隐函数定理
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第1题证明题
1．证明由下列方程在原点的邻域内唯一确定可导的隐函数 $\displaystyle y=y(x)$ ，并求导数．
（1）$\displaystyle x+\frac{1}{2} y^{2}+\frac{1}{2} z+\sin z=0$ ，并求 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的泰勒公式，展开到二阶．
（2） $\displaystyle 2 y-1+\cos y-x \mathrm{e}^{y}=0$ ，并求 $\displaystyle y^{\prime}(0), y^{\prime \prime}(0), ~ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x}$ 。
（3）$\displaystyle x^{3}+y+1=\cos (x y)$ ，并求 $\displaystyle y^{\prime}(0)$ 的值．
（4） $\displaystyle 3 y-3 x-\sin y=0$ ．
（1）$\displaystyle x+\frac{1}{2} y^{2}+\frac{1}{2} z+\sin z=0$ ，并求 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的泰勒公式，展开到二阶．
（2） $\displaystyle 2 y-1+\cos y-x \mathrm{e}^{y}=0$ ，并求 $\displaystyle y^{\prime}(0), y^{\prime \prime}(0), ~ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x}$ 。
（3）$\displaystyle x^{3}+y+1=\cos (x y)$ ，并求 $\displaystyle y^{\prime}(0)$ 的值．
（4） $\displaystyle 3 y-3 x-\sin y=0$ ．
第2题证明题
2．证明或讨论下列各题．
（1）证明 $\displaystyle F(x, y)=2-\sin x+y^{3} \mathrm{e}^{-y}$ 在全平面有唯一解 $\displaystyle y=y(x)$ ，且 $\displaystyle y(x)$ 连续可导．
（2）设 $\displaystyle F(x, y)=x^{2} y^{3}+|x| y+y-5$ ．证 明：$\displaystyle F(x, y)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上确 定 唯 一 的 隐 函 数 $\displaystyle y=f(x)$ ，并求 $\displaystyle f(x)$ 的极值点．
（1）证明 $\displaystyle F(x, y)=2-\sin x+y^{3} \mathrm{e}^{-y}$ 在全平面有唯一解 $\displaystyle y=y(x)$ ，且 $\displaystyle y(x)$ 连续可导．
（2）设 $\displaystyle F(x, y)=x^{2} y^{3}+|x| y+y-5$ ．证 明：$\displaystyle F(x, y)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上确 定 唯 一 的 隐 函 数 $\displaystyle y=f(x)$ ，并求 $\displaystyle f(x)$ 的极值点．
第3题讨论/判定题
3．讨论下列各题．
（1）方程 $\displaystyle y^{2}-x^{2}\left(1-x^{2}\right)=0$ 在哪些点的邻域内可唯一确定连续可导的隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ ．
（2）已知方程 $\displaystyle x^{2}+y-\cos (x y)=0$ ．
（1）研究上述方程并说明它在什么时候可以在点 $\displaystyle (0,1)$ 附近确定函数 $\displaystyle y=y(x)$ ，且 $\displaystyle y(0)=1$ ．
（2）研究函数 $\displaystyle y=y(x)$ 在点 $\displaystyle (0,1)$ 附近的可微性．
（3）研究函数 $\displaystyle y=y(x)$ 在点 $\displaystyle (0,1)$ 附近的单调性．
（4）试问上述方程在点 $\displaystyle (0,1)$ 的充分小邻域内可否确定函数 $\displaystyle x=x(y), x(1)=0$ ？并说明理由．
（1）方程 $\displaystyle y^{2}-x^{2}\left(1-x^{2}\right)=0$ 在哪些点的邻域内可唯一确定连续可导的隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ ．
（2）已知方程 $\displaystyle x^{2}+y-\cos (x y)=0$ ．
（1）研究上述方程并说明它在什么时候可以在点 $\displaystyle (0,1)$ 附近确定函数 $\displaystyle y=y(x)$ ，且 $\displaystyle y(0)=1$ ．
（2）研究函数 $\displaystyle y=y(x)$ 在点 $\displaystyle (0,1)$ 附近的可微性．
（3）研究函数 $\displaystyle y=y(x)$ 在点 $\displaystyle (0,1)$ 附近的单调性．
（4）试问上述方程在点 $\displaystyle (0,1)$ 的充分小邻域内可否确定函数 $\displaystyle x=x(y), x(1)=0$ ？并说明理由．
第5题证明题
5．证明下列结论．
（1）函数 $\displaystyle F(x, y)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某个邻域内有连续的二阶偏导数， $\displaystyle F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0, F_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ 。证明由方程 $\displaystyle F(x, y)=0$ 确定的隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点取得极小值．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle x, y \geqslant 0$ 上连续，在 $\displaystyle x, y>0$ 内可微，且存在唯一点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，使得 $\displaystyle f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ 。设 $\displaystyle f\left(x_{0}, y_{0}\right)>0, f(x, 0)=f(0, y)=0(x, y \geqslant 0), ~ \lim _{x^{2}+y^{2} \rightarrow \infty} f(x, y)=0$ 。证明 $\displaystyle f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle x, y \geqslant 0$ 上的最大值．
（3）设 $\displaystyle f(x, y) \in C^{2}\left(\mathbf{R}^{2}\right)$ ，对 $\displaystyle \forall(x, y) \in \mathbf{R}^{2}, f_{x x}(x, y)+f_{y y}(x, y)>0$ ，求证：$\displaystyle f(x, y)$ 没有极大值点．
（1）函数 $\displaystyle F(x, y)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某个邻域内有连续的二阶偏导数， $\displaystyle F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0, F_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ 。证明由方程 $\displaystyle F(x, y)=0$ 确定的隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点取得极小值．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle x, y \geqslant 0$ 上连续，在 $\displaystyle x, y>0$ 内可微，且存在唯一点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，使得 $\displaystyle f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ 。设 $\displaystyle f\left(x_{0}, y_{0}\right)>0, f(x, 0)=f(0, y)=0(x, y \geqslant 0), ~ \lim _{x^{2}+y^{2} \rightarrow \infty} f(x, y)=0$ 。证明 $\displaystyle f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle x, y \geqslant 0$ 上的最大值．
（3）设 $\displaystyle f(x, y) \in C^{2}\left(\mathbf{R}^{2}\right)$ ，对 $\displaystyle \forall(x, y) \in \mathbf{R}^{2}, f_{x x}(x, y)+f_{y y}(x, y)>0$ ，求证：$\displaystyle f(x, y)$ 没有极大值点．
第14题证明题
14．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上无穷次可微，且满足 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ．证明：（1）存在 $\displaystyle \delta>0$ 和定义在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 上的可微函数 $\displaystyle \varphi(t)$ ，使得 $\displaystyle f(\varphi(t))=\sin t$ ；（2）求 $\displaystyle \varphi(t)$ 在 $\displaystyle t=0$ 的二阶泰勒公式．
第18题求解题
18．求 $\displaystyle f(x, y)=x y z$ 在条件 $\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{r}$ 下的极值 $\displaystyle (x>0, y>0, z>0, r>0)$ 。
第30题证明题
30．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上严格递增且可导，$\displaystyle f(0)=0, g(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的反函数，证明： $\displaystyle \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{f(a)}(a-g(x)) \mathrm{d} x$.
（2）设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 是由 $\displaystyle y-\frac{1}{2} \sin y=2 x$ 所确定的隐函数，证明 $\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上严格递增，并求 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) d x$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可导，$\displaystyle f(0)=0$ ．若 $\displaystyle f(x)$ 的反函数 $\displaystyle g(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=x^{2} \mathrm{e}^{x}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上严格递增且可导，$\displaystyle f(0)=0, g(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的反函数，证明： $\displaystyle \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{f(a)}(a-g(x)) \mathrm{d} x$.
（2）设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 是由 $\displaystyle y-\frac{1}{2} \sin y=2 x$ 所确定的隐函数，证明 $\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上严格递增，并求 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) d x$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可导，$\displaystyle f(0)=0$ ．若 $\displaystyle f(x)$ 的反函数 $\displaystyle g(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=x^{2} \mathrm{e}^{x}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
第31题求解题
31．求下列空间曲线在指定点处的切线方程和法平面方程．
（1）求空间曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=6, z=x^{2}+y^{2}$ 在点 $\displaystyle P(1,1,2)$ 处的法平面方程．
（2）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=50$ 与锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 所截出的曲线在点 $\displaystyle (3,4,5)$ 处的切线方程与法平面方程．
（3）求曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle P\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$ 处的切线方程与法平面方程．
（4）设曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}\right.$ 由 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}t \mathrm{e}^{y}+2 x-y=2 \\ x+y+2 t(1-t)=0\end{array}\right.$ 所确定，求曲线在点 $\displaystyle t=0$ 处的切线方程与法线方程．
（1）求空间曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=6, z=x^{2}+y^{2}$ 在点 $\displaystyle P(1,1,2)$ 处的法平面方程．
（2）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=50$ 与锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 所截出的曲线在点 $\displaystyle (3,4,5)$ 处的切线方程与法平面方程．
（3）求曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle P\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$ 处的切线方程与法平面方程．
（4）设曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}\right.$ 由 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}t \mathrm{e}^{y}+2 x-y=2 \\ x+y+2 t(1-t)=0\end{array}\right.$ 所确定，求曲线在点 $\displaystyle t=0$ 处的切线方程与法线方程．
第53题证明题
53．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续可导，且对 $\displaystyle \forall x \in(a, b)$ 有 $\displaystyle F(x)=f^{\prime}(x) g(x)- f(x) g^{\prime}(x)>0$ 。证明：（1）$\displaystyle f(x), g(x)$ 不可能有相同的零点；（2）$\displaystyle f(x)$ 的相邻零点之间必有 $\displaystyle g(x)$ 的零点．
（2）设二元函数 $\displaystyle f(x, y), g(x, y)$ 定义在紧集 $\displaystyle K$ 上且有连续一阶偏导数，对 $\displaystyle \forall(x, y) \in K$ ，有 $\displaystyle f_{x} g_{y}-f_{y} g_{x} \neq 0$ ．证明：在 $\displaystyle K$ 内同时满足 $\displaystyle f(x, y)=0, g(x, y)=0$ 的点至多只有有限个．
（1）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续可导，且对 $\displaystyle \forall x \in(a, b)$ 有 $\displaystyle F(x)=f^{\prime}(x) g(x)- f(x) g^{\prime}(x)>0$ 。证明：（1）$\displaystyle f(x), g(x)$ 不可能有相同的零点；（2）$\displaystyle f(x)$ 的相邻零点之间必有 $\displaystyle g(x)$ 的零点．
（2）设二元函数 $\displaystyle f(x, y), g(x, y)$ 定义在紧集 $\displaystyle K$ 上且有连续一阶偏导数，对 $\displaystyle \forall(x, y) \in K$ ，有 $\displaystyle f_{x} g_{y}-f_{y} g_{x} \neq 0$ ．证明：在 $\displaystyle K$ 内同时满足 $\displaystyle f(x, y)=0, g(x, y)=0$ 的点至多只有有限个．