闭区间上连续函数的基本性质（有界性、最值定理、介值定理）
按知识点浏览 · 共 77 题
第1题未分类
1．若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 一致连续的充要条件是 $\displaystyle f(a+0)$ 与 $\displaystyle f(b-0)$存在。湖南师大 2012，昆明理工 2007，南昌大学 2002，青岛科技 2011，矿业大学 2011，地质大学 2004，天津大学 2003，浙江师大 2010，天津工大 2005，华东理工 2001／2004，山东大学 1981，南开大学 1984，北京交大 2011 ，大连海事 2003，西安电子科技 2006，华侨大学 2009，东北大学 2007／1999／1997，西安交大 1998，郑州大学 2003，首都师大 2002／2001，深圳大学 2008，东华大学 2001）
第1题证明题
1．用实数完备性定理证明连续函数的零点存在定理或介值定理．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(a) f(b)<0$ ，那么必然存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，满足 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 卜连续，且 $\displaystyle f(a)<0, f(b)>0$ ，则存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)=0$ ，且 $\displaystyle \forall x \in(c, b], f(x)>0$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，并至少有一个零点，求证：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必有最小零点．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(a) f(b)<0$ ，那么必然存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，满足 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 卜连续，且 $\displaystyle f(a)<0, f(b)>0$ ，则存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)=0$ ，且 $\displaystyle \forall x \in(c, b], f(x)>0$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，并至少有一个零点，求证：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必有最小零点．
第1题未分类
1．（推广的罗尔定理）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内可微，$\displaystyle a, b$ 为有限数或无穷，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=A$（有限值 $\displaystyle +\infty$ 或 $\displaystyle -\infty$ ）。试证：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ 。
特殊情形：
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ ，则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，则存在 $\displaystyle \xi \in(a,+\infty)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, c)$ 上可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow c^{c}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-x} f(x)=A$ ，求证存在 $\displaystyle \xi \in(-\infty, c)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
特殊情形：
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ ，则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，则存在 $\displaystyle \xi \in(a,+\infty)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, c)$ 上可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow c^{c}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-x} f(x)=A$ ，求证存在 $\displaystyle \xi \in(-\infty, c)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
第1题证明题
1．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x) \geqslant 0$ 且不恒为 0 ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x) \geq 0$ ，如果 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ 。
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，如果 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle \forall x \in[a, b], f(x) \leqslant g(x)$ 且存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)<g\left(x_{0}\right)$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x<\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x) \leqslant g(x)$ ，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv g(x)$ ， $\displaystyle x \in[a, b]$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x) \geqslant 0$ 且不恒为 0 ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x) \geq 0$ ，如果 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ 。
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，如果 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle \forall x \in[a, b], f(x) \leqslant g(x)$ 且存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)<g\left(x_{0}\right)$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x<\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x) \leqslant g(x)$ ，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv g(x)$ ， $\displaystyle x \in[a, b]$ ．
第2题证明题
2．证明零点存在定理的推广．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A<0, \lim _{x \rightarrow b} f(x)=B>0$ ，则 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l>f(a), \forall \eta \in(f(a), l)$ ，证明：（1）$\displaystyle \exists c_{1} \in(a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f\left(c_{1}\right)>\eta$ ；（2）$\displaystyle \exists c_{2} \in(a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f\left(c_{2}\right)=\eta$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A<0, \lim _{x \rightarrow b} f(x)=B>0$ ，则 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l>f(a), \forall \eta \in(f(a), l)$ ，证明：（1）$\displaystyle \exists c_{1} \in(a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f\left(c_{1}\right)>\eta$ ；（2）$\displaystyle \exists c_{2} \in(a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f\left(c_{2}\right)=\eta$ 。
第2题未分类
2．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续并且在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内可导．若 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$（但不恒为零）， $\displaystyle f(0)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。则（1）存在 $\displaystyle \xi \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ；（2）存在直线 $\displaystyle y=b>0$ 与曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 至少交于两点。
第3题证明题
3．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 a]$ 上连续，且 $\displaystyle f(0)=f(2 a)$ ．证明：方程 $\displaystyle f(x)=f(x+a)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 内至少有一个根．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, a+2 \alpha]$ 上连续，证明：$\displaystyle \exists \xi \in[a, a+\alpha]$ ，使得
$$
f(\xi+\alpha)-f(\xi)=\frac{f(a+2 \alpha)-f(a)}{2} . }
$$
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 a]$ 上连续，且 $\displaystyle f(0)=f(2 a)$ ．证明：方程 $\displaystyle f(x)=f(x+a)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 内至少有一个根．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, a+2 \alpha]$ 上连续，证明：$\displaystyle \exists \xi \in[a, a+\alpha]$ ，使得
$$
f(\xi+\alpha)-f(\xi)=\frac{f(a+2 \alpha)-f(a)}{2} . }
$$
第3题证明题
3．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且对在 $\displaystyle (a, b)$ 的任意可积函数 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对任意满足 $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=0$ 的连续函数 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 恒等于常数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对于所有那些在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足附加条件 $\displaystyle g(a)=g(b)=0$ 的连续函数 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且对在 $\displaystyle (a, b)$ 的任意可积函数 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对任意满足 $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=0$ 的连续函数 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 恒等于常数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对于所有那些在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足附加条件 $\displaystyle g(a)=g(b)=0$ 的连续函数 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
第4题证明题
4．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle a<0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0, f(0) \cdot f^{\prime}(0) \geqslant 0$ ．证明：存 在 $\displaystyle \xi \in[a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，若 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a)>0, f(a)>f(b)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（1）设 $\displaystyle a<0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0, f(0) \cdot f^{\prime}(0) \geqslant 0$ ．证明：存 在 $\displaystyle \xi \in[a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，若 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a)>0, f(a)>f(b)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
第5题证明题
5．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ ，且有一组正数 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}>0$ 满足 $\displaystyle \lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=1$ ，证明：存在 $\displaystyle c \in[a, b]$ ，使 $\displaystyle f(c)=\lambda_{1} f\left(x_{1}\right)+\lambda_{2} f\left(x_{2}\right)+\cdots+\lambda_{n} f\left(x_{n}\right)$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，且 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in(a, b)$ 。证明：仔在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=\frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n}(2 k-1) f\left(x_{k}\right)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，且 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in(a, b)$ 。证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使
$$
f(\xi)=\frac{2}{n(n+1)}\left(f\left(x_{1}\right)+2 f\left(x_{2}\right)+\cdots+n f\left(x_{n}\right)\right) . \text { }
$$
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 士连续， $\displaystyle 0<\lambda<1$ ，求证：存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=\lambda f(a)+(1-\lambda) f(b)$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ ，且有一组正数 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}>0$ 满足 $\displaystyle \lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=1$ ，证明：存在 $\displaystyle c \in[a, b]$ ，使 $\displaystyle f(c)=\lambda_{1} f\left(x_{1}\right)+\lambda_{2} f\left(x_{2}\right)+\cdots+\lambda_{n} f\left(x_{n}\right)$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，且 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in(a, b)$ 。证明：仔在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=\frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n}(2 k-1) f\left(x_{k}\right)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，且 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in(a, b)$ 。证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使
$$
f(\xi)=\frac{2}{n(n+1)}\left(f\left(x_{1}\right)+2 f\left(x_{2}\right)+\cdots+n f\left(x_{n}\right)\right) . \text { }
$$
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 士连续， $\displaystyle 0<\lambda<1$ ，求证：存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=\lambda f(a)+(1-\lambda) f(b)$ 。
第5题证明题
5．证明下列命题（导数的介值性）．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且有 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a) \cdot f_{-}^{\prime}(b)<0$ ，则在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可微，且 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in(a, b), f^{\prime}\left(x_{1}\right) \cdot f^{\prime}\left(x_{2}\right)<0$ ，证明在 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 之间至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（3）若 函 数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 处 处 可 导（端 点 指 单 侧 导 数），$\displaystyle f^{\prime}(a)<f^{\prime}(b)$ ，则 $\displaystyle \forall c: f^{\prime}(a)<c<f^{\prime}(b), \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=c$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可导，$\displaystyle x_{k}, y_{k} \in[a, b], x_{k}<y_{k}(k=1,2, \cdots, n)$ ，求证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(f\left(y_{k}\right)-f\left(x_{k}\right)\right)=f^{\prime}(\xi) \sum_{k=1}^{n}\left(y_{k}-x_{k}\right)$. ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且有 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a) \cdot f_{-}^{\prime}(b)<0$ ，则在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可微，且 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in(a, b), f^{\prime}\left(x_{1}\right) \cdot f^{\prime}\left(x_{2}\right)<0$ ，证明在 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 之间至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（3）若 函 数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 处 处 可 导（端 点 指 单 侧 导 数），$\displaystyle f^{\prime}(a)<f^{\prime}(b)$ ，则 $\displaystyle \forall c: f^{\prime}(a)<c<f^{\prime}(b), \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=c$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可导，$\displaystyle x_{k}, y_{k} \in[a, b], x_{k}<y_{k}(k=1,2, \cdots, n)$ ，求证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(f\left(y_{k}\right)-f\left(x_{k}\right)\right)=f^{\prime}(\xi) \sum_{k=1}^{n}\left(y_{k}-x_{k}\right)$. ．
第6题证明题
6．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，且 $\displaystyle f(a) \geqslant a, f(b) \leqslant b$ ．在以下两种情况下，证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ 使 $\displaystyle f(\xi)=\xi$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续；（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调增加但未必连续．
（厦门大学 2013／2014，南航 2011，中科大 2011，武汉大学 2006，天津工大 2005，西南大学 2005，首都师大 2000，安徽大学 1999，南开大学 2010，重庆大学 2009，苏州大学 $\displaystyle 2001 / 2009 / 2008$（ $\displaystyle [a, b]=[0,1]$ ），苏州科技 2009 ，燕山大学 2004 ，河北大学 2010 ，吉林大学 2003 ，上海交大 2001 ，宁波大学 2009 ，武汉科技 2008 ，山东大学1981，南京农大2008，杭州师大 2006（ $\displaystyle [a, b]=[0,1]$ ）
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续；（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调增加但未必连续．
（厦门大学 2013／2014，南航 2011，中科大 2011，武汉大学 2006，天津工大 2005，西南大学 2005，首都师大 2000，安徽大学 1999，南开大学 2010，重庆大学 2009，苏州大学 $\displaystyle 2001 / 2009 / 2008$（ $\displaystyle [a, b]=[0,1]$ ），苏州科技 2009 ，燕山大学 2004 ，河北大学 2010 ，吉林大学 2003 ，上海交大 2001 ，宁波大学 2009 ，武汉科技 2008 ，山东大学1981，南京农大2008，杭州师大 2006（ $\displaystyle [a, b]=[0,1]$ ）
第6题证明题
6．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, f^{\prime}(a) \cdot f^{\prime}(b)>0$ 。证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有一个零点．
（2）$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有两个零点．
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有一个零点．
（2）$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有两个零点．
第7题未分类
7．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一阶可导，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 二阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, f^{\prime}(a) \cdot f^{\prime}(b)>0$ ，则
（1）存在 $\displaystyle \theta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\theta)=0$ ；
（2）对任意 $\displaystyle \alpha \in \mathbf{R}$ ，存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)-\alpha f^{\prime}(\xi)=0$ ；
（3）存在 $\displaystyle \eta \in(a, b), f^{\prime \prime}(\eta)=f(\eta)$ ；
（4）存在 $\displaystyle \zeta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\zeta)=4 f(\zeta)$ 。
（1）存在 $\displaystyle \theta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\theta)=0$ ；
（2）对任意 $\displaystyle \alpha \in \mathbf{R}$ ，存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)-\alpha f^{\prime}(\xi)=0$ ；
（3）存在 $\displaystyle \eta \in(a, b), f^{\prime \prime}(\eta)=f(\eta)$ ；
（4）存在 $\displaystyle \zeta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\zeta)=4 f(\zeta)$ 。
第7题证明题
7．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上三阶可导，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$ ，证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f^{m}(\xi) \geqslant 12$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上三次可导，$\displaystyle f(-1)=f(0)=f^{\prime}(0)=0, f(1)=1$ 。试证：$\displaystyle \exists \xi \in(-1,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi) \geqslant 3$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上三次连续可导，$\displaystyle f(-1)=0, f^{\prime}(0)=0, f(1)=1$ ．试证：$\displaystyle \exists \xi \in(-1,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi)=3$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上二次可导，$\displaystyle f(-1)=0, f(0)=0, f(1)=1$ 。证明：$\displaystyle \exists \theta \in(-1,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\theta)=1$ 。
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 二次可导，$\displaystyle f(0)=0$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内取得最大值 2 ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内取得最小值 $\displaystyle m$ ，证明：（1）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>2$ ；（2）存在 $\displaystyle \eta \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\eta)<-4$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上三阶可导，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$ ，证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f^{m}(\xi) \geqslant 12$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上三次可导，$\displaystyle f(-1)=f(0)=f^{\prime}(0)=0, f(1)=1$ 。试证：$\displaystyle \exists \xi \in(-1,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi) \geqslant 3$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上三次连续可导，$\displaystyle f(-1)=0, f^{\prime}(0)=0, f(1)=1$ ．试证：$\displaystyle \exists \xi \in(-1,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi)=3$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上二次可导，$\displaystyle f(-1)=0, f(0)=0, f(1)=1$ 。证明：$\displaystyle \exists \theta \in(-1,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\theta)=1$ 。
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 二次可导，$\displaystyle f(0)=0$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内取得最大值 2 ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内取得最小值 $\displaystyle m$ ，证明：（1）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>2$ ；（2）存在 $\displaystyle \eta \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\eta)<-4$ ．
第8题证明题
8．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=k, f^{\prime}(a) \cdot f^{\prime}(b)>0$ 。求证存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=k$ ．
（2）设函数设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, f^{\prime}(a)=\sqrt{a^{2}+1}, f^{\prime}(b)=\sqrt{4+b^{2}}$ ．证明 $\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有一个零点．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=k, f^{\prime}(a) \cdot f^{\prime}(b)>0$ 。求证存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=k$ ．
（2）设函数设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, f^{\prime}(a)=\sqrt{a^{2}+1}, f^{\prime}(b)=\sqrt{4+b^{2}}$ ．证明 $\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有一个零点．
第9题证明题
9．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在（有限）证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有界，讨论 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上的最值；（3）逆命题＂$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在＂是否成立？（请给出证明或反例）．
第9题证明题
9．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,3]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,3)$ 内可导且 $\displaystyle f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(0,3)$使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,4]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,4)$ 上可导，假定 $\displaystyle f(0)=1$ ，且 $\displaystyle f(1)+f(2)+f(3)=f(4)=2$ ．证明存在一点 $\displaystyle \exists \xi \in(0,4)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,3]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,3)$ 内可导且 $\displaystyle f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(0,3)$使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,4]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,4)$ 上可导，假定 $\displaystyle f(0)=1$ ，且 $\displaystyle f(1)+f(2)+f(3)=f(4)=2$ ．证明存在一点 $\displaystyle \exists \xi \in(0,4)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
第9题证明题
9．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{2} x f(x) \mathrm{d} x=a>0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in[0,2]$ 使 $\displaystyle |f(\xi)| \geqslant a$.
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且
$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=0, \cdots, \int_{0}^{1} x^{n-1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=1, n>1
$$
求证在 $\displaystyle [0,1]$ 的某一部分上有 $\displaystyle |f(x)| \geqslant 2^{n}(n+1)$ ．（吉林犬学）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=1$ 。证明 $\displaystyle \exists x_{0} \in[0,1]$ 使得 $\displaystyle \left|f\left(x_{0}\right)\right|>4$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=1$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[0,1]$ 使得 $\displaystyle \left|f\left(x_{0}\right)\right| \geqslant 12$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{2} x f(x) \mathrm{d} x=a>0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in[0,2]$ 使 $\displaystyle |f(\xi)| \geqslant a$.
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且
$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=0, \cdots, \int_{0}^{1} x^{n-1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=1, n>1
$$
求证在 $\displaystyle [0,1]$ 的某一部分上有 $\displaystyle |f(x)| \geqslant 2^{n}(n+1)$ ．（吉林犬学）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=1$ 。证明 $\displaystyle \exists x_{0} \in[0,1]$ 使得 $\displaystyle \left|f\left(x_{0}\right)\right|>4$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=1$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[0,1]$ 使得 $\displaystyle \left|f\left(x_{0}\right)\right| \geqslant 12$ ．
第10题证明题
10．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可微．若 $\displaystyle f(a) f(b)>0$ ，且 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ．证明必 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a) f(b)>0, f(a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)<0$ 。证明在 $\displaystyle (a, b)$内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=f(\xi)$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可微．若 $\displaystyle f(a) f(b)>0$ ，且 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ．证明必 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a) f(b)>0, f(a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)<0$ 。证明在 $\displaystyle (a, b)$内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=f(\xi)$ ．
第12题证明题
12．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x):[0,1] \rightarrow[0,+\infty)$ 为满足 $\displaystyle \sup _{0 \leq x \leq 1} f(x)=\sup _{0 \leq x \leq 1} g(x)$ 的连续函数。证明：存在 $\displaystyle t \in[0,1]$ ，使得 $\displaystyle \mathrm{e}^{f(t)}-f(t)=\mathrm{e}^{g(t)}-g(t)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的函数，满足 $\displaystyle \max _{0 \leq x \leq 1} f(x)=\max _{0 \leq x \leq 1} g(x)$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[0,1]$ ，使得 $\displaystyle \mathrm{e}^{f\left(x_{0}\right)}+3 f\left(x_{0}\right)=\mathrm{e}^{g\left(x_{0}\right)}+3 g\left(x_{0}\right)$.
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x):[0,1] \rightarrow[0,+\infty)$ 为满足 $\displaystyle \sup _{0 \leq x \leq 1} f(x)=\sup _{0 \leq x \leq 1} g(x)$ 的连续函数。证明：存在 $\displaystyle t \in[0,1]$ ，使得 $\displaystyle \mathrm{e}^{f(t)}-f(t)=\mathrm{e}^{g(t)}-g(t)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的函数，满足 $\displaystyle \max _{0 \leq x \leq 1} f(x)=\max _{0 \leq x \leq 1} g(x)$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[0,1]$ ，使得 $\displaystyle \mathrm{e}^{f\left(x_{0}\right)}+3 f\left(x_{0}\right)=\mathrm{e}^{g\left(x_{0}\right)}+3 g\left(x_{0}\right)$.
第13题证明题
13．设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且存在 $\displaystyle x_{n} \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle f\left(x_{n+1}\right)=g\left(x_{n}\right)(n=1,2,3, \cdots)$ ．证明：必存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)$ ．
第14题证明题
14．设 $\displaystyle f(x)$ 为区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的单调有界函数，证明：
（1）对任意 $\displaystyle x_{0} \in(a, b), f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处存在左右极限（只证明一个即可）．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 可取到 $\displaystyle f(a), f(b)$ 之间的一切值，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．（重庆大学 2001，电子科技 2008／2003，大连理工 2000，江苏大学 2006／2012／2004，天津大学 2011，西安交大 2001，中科大 2009 （ $\displaystyle [a, b]=[0,1]$ ）
（3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续的充要条件是它的值域为闭区间 $\displaystyle [f(a), f(b)]$ ．
（1）对任意 $\displaystyle x_{0} \in(a, b), f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处存在左右极限（只证明一个即可）．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 可取到 $\displaystyle f(a), f(b)$ 之间的一切值，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．（重庆大学 2001，电子科技 2008／2003，大连理工 2000，江苏大学 2006／2012／2004，天津大学 2011，西安交大 2001，中科大 2009 （ $\displaystyle [a, b]=[0,1]$ ）
（3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续的充要条件是它的值域为闭区间 $\displaystyle [f(a), f(b)]$ ．
第14题证明题
14．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上具有二阶连续导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ，求证：
$$
\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{12} \max _{[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| . \text { }
$$
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内有二阶连续导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ，试证明：（1）对 $\displaystyle [a, b]$ 内的任意 $\displaystyle x$ ， $\displaystyle \left|\frac{f(x)}{(x-b)(x-a)}\right| \leqslant \frac{1}{b-\dot{a}} \int_{a}^{b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；（2）$\displaystyle \frac{4}{b-a} \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant \int_{a}^{b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, f(x) \neq 0(x \in(0,1))$ ．试证明：若积分 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x$ 存在，则 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x \geqslant 4$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上具有二阶连续导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ，求证：
$$
\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{12} \max _{[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| . \text { }
$$
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内有二阶连续导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ，试证明：（1）对 $\displaystyle [a, b]$ 内的任意 $\displaystyle x$ ， $\displaystyle \left|\frac{f(x)}{(x-b)(x-a)}\right| \leqslant \frac{1}{b-\dot{a}} \int_{a}^{b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；（2）$\displaystyle \frac{4}{b-a} \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant \int_{a}^{b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, f(x) \neq 0(x \in(0,1))$ ．试证明：若积分 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x$ 存在，则 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x \geqslant 4$ ．
第15题证明题
15．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 R 可积，因此 $\displaystyle \forall \varepsilon>0$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在连续的函数 $\displaystyle f_{\varepsilon}(x)$ 使得 $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x)-f_{\varepsilon}(x)\right| \mathrm{d} x<\varepsilon$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 R 可积，证明存在 $\displaystyle [a, b]$ 上的多项式函数列 $\displaystyle \varphi_{n}(x)(n=1,2, \cdots)$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 R 可积，因此 $\displaystyle \forall \varepsilon>0$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在连续的函数 $\displaystyle f_{\varepsilon}(x)$ 使得 $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x)-f_{\varepsilon}(x)\right| \mathrm{d} x<\varepsilon$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 R 可积，证明存在 $\displaystyle [a, b]$ 上的多项式函数列 $\displaystyle \varphi_{n}(x)(n=1,2, \cdots)$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
第15题证明题
15．设 $\displaystyle f(x) \in C[0, \pi]$ ，且对任意的正整数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle f(x) \cos n x \mathrm{~d} x=0$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 为常数函数．
第16题证明题
16．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若对开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内的任一点均非 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上严格单调．
（2）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上处处连续，且为一一映射，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上必为严格单调．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若对开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内的任一点均非 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上严格单调．
（2）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上处处连续，且为一一映射，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上必为严格单调．
第17题讨论/判定题
17．讨论是否存在定义在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的函数使得 $\displaystyle f(f(x))=\mathrm{e}^{-x}$ ．
第17题证明题
17．证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续的充分必要条件是：对 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists M>0$ ，使得当 $\displaystyle x, y \in I, x \neq y$ 且 $\displaystyle \left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|>M$ 时，有 $\displaystyle |f(x)-f(y)|<\varepsilon$ 。
第17题证明题
17．设 $\displaystyle u_{0}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle G(x, t)$ 在闭区域 $\displaystyle [a, b] \times[a, b]$ 上连续，对 $\displaystyle \forall x \in[a, b]$ ，设 $\displaystyle u_{n}(x)=\int_{a}^{x} G(x, y) u_{n-1}(y) \mathrm{d} y, n \geqslant 1$ 。证明：$\displaystyle \left\{u_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 0．
第18题求解题
18．设连续函数 $\displaystyle f(x): \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 在所有无理数处取有理数，且 $\displaystyle f(0)=1$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
第19题证明题
19．证明下列的结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 有介值性，而且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant K$（正常数），$\displaystyle x \in(a, b)$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 右连续（同理在点 $\displaystyle b$ 左连续）。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle \mathbf{R}=(-\infty,+\infty)$ 上的单调函数，定义：$\displaystyle g(x)=f(x+0)$ ．证明函数 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle \mathbf{R}=(-\infty,+\infty)$ 上每一点都右连续。北京交大 2006，江苏大学 2006）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上只有可去间断点，则 $\displaystyle m(x)=\lim _{v \rightarrow x} f(y)$ 是连续函数．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 有介值性，而且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant K$（正常数），$\displaystyle x \in(a, b)$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 右连续（同理在点 $\displaystyle b$ 左连续）。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle \mathbf{R}=(-\infty,+\infty)$ 上的单调函数，定义：$\displaystyle g(x)=f(x+0)$ ．证明函数 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle \mathbf{R}=(-\infty,+\infty)$ 上每一点都右连续。北京交大 2006，江苏大学 2006）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上只有可去间断点，则 $\displaystyle m(x)=\lim _{v \rightarrow x} f(y)$ 是连续函数．
第19题证明题
19．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x^{\lambda}, \lambda>0$ ，证明：当 $\displaystyle 0<\lambda \leqslant 1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。当 $\displaystyle \lambda>1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．
（2）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 或 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（3）证明：$\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续；（2）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 或 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 非一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)=x^{2}+2 x+1$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a](a>0)$ 上一致连续；（2）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非一致连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x^{\lambda}, \lambda>0$ ，证明：当 $\displaystyle 0<\lambda \leqslant 1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。当 $\displaystyle \lambda>1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．
（2）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 或 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（3）证明：$\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续；（2）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 或 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 非一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)=x^{2}+2 x+1$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a](a>0)$ 上一致连续；（2）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非一致连续．
第19题未分类
19．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \forall x \in[1,+\infty)$ ，有 $\displaystyle f(x)>0, \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln f(x)}{\ln x}=-\lambda$ ，试证：若 $\displaystyle \lambda>1$ ，则 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．
用此结论讨论积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(1-\frac{p \ln x}{x}\right)^{x} \mathrm{~d} x$ 的玫散性．
用此结论讨论积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(1-\frac{p \ln x}{x}\right)^{x} \mathrm{~d} x$ 的玫散性．
第20题证明题
20．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明：函数 $\displaystyle M(x)=\sup _{a<t<x} f(t), m(x)=\inf _{a<t<x} f(t)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，记 $\displaystyle g(x)=\max _{a<t<x} t^{2} \int_{a}^{t} f(s) \mathrm{d} s, a \leqslant x \leqslant b$ ，求证：$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续。
（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle [a, b] \times[c, d](a, b, c, d$ 为实数，且 $\displaystyle a<b, c<d)$ 上连续．令 $\displaystyle g(x)=\sup _{y \in[c, d]} f(x, y)$ ， $\displaystyle x \in[a, b]$ ，证明：在 $\displaystyle [a, b]$ 上 $\displaystyle g(x)$ 连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明：函数 $\displaystyle M(x)=\sup _{a<t<x} f(t), m(x)=\inf _{a<t<x} f(t)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，记 $\displaystyle g(x)=\max _{a<t<x} t^{2} \int_{a}^{t} f(s) \mathrm{d} s, a \leqslant x \leqslant b$ ，求证：$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续。
（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle [a, b] \times[c, d](a, b, c, d$ 为实数，且 $\displaystyle a<b, c<d)$ 上连续．令 $\displaystyle g(x)=\sup _{y \in[c, d]} f(x, y)$ ， $\displaystyle x \in[a, b]$ ，证明：在 $\displaystyle [a, b]$ 上 $\displaystyle g(x)$ 连续．
第20题证明题
20．证明下列结论。
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)(a>0)$ 上一致连续；（2）在 $\displaystyle (0,1)$ 或 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续；（3）在 $\displaystyle [a, 1](0<a<1)$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [\delta, 1](0<\delta<1)$ 上一致连续；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续； （3）在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续但非一致连续．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续，在 $\displaystyle (c, 1)(0<c<1)$ 上一致连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)(a>0)$ 上一致连续；（2）在 $\displaystyle (0,1)$ 或 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续；（3）在 $\displaystyle [a, 1](0<a<1)$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [\delta, 1](0<\delta<1)$ 上一致连续；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续； （3）在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续但非一致连续．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续，在 $\displaystyle (c, 1)(0<c<1)$ 上一致连续．
第20题证明题
20．设 $\displaystyle f(x)$ 为定义在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上的正值连续函数．证明若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x+1)}{f(x)}=q<1$ ，则反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
第21题未分类
21．设 $\displaystyle p \geqslant 1$ ，试证：（1）函数 $\displaystyle f(x)=\sin \left(x^{-p}\right)$ 在 $\displaystyle [\delta, 1](0<\delta<1)$ 上一致连续；（2）函数 $\displaystyle f(x)=\sin \left(x^{-p}\right)$ 在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续．
第21题证明题
21．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$ ，且 $\displaystyle x \in(a, b)$ 时， $\displaystyle g^{\prime \prime}(x) \neq 0$ 。证明：（1）$\displaystyle \forall x \in(a, b), g(x) \neq 0$ ；（2）至少 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(\xi) g^{\prime \prime}(\xi)-g(\xi) f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 二阶可导，且存在相等的最大值，$\displaystyle f(a)=g(a), f(b)=g(b)$ 。试证存在 $\displaystyle \eta \in(a, b), f^{\prime \prime}(\eta)=g^{\prime \prime}(\eta)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二次可微，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi) \cos \xi+ f^{\prime \prime}(\xi) \sin \xi=0$ 。
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$ ，且 $\displaystyle x \in(a, b)$ 时， $\displaystyle g^{\prime \prime}(x) \neq 0$ 。证明：（1）$\displaystyle \forall x \in(a, b), g(x) \neq 0$ ；（2）至少 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(\xi) g^{\prime \prime}(\xi)-g(\xi) f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 二阶可导，且存在相等的最大值，$\displaystyle f(a)=g(a), f(b)=g(b)$ 。试证存在 $\displaystyle \eta \in(a, b), f^{\prime \prime}(\eta)=g^{\prime \prime}(\eta)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二次可微，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi) \cos \xi+ f^{\prime \prime}(\xi) \sin \xi=0$ 。
第21题证明题
21．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导，证明： $\displaystyle \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \max \left\{(b-a) \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x,\left|\int_{a}^{b}\right| f(x)|\mathrm{d} x|\right\}$ ． （四川大学 2009，南京农大 2008，扬州大学 $\displaystyle 2010([a, b]=[0,1])$
第22题证明题
22．用有限覆盖定理、致密性定理、区间套定理证明下列结论．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上仅有第一类不连续点，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [a, b]$ 士 且 $\displaystyle \forall x_{0} \in[a, b], \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 定义在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内，若对任意的 $\displaystyle c \in(a, b)$ ，都有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} f(x)$（或 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(x), f_{-}^{\prime}(x)$ ）存在，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{+}} f(x)$ 也存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内有界。华中师大 2009 ，扬州大学 2003）
（5）若 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上，$\displaystyle \forall x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle x$ 的邻域使 $\displaystyle f(x)$ 在该邻域内有界．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界。
（6）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，则必存在 $\displaystyle [a, b]$ 上的某点，使得 $\displaystyle f(x)$ 在该点的任何邻域内无界．
（7）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，证明：（1）$\displaystyle \exists\left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\infty$ ； （2）$\displaystyle \exists c \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \forall \delta>0, f(x)$ 在 $\displaystyle (c-\delta, c+\delta) \cap[a, b]$ 上无界．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上仅有第一类不连续点，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [a, b]$ 士 且 $\displaystyle \forall x_{0} \in[a, b], \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 定义在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内，若对任意的 $\displaystyle c \in(a, b)$ ，都有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} f(x)$（或 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(x), f_{-}^{\prime}(x)$ ）存在，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{+}} f(x)$ 也存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内有界。华中师大 2009 ，扬州大学 2003）
（5）若 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上，$\displaystyle \forall x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle x$ 的邻域使 $\displaystyle f(x)$ 在该邻域内有界．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界。
（6）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，则必存在 $\displaystyle [a, b]$ 上的某点，使得 $\displaystyle f(x)$ 在该点的任何邻域内无界．
（7）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，证明：（1）$\displaystyle \exists\left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\infty$ ； （2）$\displaystyle \exists c \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \forall \delta>0, f(x)$ 在 $\displaystyle (c-\delta, c+\delta) \cap[a, b]$ 上无界．
第22题证明题
22．设 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}$ ，证明：
（1）在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续．
（2）在 $\displaystyle (a, b)(0<a<b<+\infty)$ 内一致连续．
（3）$\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续 $\displaystyle (a>0)$ ，在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．
（1）在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续．
（2）在 $\displaystyle (a, b)(0<a<b<+\infty)$ 内一致连续．
（3）$\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续 $\displaystyle (a>0)$ ，在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．
第24题证明题
24．证明下列结论。
（1）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在最大值和最小值．
（2）用有限覆盖定理证明：对 $\displaystyle [a, b]$ 上的恒正连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，存在常数 $\displaystyle C>0$ ，使 $\displaystyle f(x)>C, \forall x \in[a, b]$.
（1）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在最大值和最小值．
（2）用有限覆盖定理证明：对 $\displaystyle [a, b]$ 上的恒正连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，存在常数 $\displaystyle C>0$ ，使 $\displaystyle f(x)>C, \forall x \in[a, b]$.
第25题证明题
25．证明：（1）$\displaystyle f(x)=\sin x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续；
（2）$\displaystyle g(x)=\sin x^{2}$ 在 $\displaystyle [0, A]$ 上一致连续，但在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 或 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非一致连续；
（3）$\displaystyle h(x)=\cos x^{2}$ 在有限区间 $\displaystyle [0, b]$ 上一致连续，在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非一致连续．
（2）$\displaystyle g(x)=\sin x^{2}$ 在 $\displaystyle [0, A]$ 上一致连续，但在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 或 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非一致连续；
（3）$\displaystyle h(x)=\cos x^{2}$ 在有限区间 $\displaystyle [0, b]$ 上一致连续，在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非一致连续．
第26题证明题
26．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续，且 $\displaystyle f(a+0)$ 与 $\displaystyle f(b-0)$ 为有限值．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有界；（2）若存在 $\displaystyle \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\eta) \leqslant \min \{f(a+0), f(b-0)\}$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内能取得最小值．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=c$ ，当 $\displaystyle c$ 为有限值时，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$内取得最大值或最小值．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续，且 $\displaystyle f(a+0)$ 与 $\displaystyle f(b-0)$ 为有限值．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有界；（2）若存在 $\displaystyle \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\eta) \leqslant \min \{f(a+0), f(b-0)\}$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内能取得最小值．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=c$ ，当 $\displaystyle c$ 为有限值时，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$内取得最大值或最小值．
第27题证明题
27．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=+\infty$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内取得最小值．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=-\infty$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内取得最大值．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=+\infty$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内取得最小值．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=-\infty$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内取得最大值．
第28题证明题
28．证明下列结论。
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 都存在．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界。
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 都存在．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界．
（3）证明：函数 $\displaystyle f(x)=x^{3} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的有界函数．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 都存在．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界。
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 都存在．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界．
（3）证明：函数 $\displaystyle f(x)=x^{3} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的有界函数．
第28题证明题
28．证明下列命题。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a)<0, f(b)<0$ ，存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)>0$ ．证明：$\displaystyle \forall \lambda \in \mathbf{R}, \lambda f^{\prime}(x)+f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有一个零点．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (0, b)$ 内可导，$\displaystyle f(0) f(b)<0$ ．则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0, b)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ．证明：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)=-f(\xi)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a)<0, f(b)<0$ ，存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)>0$ ．证明：$\displaystyle \forall \lambda \in \mathbf{R}, \lambda f^{\prime}(x)+f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有一个零点．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (0, b)$ 内可导，$\displaystyle f(0) f(b)<0$ ．则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0, b)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ．证明：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)=-f(\xi)$ ．
第28题证明题
28．证明下列结论．
（1）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且每个函数连续，假定每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上不处处为负．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上不处处为负．
（2）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且每个函数连续，若每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上均有零点．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上至少有一个零点．
（3）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且每个函数连续，若 $\displaystyle \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x \geqslant 0$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ．证明至少存在一点 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right) \geqslant 0$ ．
（4）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且每个函数连续，若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上无零点，证明：（1）当 $\displaystyle n$ 充分大时，$\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 也无零点。（2）证明：$\displaystyle \left\{\frac{1}{f_{n}(x)}\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 一致收敛于 $\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ ．
（1）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且每个函数连续，假定每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上不处处为负．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上不处处为负．
（2）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且每个函数连续，若每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上均有零点．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上至少有一个零点．
（3）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且每个函数连续，若 $\displaystyle \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x \geqslant 0$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ．证明至少存在一点 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right) \geqslant 0$ ．
（4）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且每个函数连续，若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上无零点，证明：（1）当 $\displaystyle n$ 充分大时，$\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 也无零点。（2）证明：$\displaystyle \left\{\frac{1}{f_{n}(x)}\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 一致收敛于 $\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ ．
第29题证明题
29．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 个连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有最大值或最小值．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(x) \geqslant 0, \lim _{x \rightarrow-x} f(x)=0=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty), f\left(x_{0}\right) \geqslant f(x)$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(x) \geqslant 0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有最大值．又问 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上是否有最小值？说明理由．
（4）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, f(0)<A<+\infty$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 有最小值．
（5）设 $\displaystyle f(x) \in C(-\infty,+\infty), \lim _{x \rightarrow x} f(f(x))=+\infty$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 的最小值 $\displaystyle f(a)<a$ ，则 $\displaystyle f(f(x))$ 至少在两个点处取到它的最小值。
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 个连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有最大值或最小值．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(x) \geqslant 0, \lim _{x \rightarrow-x} f(x)=0=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty), f\left(x_{0}\right) \geqslant f(x)$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(x) \geqslant 0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有最大值．又问 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上是否有最小值？说明理由．
（4）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, f(0)<A<+\infty$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 有最小值．
（5）设 $\displaystyle f(x) \in C(-\infty,+\infty), \lim _{x \rightarrow x} f(f(x))=+\infty$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 的最小值 $\displaystyle f(a)<a$ ，则 $\displaystyle f(f(x))$ 至少在两个点处取到它的最小值。
第29题证明题
29．证明下列结论。
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $\displaystyle (0, \pi)$ ：一致连续．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 与 $\displaystyle (-1,0)$ 上均一致连续，但在 $\displaystyle (-1,0) \cup(0,1)$ 上非一致连续．
（
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $\displaystyle (0, \pi)$ ：一致连续．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 与 $\displaystyle (-1,0)$ 上均一致连续，但在 $\displaystyle (-1,0) \cup(0,1)$ 上非一致连续．
（
第29题证明题
29．证明下列结论．
（1）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且每个函数连续，$\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。
（2）设 $\displaystyle \left\{S_{n}(x)\right\}$ 是函数项级数 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} u_{k}(x)$ 的前 $\displaystyle n$ 项部分和函数列，每个 $\displaystyle S_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} u_{k}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 $\displaystyle S(x)$ ．又 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}\left(x_{n}\right)=S\left(x_{0}\right)$ ．
（3）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且每个函数连续，若存在 $\displaystyle x_{n} \in[a, b]$有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}\left(x_{n}\right)=A$ 。证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=A$ 。
（1）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且每个函数连续，$\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。
（2）设 $\displaystyle \left\{S_{n}(x)\right\}$ 是函数项级数 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} u_{k}(x)$ 的前 $\displaystyle n$ 项部分和函数列，每个 $\displaystyle S_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} u_{k}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 $\displaystyle S(x)$ ．又 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}\left(x_{n}\right)=S\left(x_{0}\right)$ ．
（3）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且每个函数连续，若存在 $\displaystyle x_{n} \in[a, b]$有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}\left(x_{n}\right)=A$ 。证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=A$ 。
第31题证明题
31．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的函数，满足：（I） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x=0$ ；（II）$\displaystyle |f(x)-f(y)| \leqslant L|x-y|$ ， $\displaystyle \forall x, y \in \mathbf{R}, L$ 为常数。证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ ！可以取到最大值和最小值；（2） $\displaystyle \max _{x \in \mathbf{R}}|f(x)| \leqslant \pi L$ ．
第32题证明题
32．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且有数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}: x_{n} \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=A$ ，则存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=A$.
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ ：连续，且有唯一的最大值点 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ．若有数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}: x_{n} \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} f\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且有数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}: x_{n} \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=A$ ，则存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=A$.
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ ：连续，且有唯一的最大值点 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ．若有数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}: x_{n} \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} f\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ．
第33题证明题
33．证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的可微函数，且有 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow+\infty}\left(x f_{x}^{\prime}+y f_{y}^{\prime}\right)=a>0$ ，其中 $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 。试证明： $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上必有最小值．
（2）设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在有界闭区域 $\displaystyle D$ 上有二阶连续偏导数，且 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} \neq 0$ 。试证明： $\displaystyle z=f(x, y)$ 的最大值和最小值只能在 $\displaystyle D$ 的边界上取得．
（3）函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 有二阶连续偏导数且 $\displaystyle f_{y} \neq 0$ 。证明：对任意实数 $\displaystyle c, f(x, y)=c$ 是一条直线的充要条件是：$\displaystyle f_{y}^{2} f_{x x}-2 f_{x} f_{y} f_{x y}+f_{x}^{2} f_{y y}=0$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的可微函数，且有 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow+\infty}\left(x f_{x}^{\prime}+y f_{y}^{\prime}\right)=a>0$ ，其中 $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 。试证明： $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上必有最小值．
（2）设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在有界闭区域 $\displaystyle D$ 上有二阶连续偏导数，且 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} \neq 0$ 。试证明： $\displaystyle z=f(x, y)$ 的最大值和最小值只能在 $\displaystyle D$ 的边界上取得．
（3）函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 有二阶连续偏导数且 $\displaystyle f_{y} \neq 0$ 。证明：对任意实数 $\displaystyle c, f(x, y)=c$ 是一条直线的充要条件是：$\displaystyle f_{y}^{2} f_{x x}-2 f_{x} f_{y} f_{x y}+f_{x}^{2} f_{y y}=0$ ．
第35题证明题
35．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．将 $\displaystyle [a, b]$ 改为 $\displaystyle (a, b)$ ，结论是否还成立？说明理由．（河海大学 2006，北京大学 2008，扬州大学 2010，北京交大 2001，新疆大学 2006，东华大学 2000（用致密性定理））
第36题未分类
36．判断题．
（1）设 $\displaystyle f \in C(a, b)$ ，若存在 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A<0, \lim _{x \rightarrow b} f(x)=B>0$ ，则必存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
（1）设 $\displaystyle f \in C(a, b)$ ，若存在 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A<0, \lim _{x \rightarrow b} f(x)=B>0$ ，则必存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
第37题未分类
37．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则 $\displaystyle \Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．
第38题证明题
38．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可导且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ．证明：
（1）存在 $\displaystyle \xi \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=\xi$ ；
（2）存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f(\xi)=\xi$ ；
（3）存在一点 $\displaystyle \zeta \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\zeta)=1$ ；
（4）$\displaystyle \forall \lambda, \exists \eta \in(0, \xi)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\eta)-\lambda(f(\eta)-\eta)=1$ ．
（1）存在 $\displaystyle \xi \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=\xi$ ；
（2）存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f(\xi)=\xi$ ；
（3）存在一点 $\displaystyle \zeta \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\zeta)=1$ ；
（4）$\displaystyle \forall \lambda, \exists \eta \in(0, \xi)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\eta)-\lambda(f(\eta)-\eta)=1$ ．
第38题证明题
38．证明下列结论（Dini 定理）。
（1）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 满足下列条件：
i）$\displaystyle \forall n, f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且有 $\displaystyle f_{n}(x) \leqslant f_{n+1}(x), x \in[a, b]$ ；ii）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 点点收敛于 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数 $\displaystyle f(x)$ ．
（1）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 满足下列条件：
i）$\displaystyle \forall n, f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且有 $\displaystyle f_{n}(x) \leqslant f_{n+1}(x), x \in[a, b]$ ；ii）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 点点收敛于 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数 $\displaystyle f(x)$ ．
第39题证明题
39．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内有二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ．证明：（1）存在一点 $\displaystyle \xi_{1} \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 使 $\displaystyle f\left(\xi_{1}\right)=\xi_{1}$ ；（2）存在一点 $\displaystyle \xi_{2} \in\left(0, \xi_{1}\right)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=1$ ；（3）存在一点 $\displaystyle \xi_{3} \in\left(0, \xi_{2}\right)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{3}\right)+\xi_{3} f^{\prime \prime}\left(\xi_{3}\right)=1$ ．（西安电子科技 2009 ，上海师大 2004 ，上海师大 2001 ，上海师大 2003 （改 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 为 $\displaystyle \frac{1}{3}$ ））
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 内可微，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．证明： （1）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=1-\xi$ ；（2）存在 $\displaystyle \eta, \zeta \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\eta) f^{\prime}(\zeta)=1$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内有二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ．证明：（1）存在一点 $\displaystyle \xi_{1} \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 使 $\displaystyle f\left(\xi_{1}\right)=\xi_{1}$ ；（2）存在一点 $\displaystyle \xi_{2} \in\left(0, \xi_{1}\right)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=1$ ；（3）存在一点 $\displaystyle \xi_{3} \in\left(0, \xi_{2}\right)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{3}\right)+\xi_{3} f^{\prime \prime}\left(\xi_{3}\right)=1$ ．（西安电子科技 2009 ，上海师大 2004 ，上海师大 2001 ，上海师大 2003 （改 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 为 $\displaystyle \frac{1}{3}$ ））
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 内可微，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．证明： （1）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=1-\xi$ ；（2）存在 $\displaystyle \eta, \zeta \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\eta) f^{\prime}(\zeta)=1$ ．
第40题证明题
40．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f_{0}(x)=x, f_{n}(x)=\arctan \left(f_{n-1}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，求证函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致收敛．（中北大学 2005（B））
（2）$\displaystyle S_{n}(x)=n \ln \left(1+\frac{x}{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，（1）$\displaystyle x \in[0, a], a>0$ ；（2）$\displaystyle x \in[0,+\infty)$ ．
（1）设 $\displaystyle f_{0}(x)=x, f_{n}(x)=\arctan \left(f_{n-1}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，求证函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致收敛．（中北大学 2005（B））
（2）$\displaystyle S_{n}(x)=n \ln \left(1+\frac{x}{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，（1）$\displaystyle x \in[0, a], a>0$ ；（2）$\displaystyle x \in[0,+\infty)$ ．
第41题证明题
41．证明下列结论．
（1）若连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，且 $\displaystyle f_{n}(x) \leqslant f_{n+1}(x)$ ．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必有最小值．
（2）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是定义在有界闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数列，且满足：
i）$\displaystyle \forall x \in[a, b], f_{1}(x) \geqslant f_{2}(x) \geqslant \cdots \geqslant f_{n}(x) \geqslant \cdots$ ，ii）$\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)$ 处处收敛。
试证：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必有最大值．
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，而 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上是非负连续函数，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$取到最小值．
（1）若连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，且 $\displaystyle f_{n}(x) \leqslant f_{n+1}(x)$ ．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必有最小值．
（2）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是定义在有界闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数列，且满足：
i）$\displaystyle \forall x \in[a, b], f_{1}(x) \geqslant f_{2}(x) \geqslant \cdots \geqslant f_{n}(x) \geqslant \cdots$ ，ii）$\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)$ 处处收敛。
试证：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必有最大值．
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，而 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上是非负连续函数，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$取到最小值．
第44题证明题
44．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．证明在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在不相同的两点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 满足 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}+\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{2}\right)}=2$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．证明：对任意正数 $\displaystyle a, b$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在不相同的两点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 满足 $\displaystyle \frac{a}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}+\frac{b}{f^{\prime}\left(x_{2}\right)}=a+b$ 。华中师大 2014，西安电子科技 2012，三峡大学 2009，首都师大
2002，北京科技 2007）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=\frac{1}{2}$ ．证明在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在不相同的两点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 满足 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}+\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{2}\right)}=4$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可导，$\displaystyle f(a)=0, f(b)=1$ ．求证：（1）存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(c)=\frac{1}{2}$ ；（2）存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b), \xi \neq \eta$ 使得 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}(\xi)}+\frac{1}{f^{\prime}(\eta)}=2(b-a)$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ 。证明对任意一组正数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在不相同的 $\displaystyle n$ 点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 满足 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{k_{i}}{f^{\prime}\left(x_{i}\right)}=\sum_{i=1}^{n} k_{i}$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．证明在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在不相同的两点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 满足 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}+\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{2}\right)}=2$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．证明：对任意正数 $\displaystyle a, b$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在不相同的两点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 满足 $\displaystyle \frac{a}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}+\frac{b}{f^{\prime}\left(x_{2}\right)}=a+b$ 。华中师大 2014，西安电子科技 2012，三峡大学 2009，首都师大
2002，北京科技 2007）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=\frac{1}{2}$ ．证明在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在不相同的两点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 满足 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}+\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{2}\right)}=4$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可导，$\displaystyle f(a)=0, f(b)=1$ ．求证：（1）存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(c)=\frac{1}{2}$ ；（2）存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b), \xi \neq \eta$ 使得 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}(\xi)}+\frac{1}{f^{\prime}(\eta)}=2(b-a)$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ 。证明对任意一组正数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在不相同的 $\displaystyle n$ 点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 满足 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{k_{i}}{f^{\prime}\left(x_{i}\right)}=\sum_{i=1}^{n} k_{i}$ 。
第44题证明题
44．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle x^{n}+n x-1=0, n=1,2, \cdots$ 。证明：此方程存在唯一的正实根 $\displaystyle x_{n}$ ，并证明当 $\displaystyle \alpha>1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{\alpha}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle (x-1)^{n}+n x-n-1=0, n=1,2, \cdots$ 证明：此方程存在唯一的正实根 $\displaystyle x_{n}$ ，并证明当 $\displaystyle \alpha>0$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n}}{x_{n}+\alpha}\right)^{n}$ 收敛．
（1）设 $\displaystyle x^{n}+n x-1=0, n=1,2, \cdots$ 。证明：此方程存在唯一的正实根 $\displaystyle x_{n}$ ，并证明当 $\displaystyle \alpha>1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{\alpha}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle (x-1)^{n}+n x-n-1=0, n=1,2, \cdots$ 证明：此方程存在唯一的正实根 $\displaystyle x_{n}$ ，并证明当 $\displaystyle \alpha>0$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n}}{x_{n}+\alpha}\right)^{n}$ 收敛．
第44题未分类
44．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是定义在 $\displaystyle [-1,1]$ 上的连续函数列，且 $\displaystyle f_{n}(x) \geqslant 0, \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1$ ．对任 意 $\displaystyle \delta>0,\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [-1,-\delta] \bigcup[\delta, 1]$ 上一致收玫于零。求证：对任意 $\displaystyle [-1,1]$ 上的连续函数 $\displaystyle g(x), ~ \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} f_{n}(x) g(x) \mathrm{d} x=g(0)$ 。
分析：由 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1$ 有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} g(0) f_{n}(x) \mathrm{d} x=g(0)$ ．问题转证：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} f_{n}(x)(g(x)-g(0)) \mathrm{d} x=0 .
$$
分析：由 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1$ 有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} g(0) f_{n}(x) \mathrm{d} x=g(0)$ ．问题转证：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} f_{n}(x)(g(x)-g(0)) \mathrm{d} x=0 .
$$
第45题证明题
45．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上二阶连续可导且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(0,2)$ 使 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=f(2)$ ．
第45题未分类
45．设函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 满足：
（1）$\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle [-1,1]$ 上的可积函数列，且在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致有界；
（2）任意 $\displaystyle c \in(0,1),\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [-1,-c]$ 和 $\displaystyle [c, 1]$ 上一致收敛于零，
（1）$\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle [-1,1]$ 上的可积函数列，且在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致有界；
（2）任意 $\displaystyle c \in(0,1),\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [-1,-c]$ 和 $\displaystyle [c, 1]$ 上一致收敛于零，
第47题证明题
47．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 三次可导．试证 $\displaystyle \exists c \in(a, b)$ 使
$$
f(b)=f(a)+f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)+\frac{1}{24} f^{\prime \prime \prime}(c)(b-a)^{3}
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上三阶可导．求证存在 $\displaystyle \xi \in(-1,1)$ 使 $\displaystyle \frac{f^{(3)}(\xi)}{3}=\frac{f(1)-f(-1)}{2}-f^{\prime}(0)$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 三次可导．试证 $\displaystyle \exists c \in(a, b)$ 使
$$
f(b)=f(a)+f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)+\frac{1}{24} f^{\prime \prime \prime}(c)(b-a)^{3}
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上三阶可导．求证存在 $\displaystyle \xi \in(-1,1)$ 使 $\displaystyle \frac{f^{(3)}(\xi)}{3}=\frac{f(1)-f(-1)}{2}-f^{\prime}(0)$ ．
第47题未分类
47．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的非负可积函数序列，$\displaystyle k=\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ 存在。若 $\displaystyle \forall \alpha \in(0,1]$ 有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{\alpha}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：对任意一个 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数 $\displaystyle g(x)$ ，都有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) g(x) \mathrm{d} x=k g(0)$ ． （中南大学 2005，东华大学 1999（ $\displaystyle k=1$ ））
第47题证明题
47．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(f(x))^{n}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上处处收玫，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(f(x))^{n}$ 在 $\displaystyle [a, b]$上一致收敛．
第48题证明题
48．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{1}{24}(b-a)^{3} f^{\prime \prime}(\xi)$ 。华中师大2005，东北师大2002，延安大学2001，东华大学 2006，西电 2003，扬州大学 2006，西安理工）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二次可微，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0, M=\max _{a<x<b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．证明 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M(b-a)^{3}}{24}$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-a, a](a>0)$ 上具有二阶连续的导函数，$\displaystyle f(0)=0$ ．证明至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(-a, a)$ 使得 $\displaystyle a^{3} f^{\prime \prime}(\eta)=3 \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x$ 。武汉大学2014，曲阜师大2011，东华大学2005）
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{1}{24}(b-a)^{3} f^{\prime \prime}(\xi)$ 。华中师大2005，东北师大2002，延安大学2001，东华大学 2006，西电 2003，扬州大学 2006，西安理工）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二次可微，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0, M=\max _{a<x<b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．证明 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M(b-a)^{3}}{24}$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-a, a](a>0)$ 上具有二阶连续的导函数，$\displaystyle f(0)=0$ ．证明至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(-a, a)$ 使得 $\displaystyle a^{3} f^{\prime \prime}(\eta)=3 \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x$ 。武汉大学2014，曲阜师大2011，东华大学2005）
第48题未分类
48．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是定义在 $\displaystyle (a, b]$ 上的连续函数列，$\displaystyle f_{n}(x) \geqslant 0, \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1$ 在 $\displaystyle (a, b]$ 上广义可积，对任意 $\displaystyle \delta>0, \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a+\delta}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=0$ ．若 $\displaystyle g(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) g(x) \mathrm{d} x=g(a)$ ．
第49题证明题
49．设 $\displaystyle f_{n}(x)$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的非负连续函数．$\displaystyle \forall 0<\delta<1, \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0, \delta]$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=a$ 有限，证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(1)$ 收敛；（2）若令 $\displaystyle \bar{f}(x)=\left\{\begin{array}{l}f(x), x \in[0,1), \\ a, x=1,\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收玫于 $\displaystyle \bar{f}(x)$ ．
第50题证明题
50．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{1}{6}(b-a)^{3} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上三阶可导连续，$\displaystyle f^{\prime \prime}(a)=f^{\prime \prime}(b)$ ．求证存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使
$$
f(b)=f(a)+\frac{1}{2}(b-a)\left(f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)\right)+\frac{1}{24}(b-a)^{3} f^{(3)}(\xi)
$$
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{1}{6}(b-a)^{3} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上三阶可导连续，$\displaystyle f^{\prime \prime}(a)=f^{\prime \prime}(b)$ ．求证存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使
$$
f(b)=f(a)+\frac{1}{2}(b-a)\left(f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)\right)+\frac{1}{24}(b-a)^{3} f^{(3)}(\xi)
$$
第51题求解题
51．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数，且在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1-\frac{1}{n}} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 。
第52题证明题
52．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可微分两次，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \neq 0, \xi \in(a, b)$ ．证明在 $\displaystyle (a, b)$ 上可以找到两点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ ，使得 $\displaystyle \frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}=f^{\prime}(\xi)$ ．