间断点及其分类（第一类、第二类）
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第3题证明题
3．证明下列结论．
（1）证明：$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin \pi x, x \text { 为有理数，} \\ 0, x \text { 为无理数 }\end{array}\right.$ ，在 $\displaystyle x=n$（ $\displaystyle n$ 是整数）连续，而在其他点处间断．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\cos n x, x \text { 为有理数，证明函数 } f(x) \text { 在点 } x_{k}=k+\frac{1}{2} \text {（为任意整数）连续，而在其他 } \\ 0, x \text { 为无理数，}\end{array}\right.$点不连续．
（1）证明：$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin \pi x, x \text { 为有理数，} \\ 0, x \text { 为无理数 }\end{array}\right.$ ，在 $\displaystyle x=n$（ $\displaystyle n$ 是整数）连续，而在其他点处间断．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\cos n x, x \text { 为有理数，证明函数 } f(x) \text { 在点 } x_{k}=k+\frac{1}{2} \text {（为任意整数）连续，而在其他 } \\ 0, x \text { 为无理数，}\end{array}\right.$点不连续．
第4题讨论/判定题
4．讨论下列函数的连续性，并指出其间断点的类型。
（1）讨论函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{1-\mathrm{e}^{\frac{x}{1-x}}}$ 的连续性，并指出其间断点的类型．
（2）分析函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\ln |x-1|}$ 的间断点及其类型．
（3）给出函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-x}{|x|\left(x^{2}-1\right)}$ 的第二类间断点。
（4）给出函数 $\displaystyle f(x)=x\left[x^{-1}\right]$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的不连续点，其中 $\displaystyle \left[x^{-1}\right]$ 表示 $\displaystyle x^{-1}$ 的整数部分．
（5）分析函数 $\displaystyle f(x)=\frac{2^{\frac{1}{x}}-1}{2^{\frac{1}{x}}+1}$ 的间断点及其类型．
（6）设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow x} \frac{\ln \left(\mathrm{e}^{n^{2}}+1+|x|^{n^{2}}\right)}{n^{2}}$ ，讨论 $\displaystyle f(x)$ 在其定义域上的连续性．
（1）讨论函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{1-\mathrm{e}^{\frac{x}{1-x}}}$ 的连续性，并指出其间断点的类型．
（2）分析函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\ln |x-1|}$ 的间断点及其类型．
（3）给出函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-x}{|x|\left(x^{2}-1\right)}$ 的第二类间断点。
（4）给出函数 $\displaystyle f(x)=x\left[x^{-1}\right]$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的不连续点，其中 $\displaystyle \left[x^{-1}\right]$ 表示 $\displaystyle x^{-1}$ 的整数部分．
（5）分析函数 $\displaystyle f(x)=\frac{2^{\frac{1}{x}}-1}{2^{\frac{1}{x}}+1}$ 的间断点及其类型．
（6）设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow x} \frac{\ln \left(\mathrm{e}^{n^{2}}+1+|x|^{n^{2}}\right)}{n^{2}}$ ，讨论 $\displaystyle f(x)$ 在其定义域上的连续性．
第5题证明题
5．举例或证明你的结论．
（1）是否存在在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上处处不连续的函数，它的绝对值却处处连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 连续，证明：$\displaystyle |f(x)|$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 也连续。问：如果 $\displaystyle f(x)$ 不连续，$\displaystyle |f(x)|$ 是不是也一定不连续？
（3）举出定义在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的函数 $\displaystyle f(x)$ 的例子，使 $\displaystyle f(x)$ 仅在当 $\displaystyle x=1,2,3$ 时连续，而其余的点都是 $\displaystyle f(x)$ 的第二类间断点．
（1）是否存在在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上处处不连续的函数，它的绝对值却处处连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 连续，证明：$\displaystyle |f(x)|$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 也连续。问：如果 $\displaystyle f(x)$ 不连续，$\displaystyle |f(x)|$ 是不是也一定不连续？
（3）举出定义在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的函数 $\displaystyle f(x)$ 的例子，使 $\displaystyle f(x)$ 仅在当 $\displaystyle x=1,2,3$ 时连续，而其余的点都是 $\displaystyle f(x)$ 的第二类间断点．
第5题证明题
5．定义函数如下：$\displaystyle R(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{q}, x=\frac{p}{q}, q>0, p, q \text { 是互质整数，}(0 \leqslant x \leqslant 1) \text { ，证明：} \\ 0, x=0,1 \text { 及无理数，}\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle \forall x_{0} \in(0,1), \lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0$ ；
（2）函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 中的无理数点处连续，而在 $\displaystyle [0,1]$ 中的有理数点处不连续．
（3）讨论函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的可积性．
）
（1）$\displaystyle \forall x_{0} \in(0,1), \lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0$ ；
（2）函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 中的无理数点处连续，而在 $\displaystyle [0,1]$ 中的有理数点处不连续．
（3）讨论函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的可积性．
）
第6题证明题
6．举例或证明你的结论．
（1）定义函数如下：$\displaystyle R(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{q}, x=\frac{p}{q}, q>0, p, q \text { 是互质整数，}(0 \leqslant x \leqslant 1) \text { ，证明：} \\ 0, x=0,1 \text { 及无理数，}\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle \forall x_{0} \in(0,1), \lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0$ ；（2）函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 中的无理数点处连续，而在 $\displaystyle [0,1]$ 中的有理数点处不连续．
（2）给出一个一元函数 $\displaystyle f(x)$ ，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之。
（1）定义函数如下：$\displaystyle R(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{q}, x=\frac{p}{q}, q>0, p, q \text { 是互质整数，}(0 \leqslant x \leqslant 1) \text { ，证明：} \\ 0, x=0,1 \text { 及无理数，}\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle \forall x_{0} \in(0,1), \lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0$ ；（2）函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 中的无理数点处连续，而在 $\displaystyle [0,1]$ 中的有理数点处不连续．
（2）给出一个一元函数 $\displaystyle f(x)$ ，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之。
第11题讨论/判定题
11．求极限 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow x}\left(\frac{\sin t}{\sin x}\right)^{\frac{x}{\sin t-\sin x}}$ ，记此极限为 $\displaystyle f(x)$ ．（1）求函数 $\displaystyle f(x)$ 的间断点，并判别间断点类型；（2）讨论 $\displaystyle f(x)$ 的连续性，并说明是否可在 $\displaystyle x=0$ 处定义 $\displaystyle f(0)$ 的值，使得 $\displaystyle f(x)$ 在该点可导．
第11题证明题
11．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导。证明：（1）$\displaystyle \forall x_{0} \in(a, b), f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处不可能发生第一类间断点； （2）$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内单调时，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 必在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续。湖南师大2012，南航2013，西安交大2005，2003，西安电子科技 2004 湖北大学 2005 ，山东大学 2003 ，北航 2004 ，江苏大学 2009 ，扬州大学 2010 ，北京师 大 2009 ，聊城大学 2012，太原理工 2006，武汉大学）
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内处处有导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 。证明：$\displaystyle (a, b)$ 中的点或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续点，或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的第二类间断点．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导。证明：（1）$\displaystyle \forall x_{0} \in(a, b), f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处不可能发生第一类间断点； （2）$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内单调时，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 必在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续。湖南师大2012，南航2013，西安交大2005，2003，西安电子科技 2004 湖北大学 2005 ，山东大学 2003 ，北航 2004 ，江苏大学 2009 ，扬州大学 2010 ，北京师 大 2009 ，聊城大学 2012，太原理工 2006，武汉大学）
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内处处有导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 。证明：$\displaystyle (a, b)$ 中的点或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续点，或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的第二类间断点．
第23题证明题
23．证明下列命题。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上至多只有第一类间断点，且 $\displaystyle \forall x, y \in(a, b)$ ，有 $\displaystyle f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqslant \frac{f(x)+f(y)}{2}$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续。
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle (a, b)$ 上的凸函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上内闭一致连续．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上的凸函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内有界．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上至多只有第一类间断点，且 $\displaystyle \forall x, y \in(a, b)$ ，有 $\displaystyle f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqslant \frac{f(x)+f(y)}{2}$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续。
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle (a, b)$ 上的凸函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上内闭一致连续．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上的凸函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内有界．
第25题讨论/判定题
25．讨论下列函数项级数在指定区间的连续性．
（1）设 $\displaystyle x_{n} \in(0,1), n=1,2, \cdots$ ，且满足 $\displaystyle x_{i} \neq x_{j}(i \neq j)$ ，讨论 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-x_{n}\right)}{2^{n}}$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 的连续性．
（2）将所有有理数排成一个数列 $\displaystyle \left\{r_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ ，试讨论函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-r_{n}\right)}{2^{n}}$ 的连续性．
（3）讨论函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}(x-n)}{2^{n}}$ 的连续性．．
（4）设函数项级数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} 2^{-n}\left|\sin \left(x-\frac{1}{n}\right)\right|$ ．证明：（1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 连续；（2）函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{k}=\frac{1}{k}, k=2,3, \cdots$ ，处不可微，在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内其他点处皆可微。重庆大学2006）
（5）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle (a, b)$ 中互不相同的点列，$\displaystyle a_{n}$ 为函数 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上的唯一间断点。设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致有界，即存在正数 $\displaystyle M$ 使得 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leqslant M$ 对所有的 $\displaystyle n$ 与所有 $\displaystyle x \in(a, b)$ 均成立．证明：函数 $\displaystyle h(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f_{n}(x)}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内的间断点集为 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ ．
（1）设 $\displaystyle x_{n} \in(0,1), n=1,2, \cdots$ ，且满足 $\displaystyle x_{i} \neq x_{j}(i \neq j)$ ，讨论 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-x_{n}\right)}{2^{n}}$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 的连续性．
（2）将所有有理数排成一个数列 $\displaystyle \left\{r_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ ，试讨论函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-r_{n}\right)}{2^{n}}$ 的连续性．
（3）讨论函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}(x-n)}{2^{n}}$ 的连续性．．
（4）设函数项级数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} 2^{-n}\left|\sin \left(x-\frac{1}{n}\right)\right|$ ．证明：（1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 连续；（2）函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{k}=\frac{1}{k}, k=2,3, \cdots$ ，处不可微，在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内其他点处皆可微。重庆大学2006）
（5）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle (a, b)$ 中互不相同的点列，$\displaystyle a_{n}$ 为函数 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上的唯一间断点。设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致有界，即存在正数 $\displaystyle M$ 使得 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leqslant M$ 对所有的 $\displaystyle n$ 与所有 $\displaystyle x \in(a, b)$ 均成立．证明：函数 $\displaystyle h(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f_{n}(x)}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内的间断点集为 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ ．
第42题计算题
42．计算下列曲线积分．
（1）计算 $\displaystyle \oint_{C} \frac{\partial}{\partial y}\left(\ln \frac{1}{r}\right) \mathrm{d} x-\frac{\partial}{\partial x}\left(\ln \frac{1}{r}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, C$ 为平面上任意一条不过原点的简单光滑闭曲线，取逆时针方向。
（2）设 $\displaystyle C$ 为平面上有界区域 $\displaystyle D$ 的光滑边界曲线，$\displaystyle n$ 为 $\displaystyle C$ 的外法向量，$\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ．分别就 $\displaystyle C$的两种情况计算 $\displaystyle I=\oint_{C} \frac{\partial \ln r}{\partial n} \mathrm{~d} s$ ，这里 $\displaystyle \frac{\partial}{\partial n}$ 表示沿 $\displaystyle C$ 的外法线方向的导数．
（1）原点在区域 $\displaystyle D$ 的内部；
（2）原点在 $\displaystyle C$ 的外部．
（3）设 $\displaystyle u=x^{3}+2 y^{2}-x y$ ，求曲线积分 $\displaystyle \oint_{c} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle C$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-2 x=0, \frac{\partial u}{\partial n}$ 为沿 $\displaystyle C$ 外法线的方向导数．
（1）计算 $\displaystyle \oint_{C} \frac{\partial}{\partial y}\left(\ln \frac{1}{r}\right) \mathrm{d} x-\frac{\partial}{\partial x}\left(\ln \frac{1}{r}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, C$ 为平面上任意一条不过原点的简单光滑闭曲线，取逆时针方向。
（2）设 $\displaystyle C$ 为平面上有界区域 $\displaystyle D$ 的光滑边界曲线，$\displaystyle n$ 为 $\displaystyle C$ 的外法向量，$\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ．分别就 $\displaystyle C$的两种情况计算 $\displaystyle I=\oint_{C} \frac{\partial \ln r}{\partial n} \mathrm{~d} s$ ，这里 $\displaystyle \frac{\partial}{\partial n}$ 表示沿 $\displaystyle C$ 的外法线方向的导数．
（1）原点在区域 $\displaystyle D$ 的内部；
（2）原点在 $\displaystyle C$ 的外部．
（3）设 $\displaystyle u=x^{3}+2 y^{2}-x y$ ，求曲线积分 $\displaystyle \oint_{c} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle C$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-2 x=0, \frac{\partial u}{\partial n}$ 为沿 $\displaystyle C$ 外法线的方向导数．