n} \mathrm{~d} x}=\sup \{|f(x)| x \in[0,+\infty)\}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \min _{a<x<b} f(x)=1$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\int_{a}^{b} \frac{1}{(f(x))^{n}} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}=1$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续恒大于 0 ，证明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow \infty} \sqrt[p]{\int_{a}^{b} f^{p}(x) \mathrm{d} x}=\max _{a<x<b} f(x)$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, a+1]$ 上的连续正值函数，$\displaystyle M=\sup _{a<x<a+1} f(x), A_{n}=\sqrt[n]{\int_{a}^{a+1} f^{n}(x) \mathrm{d} x}$ ．证明：$\displaystyle \left\{A_{n}\right\}$关于 $\displaystyle n$ 单调递增，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}=M$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x) \geqslant 0, g(x) \geqslant 0$ ．证明：
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{a}^{b} f^{n}(x) \mathrm{g}(x) \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{n}}=\max _{a<x<b} f(x)$
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x+\cos x)^{n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}$ 。
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{\pi} x^{2013} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
第13题证明题
13．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，证明： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0^{+}} h \sum_{n=1}^{\infty} f(n h)=\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上单调，且 $\displaystyle x=0$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的瑕点， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，证明： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0^{+}} h \sum_{n=1}^{\infty} f(n h)=\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上单调，且 $\displaystyle x=0$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的瑕点， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
第14题计算题
14．求下列极限．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续非负，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} g(x) \sqrt[n]{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b] \subset\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)>0$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \sin x \sqrt[n]{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi}(\sin x)^{\frac{1}{n}} \mathrm{~d} x=\pi$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \sqrt[n]{x} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积．
（5）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=[0, \pi] \times[0, \pi]$ 上连续，且恒取正值，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \iint_{D}(\sin x)(f(x, y))^{\frac{1}{n}} \mathrm{~d} \sigma$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续非负，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} g(x) \sqrt[n]{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b] \subset\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)>0$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \sin x \sqrt[n]{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi}(\sin x)^{\frac{1}{n}} \mathrm{~d} x=\pi$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \sqrt[n]{x} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积．
（5）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=[0, \pi] \times[0, \pi]$ 上连续，且恒取正值，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \iint_{D}(\sin x)(f(x, y))^{\frac{1}{n}} \mathrm{~d} \sigma$ ．
第15题证明题
15．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明下面结论．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1) ;$
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=0$ ；
（4）设 $\displaystyle p(x)$ 为实系数多项式。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} p(x) \mathrm{d} x=p(1)$ 。如果 $\displaystyle f(x)$ 为区间 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数，关于下式 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x$ ，你能得一个什么结论，并证明你的结论。
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1) ;$
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=0$ ；
（4）设 $\displaystyle p(x)$ 为实系数多项式。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} p(x) \mathrm{d} x=p(1)$ 。如果 $\displaystyle f(x)$ 为区间 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数，关于下式 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x$ ，你能得一个什么结论，并证明你的结论。
第16题证明题
16．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，在 $\displaystyle x=b$ 处连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{(b-a)^{n+1}} \int_{a}^{b}(x-a)^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(b)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积，在 $\displaystyle x=1$ 处连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上黎曼可积，在 $\displaystyle x=1$ 可导，$\displaystyle f(1)=0, f^{\prime}(1)=a$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=-a$ ．
（1）设 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，在 $\displaystyle x=b$ 处连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{(b-a)^{n+1}} \int_{a}^{b}(x-a)^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(b)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积，在 $\displaystyle x=1$ 处连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上黎曼可积，在 $\displaystyle x=1$ 可导，$\displaystyle f(1)=0, f^{\prime}(1)=a$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=-a$ ．
第17题计算题
17．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1} f\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{n+\frac{1}{2}} f\left(\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n+\frac{1}{n}} f\left(\frac{n}{n}\right)\right)$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上的非负连续函数．
（1）$\displaystyle f(x)=\sin \pi x$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=a^{x}$. ．$\displaystyle a=$ 3：云南大学 $\displaystyle 2006 ; a=2$ ：武汉大学 2010 ，四川大学 2001，兰州大学 2001，河南师大 2014）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{a^{\frac{k}{n}}}{n+(a-1) k^{-1}}, a>1$ 。
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{1+\frac{k}{n^{2}}}-1\right)$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{1+\frac{k^{2}}{n^{3}}}-1\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\sin } \frac{k}{n}}-1\right)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k(n-k+1)}}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{(n x+k)(n x+k-1)}, x>0$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1} f\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{n+\frac{1}{2}} f\left(\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n+\frac{1}{n}} f\left(\frac{n}{n}\right)\right)$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上的非负连续函数．
（1）$\displaystyle f(x)=\sin \pi x$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=a^{x}$. ．$\displaystyle a=$ 3：云南大学 $\displaystyle 2006 ; a=2$ ：武汉大学 2010 ，四川大学 2001，兰州大学 2001，河南师大 2014）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{a^{\frac{k}{n}}}{n+(a-1) k^{-1}}, a>1$ 。
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{1+\frac{k}{n^{2}}}-1\right)$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{1+\frac{k^{2}}{n^{3}}}-1\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\sin } \frac{k}{n}}-1\right)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k(n-k+1)}}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{(n x+k)(n x+k-1)}, x>0$ ．
第17题计算题
17．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=0$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x+x^{2}} \mathrm{dx}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{\sqrt{3+2 x}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{2+\sin n x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=0$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x+x^{2}} \mathrm{dx}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{\sqrt{3+2 x}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{2+\sin n x} \mathrm{~d} x$ ．
第18题证明题
18．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)$ 存在，定义 $\displaystyle x_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{1}{n^{2}}\right)+f\left(\frac{2}{n^{2}}\right)+\cdots+f\left(\frac{n}{n^{2}}\right)\right)$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2} f^{\prime}(0)$ ，
并求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{a}{n^{2}}+\sin \frac{2 a}{n^{2}}+\cdots+\sin \frac{n a}{n^{2}}\right) .(a=\pi$ ：四川大学 $\displaystyle 2005, a=1$ ：江西师大 2012）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \sin \left(\frac{2 k-1}{n^{2}} a\right)$ ，其中 $\displaystyle a>0$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right) \sin \frac{\pi}{n^{2}}+\left(1+\frac{2}{n}\right) \sin \frac{2 \pi}{n^{2}}+\cdots+\left(1+\frac{n-1}{n}\right) \sin \frac{(n-1) \pi}{n^{2}}\right]$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1} f\left(\frac{k}{n}\right)=0$ ．
（3）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(n^{2}+1\right)\left(n^{2}+2\right) \cdots\left(n^{2}+n\right)}{\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}-2\right) \cdots\left(n^{2}-n\right)}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)$ 存在，定义 $\displaystyle x_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{1}{n^{2}}\right)+f\left(\frac{2}{n^{2}}\right)+\cdots+f\left(\frac{n}{n^{2}}\right)\right)$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2} f^{\prime}(0)$ ，
并求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{a}{n^{2}}+\sin \frac{2 a}{n^{2}}+\cdots+\sin \frac{n a}{n^{2}}\right) .(a=\pi$ ：四川大学 $\displaystyle 2005, a=1$ ：江西师大 2012）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \sin \left(\frac{2 k-1}{n^{2}} a\right)$ ，其中 $\displaystyle a>0$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right) \sin \frac{\pi}{n^{2}}+\left(1+\frac{2}{n}\right) \sin \frac{2 \pi}{n^{2}}+\cdots+\left(1+\frac{n-1}{n}\right) \sin \frac{(n-1) \pi}{n^{2}}\right]$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1} f\left(\frac{k}{n}\right)=0$ ．
（3）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(n^{2}+1\right)\left(n^{2}+2\right) \cdots\left(n^{2}+n\right)}{\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}-2\right) \cdots\left(n^{2}-n\right)}$ ．
第18题证明题
18．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f\left(\frac{x^{n}}{1+x}\right) \mathrm{d} x=f(0)$ ．
第19题证明题
19．证明或求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n^{2}}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n(n+1)}$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\cos 1+2 \cos \frac{1}{2}+\cdots+n \cos \frac{1}{n}}{1+2+\cdots+n}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} p_{k} a_{k}}{\sum_{k=1}^{n} p_{k}}=a$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \sum_{i=1}^{\infty} p_{i}=+\infty, p_{i}>0$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\cdots+\frac{a_{n}}{n}}{\ln n}=a$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n}$.
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=0}^{n} \ln \mathrm{C}_{n}^{k}}{n^{2}}$ ，其中 $\displaystyle \mathrm{C}_{n}^{k}=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdots k}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2}+3^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}}{n^{3}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}}{(1+2+\cdots+n)^{2}}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^{k}}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k^{2}}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{d}+2^{d}+\cdots+n^{d}-\frac{n^{d+1}}{d+1}}{n^{d}}, d>0$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n^{2}}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n(n+1)}$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\cos 1+2 \cos \frac{1}{2}+\cdots+n \cos \frac{1}{n}}{1+2+\cdots+n}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} p_{k} a_{k}}{\sum_{k=1}^{n} p_{k}}=a$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \sum_{i=1}^{\infty} p_{i}=+\infty, p_{i}>0$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\cdots+\frac{a_{n}}{n}}{\ln n}=a$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n}$.
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=0}^{n} \ln \mathrm{C}_{n}^{k}}{n^{2}}$ ，其中 $\displaystyle \mathrm{C}_{n}^{k}=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdots k}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2}+3^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}}{n^{3}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}}{(1+2+\cdots+n)^{2}}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^{k}}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k^{2}}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{d}+2^{d}+\cdots+n^{d}-\frac{n^{d+1}}{d+1}}{n^{d}}, d>0$ ．
第19题证明题
19．证明或求下列极限．
（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f\left(x^{n}\right) \mathrm{d} x$ ，其中设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．
（2）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \ln \left(1+x^{n}\right) \mathrm{d} x$ 。中科院 2011）
（3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x^{n}} \mathrm{~d} x$ ．
（4）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^{n}} \mathrm{~d} x=1$ ．
（5）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x^{n}} \mathrm{~d} x=1$ ．
（6）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x^{n} \mathrm{~d} x=0$ ．
（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f\left(x^{n}\right) \mathrm{d} x$ ，其中设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．
（2）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \ln \left(1+x^{n}\right) \mathrm{d} x$ 。中科院 2011）
（3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x^{n}} \mathrm{~d} x$ ．
（4）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^{n}} \mathrm{~d} x=1$ ．
（5）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x^{n}} \mathrm{~d} x=1$ ．
（6）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x^{n} \mathrm{~d} x=0$ ．
第20题证明题
20．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1], f(0)=0, f(1)=1,0 \leqslant f(x)<1, x \in(0,1)$ ．求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f^{n}(x) \mathrm{d} x=0$ ．（大连理
（2）设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b],|f(x)|<1, x \in(a, b)$ 。求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f^{n}(x) \mathrm{d} x=0$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1], f(0)=0, f(1)=1,0 \leqslant f(x)<1, x \in(0,1)$ ．求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f^{n}(x) \mathrm{d} x=0$ ．（大连理
（2）设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b],|f(x)|<1, x \in(a, b)$ 。求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f^{n}(x) \mathrm{d} x=0$ ．
第21题证明题
21．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1, x_{n+1}=x_{n}\left(1-x_{n}\right)$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=1$ 。
（2）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1, x_{n+1}=x_{n}\left(1-q x_{n}\right), 0<x_{1}<\frac{1}{q}(0<q<1)$ ．证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限；
（2）数列 $\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 收敛，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=\frac{1}{q}$ ；（3）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{a}$ 的敛散性．
（3）设 $\displaystyle x_{n+1}=\sin x_{n}, n \in \mathbf{N}^{+}, 0<x_{1}<\frac{\pi}{2}$ ．证明：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ ；（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \sin ^{2} x_{n}=3$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}{ }^{2}=3$ ；
（3）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{p}$ ，当 $\displaystyle p>2$ 时收敛，当 $\displaystyle p \leqslant 2$ 时发散。
（4）设 $\displaystyle a_{1}>0, a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}}$ ，证明：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=+\infty$ ；（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{2 n}}=1$ 。
（1）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1, x_{n+1}=x_{n}\left(1-x_{n}\right)$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=1$ 。
（2）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1, x_{n+1}=x_{n}\left(1-q x_{n}\right), 0<x_{1}<\frac{1}{q}(0<q<1)$ ．证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限；
（2）数列 $\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 收敛，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=\frac{1}{q}$ ；（3）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{a}$ 的敛散性．
（3）设 $\displaystyle x_{n+1}=\sin x_{n}, n \in \mathbf{N}^{+}, 0<x_{1}<\frac{\pi}{2}$ ．证明：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ ；（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \sin ^{2} x_{n}=3$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}{ }^{2}=3$ ；
（3）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{p}$ ，当 $\displaystyle p>2$ 时收敛，当 $\displaystyle p \leqslant 2$ 时发散。
（4）设 $\displaystyle a_{1}>0, a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}}$ ，证明：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=+\infty$ ；（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{2 n}}=1$ 。
第21题证明题
21．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 为 正 数，$\displaystyle f(x)=\left(\frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{n}^{x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}$ 。证 明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\max _{1 \leqslant i<n}\left\{a_{i}\right\}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{1^{x}+2^{x}+\cdots+n^{x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}} \cdot($ 深圳大学 2010）
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}+\cdots+\mathrm{e}^{n x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{1}^{\frac{1}{x}}+a_{2}^{\frac{1}{x}}+\cdots+a_{n}^{\frac{1}{x}}}{n}\right)^{n x}\left(a_{i}>0, i=1,2, \cdots\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}\right)^{\frac{1}{x}}, a>0, b>0, c>0$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3}\right)^{n}, a, b, c>0$ ．，海南大学2007）
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^{n}, a, b>0$ ．（苏州大学 2013，北京理工 2005，吉林师大 2002，重庆大学 2001，青岛大学 2004／2010，延安大学 2006／2000（ $\displaystyle a=5, b=7) / 2002(a=3, b=11)$ ）
（1）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 为 正 数，$\displaystyle f(x)=\left(\frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{n}^{x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}$ 。证 明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\max _{1 \leqslant i<n}\left\{a_{i}\right\}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{1^{x}+2^{x}+\cdots+n^{x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}} \cdot($ 深圳大学 2010）
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}+\cdots+\mathrm{e}^{n x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{1}^{\frac{1}{x}}+a_{2}^{\frac{1}{x}}+\cdots+a_{n}^{\frac{1}{x}}}{n}\right)^{n x}\left(a_{i}>0, i=1,2, \cdots\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}\right)^{\frac{1}{x}}, a>0, b>0, c>0$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3}\right)^{n}, a, b, c>0$ ．，海南大学2007）
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^{n}, a, b>0$ ．（苏州大学 2013，北京理工 2005，吉林师大 2002，重庆大学 2001，青岛大学 2004／2010，延安大学 2006／2000（ $\displaystyle a=5, b=7) / 2002(a=3, b=11)$ ）
第21题计算题
21．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} x$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n-1}{2 n} \cdot \frac{2 n-3}{2(n-1)} \cdots \frac{1}{2}=0$ 。
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{\sin ^{n} x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（7）（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)^{n} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle a \in(0,1)$ ；（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)^{n} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} x$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n-1}{2 n} \cdot \frac{2 n-3}{2(n-1)} \cdots \frac{1}{2}=0$ 。
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{\sin ^{n} x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（7）（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)^{n} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle a \in(0,1)$ ；（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)^{n} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
第22题证明题
22．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上递增，$\displaystyle f(x) \geqslant 0$ 且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(2 x)}{f(x)}=1$ ．证明：对任 意 的 $\displaystyle \alpha>0$ ，有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(\alpha x)}{f(x)}=1$ ．
第24题计算题
24．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n} \pm \frac{1}{n^{2}}\right)^{n}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2 n}-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[2 n-1]{n^{2}+n}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \tan ^{n}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{n}\right) .(\alpha=1$ ：南航 2013；$\displaystyle \alpha=2$ ：湖南农大 2008，陕西师大 1997，西北工大 2003）
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \sin \frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \ln \left(n \sin \frac{1}{n}\right)$ 。
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{1}^{2} \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x\right)^{n}$.
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n} \pm \frac{1}{n^{2}}\right)^{n}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2 n}-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[2 n-1]{n^{2}+n}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \tan ^{n}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{n}\right) .(\alpha=1$ ：南航 2013；$\displaystyle \alpha=2$ ：湖南农大 2008，陕西师大 1997，西北工大 2003）
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \sin \frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \ln \left(n \sin \frac{1}{n}\right)$ 。
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{1}^{2} \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x\right)^{n}$.
第24题证明题
24．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x) \in R[a, b]$ ，证 明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \sin p x \mathrm{~d} x=0, \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos p x \mathrm{~d} x=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的单调函数，证明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin p x \mathrm{~d} x=0$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x) \in R[a, b]$ ，证 明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \sin p x \mathrm{~d} x=0, \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos p x \mathrm{~d} x=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的单调函数，证明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin p x \mathrm{~d} x=0$ 。
第26题证明题
26．设 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x, n$ 为自然数．证明：（1）$\displaystyle I_{n}=\frac{n-1}{n+2} I_{n-2}, n \geqslant 3$ ；（2）$\displaystyle I_{n} \leqslant I_{n-1} \leqslant I_{n-2}$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{I_{n}}{I_{n-1}}=1$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{I_{n}}{I_{n-1}}=1$ ．
第30题证明题
30．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非负连续函数，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{n} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ．
第31题证明题
31．证明下列结论并求极限：
（1）设 $\displaystyle c>0, x_{1}=a>0, x_{n+1}=\frac{c\left(1+x_{n}\right)}{c+x_{n}},(n=1,2, \cdots)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求极限．$\displaystyle (c=2:$ 北京科技 2014，西南大学 2003，南京师大 2002，北京理工 2007，东南大学 2003，曲阜师大 2010，温州大学 2008，西安电子科技 $\displaystyle 2005 ; c=3$ ；广西师大 2014，南京大学 2000 ，南京理工 2010 ，四川大学 2003／2002，桂林电子科技 2008，天津大学 2004，武汉大学 2004，湖南师大 $\displaystyle 2008 ; c=4$ ：浙江大学 2007 ，扬州大学 2011，浙江工商 2014）
（2）设 $\displaystyle x_{1}>\sqrt{\alpha}>1, x_{n+1}=\frac{\alpha+x_{n}}{1+x_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，试证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1}$ ，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 由如下递推公式定义：$\displaystyle x_{0}=1, x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)(n=0,1,2, \cdots)$ ，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\sqrt{2}$ ．
（4）设 $\displaystyle a>1, x_{1}=a, x_{2}=\frac{a}{a+a}, x_{n+1}=\frac{a}{a+x_{n}}$ ，证明：（1）$\displaystyle \forall n>2, \frac{1}{2}<x_{n}<1$ ；（2）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限．
（5）设 $\displaystyle x_{0}=1, x_{n+1}=\frac{3+2 x_{n}}{3+x_{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
（1）设 $\displaystyle c>0, x_{1}=a>0, x_{n+1}=\frac{c\left(1+x_{n}\right)}{c+x_{n}},(n=1,2, \cdots)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求极限．$\displaystyle (c=2:$ 北京科技 2014，西南大学 2003，南京师大 2002，北京理工 2007，东南大学 2003，曲阜师大 2010，温州大学 2008，西安电子科技 $\displaystyle 2005 ; c=3$ ；广西师大 2014，南京大学 2000 ，南京理工 2010 ，四川大学 2003／2002，桂林电子科技 2008，天津大学 2004，武汉大学 2004，湖南师大 $\displaystyle 2008 ; c=4$ ：浙江大学 2007 ，扬州大学 2011，浙江工商 2014）
（2）设 $\displaystyle x_{1}>\sqrt{\alpha}>1, x_{n+1}=\frac{\alpha+x_{n}}{1+x_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，试证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1}$ ，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 由如下递推公式定义：$\displaystyle x_{0}=1, x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)(n=0,1,2, \cdots)$ ，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\sqrt{2}$ ．
（4）设 $\displaystyle a>1, x_{1}=a, x_{2}=\frac{a}{a+a}, x_{n+1}=\frac{a}{a+x_{n}}$ ，证明：（1）$\displaystyle \forall n>2, \frac{1}{2}<x_{n}<1$ ；（2）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限．
（5）设 $\displaystyle x_{0}=1, x_{n+1}=\frac{3+2 x_{n}}{3+x_{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
第32题证明题
32．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle x_{1}=2, x_{2}=2+\frac{1}{2}, x_{n+1}=2+\frac{1}{x_{n}}, n=2,3, \cdots$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求极限．
（2）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=1+\frac{1}{x_{n}},(n=2,3, \cdots)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
（3）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 Fibonacci 序列，即 $\displaystyle a_{1}=1, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_{n}}$ 。
（4）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\frac{1}{1+x_{n}}$ 或 $\displaystyle x_{n+1}\left(1+x_{n}\right)=1, n=1,2,3, \cdots$ 。证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限； （2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)$ 绝对收玫，并求级数的和。南京大学 2006，西安电子科技 2010，南京理工 2009，哈工大 2005）
（5）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=1+\frac{x_{n}}{1+x_{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
（6）设 $\displaystyle x_{0}>0, x_{n+1}=2+\frac{1}{\sqrt{x_{n}}},(n=1,2,3, \cdots)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值．
（1）设 $\displaystyle x_{1}=2, x_{2}=2+\frac{1}{2}, x_{n+1}=2+\frac{1}{x_{n}}, n=2,3, \cdots$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求极限．
（2）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=1+\frac{1}{x_{n}},(n=2,3, \cdots)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
（3）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 Fibonacci 序列，即 $\displaystyle a_{1}=1, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_{n}}$ 。
（4）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\frac{1}{1+x_{n}}$ 或 $\displaystyle x_{n+1}\left(1+x_{n}\right)=1, n=1,2,3, \cdots$ 。证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限； （2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)$ 绝对收玫，并求级数的和。南京大学 2006，西安电子科技 2010，南京理工 2009，哈工大 2005）
（5）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=1+\frac{x_{n}}{1+x_{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
（6）设 $\displaystyle x_{0}>0, x_{n+1}=2+\frac{1}{\sqrt{x_{n}}},(n=1,2,3, \cdots)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值．
第36题证明题
36．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle \alpha_{n} \neq 0, \lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} \beta_{n}=+\infty$ ，常数 $\displaystyle a>0$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\alpha_{n}\right)^{\beta_{n}}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n} \beta_{n}=\ln a$ ．
（2）对正数数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}^{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}^{n}=b, a>0, b>0, p, q$ 皆非负，$\displaystyle p+q=1$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(p a_{n}+q b_{n}\right)^{n}=a^{p} b^{q}$ ．
（3）设 $\displaystyle \alpha \in(0,1),\left\{a_{n}\right\}$ 为严格单调增加的正数列，$\displaystyle \left\{a_{n+1}-a_{n}\right\}$ 有界．证明：$\displaystyle \left\{a_{n+1}^{\alpha}-a_{n}^{\alpha}\right\}$ 极限存在，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}^{\alpha}-a_{n}^{\alpha}\right)$ ．
（1）设 $\displaystyle \alpha_{n} \neq 0, \lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} \beta_{n}=+\infty$ ，常数 $\displaystyle a>0$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\alpha_{n}\right)^{\beta_{n}}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n} \beta_{n}=\ln a$ ．
（2）对正数数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}^{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}^{n}=b, a>0, b>0, p, q$ 皆非负，$\displaystyle p+q=1$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(p a_{n}+q b_{n}\right)^{n}=a^{p} b^{q}$ ．
（3）设 $\displaystyle \alpha \in(0,1),\left\{a_{n}\right\}$ 为严格单调增加的正数列，$\displaystyle \left\{a_{n+1}-a_{n}\right\}$ 有界．证明：$\displaystyle \left\{a_{n+1}^{\alpha}-a_{n}^{\alpha}\right\}$ 极限存在，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}^{\alpha}-a_{n}^{\alpha}\right)$ ．
第37题证明题
37．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle a_{1}>b_{1}>0, a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}, b_{n+1}=\frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n}+b_{n}},(n \geq 1)$ 。证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 都收敛于 $\displaystyle \sqrt{a_{1} b_{1}}$ ．
（2）设 $\displaystyle b_{1}>a_{1}>0, b_{n+1}=\sqrt{a_{n} b_{n}}, a_{n+1}=\frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n}+b_{n}},(n \geqslant 2)$ 。证明：（1）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 都收敛且极限值相等；（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b_{n}}{b_{n+1}}-1\right)$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle a_{1}>b_{1}>0, a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}, b_{n+1}=\sqrt{a_{n} b_{n}},(n \geqslant 1)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 都收敛且极限值相等。
（1）设 $\displaystyle a_{1}>b_{1}>0, a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}, b_{n+1}=\frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n}+b_{n}},(n \geq 1)$ 。证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 都收敛于 $\displaystyle \sqrt{a_{1} b_{1}}$ ．
（2）设 $\displaystyle b_{1}>a_{1}>0, b_{n+1}=\sqrt{a_{n} b_{n}}, a_{n+1}=\frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n}+b_{n}},(n \geqslant 2)$ 。证明：（1）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 都收敛且极限值相等；（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b_{n}}{b_{n+1}}-1\right)$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle a_{1}>b_{1}>0, a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}, b_{n+1}=\sqrt{a_{n} b_{n}},(n \geqslant 1)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 都收敛且极限值相等。
第37题未分类
37．若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上正值、连续，$\displaystyle m=\min _{[0,1]} f(x), M=\max _{[0,1]} f(x)$ ，则
$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x \leqslant \frac{(m+M)}{4 m M}$ ．
$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x \leqslant \frac{(m+M)}{4 m M}$ ．
第38题证明题
38．证明下列结论并求极限．
（1）证明：若 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列，$\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 为递减数列， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x}\left(a_{n}-b_{n}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}, \lim _{n \rightarrow x} b_{n}$ 存在且相等。
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调增加，$\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 单调减少，$\displaystyle \left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 有界，证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 的极限都存在。
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足条件：$\displaystyle \left\{a_{2 n}\right\}$ 为递增数列，$\displaystyle \left\{a_{2 n-1}\right\}$ 为递减数列， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（1）证明：若 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列，$\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 为递减数列， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x}\left(a_{n}-b_{n}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}, \lim _{n \rightarrow x} b_{n}$ 存在且相等。
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调增加，$\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 单调减少，$\displaystyle \left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 有界，证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 的极限都存在。
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足条件：$\displaystyle \left\{a_{2 n}\right\}$ 为递增数列，$\displaystyle \left\{a_{2 n-1}\right\}$ 为递减数列， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．