重极限与累次极限的关系
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第2题未分类
2．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1,(x, y) \in\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^{2} \mid 0<y<x^{2}\right\}, \\ 0,(x, y) \in \mathbf{R}^{2}-\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^{2} \mid 0<y<x^{2}\right\},\end{array}\right.$ 证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 极限不存在。
第4题证明题
4．证明下列结论．
（1）证明：函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 分别对每一个变量 $\displaystyle x$ 和 $\displaystyle y$ 是连续的，但不是关于二变量的连续函数．
（2）证明二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 分别对每一个变量连续，但关于二元变量不连续．
（1）证明：函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 分别对每一个变量 $\displaystyle x$ 和 $\displaystyle y$ 是连续的，但不是关于二变量的连续函数．
（2）证明二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 分别对每一个变量连续，但关于二元变量不连续．
第6题证明题
6．证明下列各题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在半平面 $\displaystyle x>0$ 内连续，对任意固定的 $\displaystyle y=y_{0}$ ，极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0^{+} \\ y \rightarrow y_{0}}} f(x, y)=\varphi\left(y_{0}\right)$ 存在，现补充定义 $\displaystyle f(0, y)=\varphi(y)$ 。证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在半平面 $\displaystyle x \geqslant 0$ 上连续．
（2）设函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在矩形闭域 $\displaystyle [a, b] \times[c, d]$ 上连续，$\displaystyle x=\varphi(t)$ 为定义在 $\displaystyle [\alpha, \beta]$ 上其值含于 $\displaystyle [a, b]$ 内的可微函数。令 $\displaystyle F(t, y)=\int_{a}^{\varphi(t)} f(x, y) \mathrm{d} x,(t, y) \in[\alpha, \beta] \times[c, d]$ ．证明：$\displaystyle F$ 在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \times[c, d]$ 上连续．
（1）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在半平面 $\displaystyle x>0$ 内连续，对任意固定的 $\displaystyle y=y_{0}$ ，极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0^{+} \\ y \rightarrow y_{0}}} f(x, y)=\varphi\left(y_{0}\right)$ 存在，现补充定义 $\displaystyle f(0, y)=\varphi(y)$ 。证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在半平面 $\displaystyle x \geqslant 0$ 上连续．
（2）设函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在矩形闭域 $\displaystyle [a, b] \times[c, d]$ 上连续，$\displaystyle x=\varphi(t)$ 为定义在 $\displaystyle [\alpha, \beta]$ 上其值含于 $\displaystyle [a, b]$ 内的可微函数。令 $\displaystyle F(t, y)=\int_{a}^{\varphi(t)} f(x, y) \mathrm{d} x,(t, y) \in[\alpha, \beta] \times[c, d]$ ．证明：$\displaystyle F$ 在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \times[c, d]$ 上连续．