隐函数求导
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第1题证明题
1．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle z=\frac{y}{f\left(x^{2}-y^{2}\right)}$ ，其中 $\displaystyle f$ 为可微函数，证明 $\displaystyle \frac{1}{x} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{y} \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{z}{y^{2}}$ ．
（2）设函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=y f\left(\frac{z}{y}\right)$ 所确定，其中 $\displaystyle f$ 是可微函数，试证：$\displaystyle \left(x^{2}-y^{2}-z^{2}\right) \frac{\partial z}{\partial x}+2 x y \frac{\partial z}{\partial y}=2 x z$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续可导函数，证明 $\displaystyle z=x^{n} f\left(\frac{y}{x^{2}}\right)$ 满足方程：$\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+2 y \frac{\partial z}{\partial y}=n z$ 。（山东科技 2005，深圳大学2009（ $\displaystyle n=3$ ））
（4）设 $\displaystyle \varphi$ 是连续可微函数，$\displaystyle a, b, c$ 为常数，证明由方程 $\displaystyle a x+b y+c z=\varphi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 所确定的函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程 $\displaystyle (c y-b z) \frac{\partial z}{\partial x}+(a z-c x) \frac{\partial z}{\partial y}=b x-a y$ 。
（1）设 $\displaystyle z=\frac{y}{f\left(x^{2}-y^{2}\right)}$ ，其中 $\displaystyle f$ 为可微函数，证明 $\displaystyle \frac{1}{x} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{y} \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{z}{y^{2}}$ ．
（2）设函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=y f\left(\frac{z}{y}\right)$ 所确定，其中 $\displaystyle f$ 是可微函数，试证：$\displaystyle \left(x^{2}-y^{2}-z^{2}\right) \frac{\partial z}{\partial x}+2 x y \frac{\partial z}{\partial y}=2 x z$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续可导函数，证明 $\displaystyle z=x^{n} f\left(\frac{y}{x^{2}}\right)$ 满足方程：$\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+2 y \frac{\partial z}{\partial y}=n z$ 。（山东科技 2005，深圳大学2009（ $\displaystyle n=3$ ））
（4）设 $\displaystyle \varphi$ 是连续可微函数，$\displaystyle a, b, c$ 为常数，证明由方程 $\displaystyle a x+b y+c z=\varphi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 所确定的函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程 $\displaystyle (c y-b z) \frac{\partial z}{\partial x}+(a z-c x) \frac{\partial z}{\partial y}=b x-a y$ 。
第1题证明题
1．证明由下列方程在原点的邻域内唯一确定可导的隐函数 $\displaystyle y=y(x)$ ，并求导数．
（1）$\displaystyle x+\frac{1}{2} y^{2}+\frac{1}{2} z+\sin z=0$ ，并求 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的泰勒公式，展开到二阶．
（2） $\displaystyle 2 y-1+\cos y-x \mathrm{e}^{y}=0$ ，并求 $\displaystyle y^{\prime}(0), y^{\prime \prime}(0), ~ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x}$ 。
（3）$\displaystyle x^{3}+y+1=\cos (x y)$ ，并求 $\displaystyle y^{\prime}(0)$ 的值．
（4） $\displaystyle 3 y-3 x-\sin y=0$ ．
（1）$\displaystyle x+\frac{1}{2} y^{2}+\frac{1}{2} z+\sin z=0$ ，并求 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的泰勒公式，展开到二阶．
（2） $\displaystyle 2 y-1+\cos y-x \mathrm{e}^{y}=0$ ，并求 $\displaystyle y^{\prime}(0), y^{\prime \prime}(0), ~ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x}$ 。
（3）$\displaystyle x^{3}+y+1=\cos (x y)$ ，并求 $\displaystyle y^{\prime}(0)$ 的值．
（4） $\displaystyle 3 y-3 x-\sin y=0$ ．
第2题证明题
2．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \varphi(s, t)$ 具有一阶连续偏导数，对任 意实 数 $\displaystyle \alpha, \beta, u=x^{n} \varphi\left(\frac{y}{x^{\alpha}}, \frac{z}{x^{\beta}}\right)$ ，试 证 明： $\displaystyle x \frac{\partial u}{\partial x}+\alpha y \frac{\partial u}{\partial y}+\beta z \frac{\partial u}{\partial z}=n u$（ $\displaystyle n$ 为自然数）．
（2）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满 足 $\displaystyle F\left(x+\frac{z}{y}, y+\frac{z}{x}\right)=0$ ，其 中 $\displaystyle z(x, y), F(u, v)$ 均可微，试证明： $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z-x y$ 。
（3）设 $\displaystyle z=f(x, y, u)=x y+x F(u)$ ，其中 $\displaystyle F(u)$ 可微，$\displaystyle u=\frac{y}{x}$ ，试证 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z+x y$ ．
（1）设 $\displaystyle \varphi(s, t)$ 具有一阶连续偏导数，对任 意实 数 $\displaystyle \alpha, \beta, u=x^{n} \varphi\left(\frac{y}{x^{\alpha}}, \frac{z}{x^{\beta}}\right)$ ，试 证 明： $\displaystyle x \frac{\partial u}{\partial x}+\alpha y \frac{\partial u}{\partial y}+\beta z \frac{\partial u}{\partial z}=n u$（ $\displaystyle n$ 为自然数）．
（2）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满 足 $\displaystyle F\left(x+\frac{z}{y}, y+\frac{z}{x}\right)=0$ ，其 中 $\displaystyle z(x, y), F(u, v)$ 均可微，试证明： $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z-x y$ 。
（3）设 $\displaystyle z=f(x, y, u)=x y+x F(u)$ ，其中 $\displaystyle F(u)$ 可微，$\displaystyle u=\frac{y}{x}$ ，试证 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z+x y$ ．
第3题证明题
3．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle u=f(z)$ ，其中 $\displaystyle z$ 由方程 $\displaystyle z=x+y \varphi(z)$ 确定，$\displaystyle f, \varphi$ 为可微函数．证明：$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=\varphi(z) \frac{\partial u}{\partial x}$ ．
（2）设函数 $\displaystyle u=u(x, y)$ 由方程 $\displaystyle u=y+x \varphi(u)$ 确定，证明 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\varphi^{2}(u) \frac{\partial u}{\partial y}\right)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle u=f(z), z$ 由方程 $\displaystyle z=x+y \varphi(z)$ 确定，$\displaystyle f(z), \varphi(z)$ 任 意 阶 可 微。试 证 明： $\displaystyle \frac{\partial^{n} u}{\partial y^{n}}=\frac{\partial^{n-1}}{\partial x^{n-1}}\left(\varphi^{n}(z) \frac{\partial u}{\partial x}\right)$ 。
（1）设函数 $\displaystyle u=f(z)$ ，其中 $\displaystyle z$ 由方程 $\displaystyle z=x+y \varphi(z)$ 确定，$\displaystyle f, \varphi$ 为可微函数．证明：$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=\varphi(z) \frac{\partial u}{\partial x}$ ．
（2）设函数 $\displaystyle u=u(x, y)$ 由方程 $\displaystyle u=y+x \varphi(u)$ 确定，证明 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\varphi^{2}(u) \frac{\partial u}{\partial y}\right)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle u=f(z), z$ 由方程 $\displaystyle z=x+y \varphi(z)$ 确定，$\displaystyle f(z), \varphi(z)$ 任 意 阶 可 微。试 证 明： $\displaystyle \frac{\partial^{n} u}{\partial y^{n}}=\frac{\partial^{n-1}}{\partial x^{n-1}}\left(\varphi^{n}(z) \frac{\partial u}{\partial x}\right)$ 。
第3题讨论/判定题
3．讨论下列各题．
（1）方程 $\displaystyle y^{2}-x^{2}\left(1-x^{2}\right)=0$ 在哪些点的邻域内可唯一确定连续可导的隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ ．
（2）已知方程 $\displaystyle x^{2}+y-\cos (x y)=0$ ．
（1）研究上述方程并说明它在什么时候可以在点 $\displaystyle (0,1)$ 附近确定函数 $\displaystyle y=y(x)$ ，且 $\displaystyle y(0)=1$ ．
（2）研究函数 $\displaystyle y=y(x)$ 在点 $\displaystyle (0,1)$ 附近的可微性．
（3）研究函数 $\displaystyle y=y(x)$ 在点 $\displaystyle (0,1)$ 附近的单调性．
（4）试问上述方程在点 $\displaystyle (0,1)$ 的充分小邻域内可否确定函数 $\displaystyle x=x(y), x(1)=0$ ？并说明理由．
（1）方程 $\displaystyle y^{2}-x^{2}\left(1-x^{2}\right)=0$ 在哪些点的邻域内可唯一确定连续可导的隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ ．
（2）已知方程 $\displaystyle x^{2}+y-\cos (x y)=0$ ．
（1）研究上述方程并说明它在什么时候可以在点 $\displaystyle (0,1)$ 附近确定函数 $\displaystyle y=y(x)$ ，且 $\displaystyle y(0)=1$ ．
（2）研究函数 $\displaystyle y=y(x)$ 在点 $\displaystyle (0,1)$ 附近的可微性．
（3）研究函数 $\displaystyle y=y(x)$ 在点 $\displaystyle (0,1)$ 附近的单调性．
（4）试问上述方程在点 $\displaystyle (0,1)$ 的充分小邻域内可否确定函数 $\displaystyle x=x(y), x(1)=0$ ？并说明理由．
第4题求解题
4．求由下列方程确定的隐函数的导数．
（1）设 $\displaystyle \frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)=\arctan \frac{y}{x}$ ，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
（2）设 $\displaystyle y=y(x)$ 由 $\displaystyle \mathrm{e}^{y}+x y-\mathrm{e}=0$ 确定，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ 。
（3）设 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle \mathrm{e}^{x y}=2^{x} 3^{y}$ 确定的隐函数，计算 $\displaystyle (y-\ln 2) y^{\prime \prime}-2\left(y^{\prime}\right)^{2}$ 。重庆大学 2006）
（1）设 $\displaystyle \frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)=\arctan \frac{y}{x}$ ，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
（2）设 $\displaystyle y=y(x)$ 由 $\displaystyle \mathrm{e}^{y}+x y-\mathrm{e}=0$ 确定，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ 。
（3）设 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle \mathrm{e}^{x y}=2^{x} 3^{y}$ 确定的隐函数，计算 $\displaystyle (y-\ln 2) y^{\prime \prime}-2\left(y^{\prime}\right)^{2}$ 。重庆大学 2006）
第4题求解题
4．求下列隐函数的极值．
（1）求由方程 $\displaystyle x^{2}+2 x y+2 y^{2}=1$ 所确定的隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ 的极值．
（2）求由方程 $\displaystyle 2 x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y-2 x-2 y-4 z+4=0$ 所确定的隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 的极值．
（3）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x^{2}-6 x y+10 y^{2}-2 y z-z^{2}+18=0$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle z=z(x, y)$ 的极值点和极值．
（1）求由方程 $\displaystyle x^{2}+2 x y+2 y^{2}=1$ 所确定的隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ 的极值．
（2）求由方程 $\displaystyle 2 x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y-2 x-2 y-4 z+4=0$ 所确定的隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 的极值．
（3）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x^{2}-6 x y+10 y^{2}-2 y z-z^{2}+18=0$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle z=z(x, y)$ 的极值点和极值．
第5题求解题
5．求由下列方程确定的隐函数的导数．
（1）设 $\displaystyle y=y(x)$ 是可微函数，且满足 $\displaystyle y=-y \mathrm{e}^{x}+2 \mathrm{e}^{y} \sin x-7 x$ ，求 $\displaystyle y^{\prime}(0)$ 。
（2）设 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle 2 x-\int_{1}^{y} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=x y$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle y^{\prime}$ 及 $\displaystyle y^{\prime}(0),\left.\mathrm{d} y\right|_{x=0}$ 。
（3）求由方程 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}+\sin x y-\mathrm{e}^{y}-x y=1-\mathrm{e}$ 所确定的隐函数 $\displaystyle y=y(x)$ 的导数，并计算 $\displaystyle y^{\prime}(0)$ ．
（1）设 $\displaystyle y=y(x)$ 是可微函数，且满足 $\displaystyle y=-y \mathrm{e}^{x}+2 \mathrm{e}^{y} \sin x-7 x$ ，求 $\displaystyle y^{\prime}(0)$ 。
（2）设 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle 2 x-\int_{1}^{y} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=x y$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle y^{\prime}$ 及 $\displaystyle y^{\prime}(0),\left.\mathrm{d} y\right|_{x=0}$ 。
（3）求由方程 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}+\sin x y-\mathrm{e}^{y}-x y=1-\mathrm{e}$ 所确定的隐函数 $\displaystyle y=y(x)$ 的导数，并计算 $\displaystyle y^{\prime}(0)$ ．
第6题求解题
6．求由下列方程所确定的隐函数的导数．
（1） $\displaystyle \mathrm{e}^{-x y}-2 x+\mathrm{e}^{z}=0$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ ．
（2） $\displaystyle \mathrm{e}^{z}-x y z=0$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ 。
（3）$\displaystyle \frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ 。
（1） $\displaystyle \mathrm{e}^{-x y}-2 x+\mathrm{e}^{z}=0$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ ．
（2） $\displaystyle \mathrm{e}^{z}-x y z=0$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ 。
（3）$\displaystyle \frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ 。
第7题求解题
7．求由下列方程所确定的隐函数的导数．
（1）方程 $\displaystyle z^{2} x-z^{3} y+y-1=0$ 在 $\displaystyle (1,2,1)$ 附近确定隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，求 $\displaystyle z_{x x}(1,2)$ ．
（2）方程 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}+2 x y-z=7$ 在 $\displaystyle (1,-2,1)$ 附近确定隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，并求 $\displaystyle z_{x y}(1,-2)$ 的值．
（1）方程 $\displaystyle z^{2} x-z^{3} y+y-1=0$ 在 $\displaystyle (1,2,1)$ 附近确定隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，求 $\displaystyle z_{x x}(1,2)$ ．
（2）方程 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}+2 x y-z=7$ 在 $\displaystyle (1,-2,1)$ 附近确定隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，并求 $\displaystyle z_{x y}(1,-2)$ 的值．
第8题证明题
8．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle F(x-z, y-z)=0$ 所确定的隐函数，其中 $\displaystyle F$ 具有连续二阶偏导数，证明：$\displaystyle z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}=0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle F(u, v)$ 有连续的二阶偏导数，求证：由方程 $\displaystyle F\left(\frac{x-x_{0}}{z-z_{0}}, \frac{y-y_{0}}{z-z_{0}}\right)=0$ 所确定的隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足下列两个方程：$\displaystyle \left(x-x_{0}\right) \frac{\partial z}{\partial x}+\left(y-y_{0}\right) \frac{\partial z}{\partial y}=z-z_{0}$ 和 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right)^{2}=0$ ．
（1）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle F(x-z, y-z)=0$ 所确定的隐函数，其中 $\displaystyle F$ 具有连续二阶偏导数，证明：$\displaystyle z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}=0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle F(u, v)$ 有连续的二阶偏导数，求证：由方程 $\displaystyle F\left(\frac{x-x_{0}}{z-z_{0}}, \frac{y-y_{0}}{z-z_{0}}\right)=0$ 所确定的隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足下列两个方程：$\displaystyle \left(x-x_{0}\right) \frac{\partial z}{\partial x}+\left(y-y_{0}\right) \frac{\partial z}{\partial y}=z-z_{0}$ 和 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right)^{2}=0$ ．
第8题求解题
8．求由下列方程所确定的隐函数的导数．
（1）已知 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+h^{2}(z)=1$ 所确定的隐函数，且 $\displaystyle h(z)$ 具有所需性质，求 $\displaystyle z_{x y}$ ．
（2）已知 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+\mathrm{e}^{h(z)}=1$ 所确定的隐函数，且 $\displaystyle h(z)$ 具有所需性质，求 $\displaystyle z_{x y}$ 。
（3）已知 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x+y+z=x y z$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle z_{x x}, z_{x y}, z_{y y}$ ．
（4）$\displaystyle f(x, x+y, x+y+z)=0$ ，其中 $\displaystyle f(x, y, z)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle z_{x x}$ 。
（1）已知 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+h^{2}(z)=1$ 所确定的隐函数，且 $\displaystyle h(z)$ 具有所需性质，求 $\displaystyle z_{x y}$ ．
（2）已知 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+\mathrm{e}^{h(z)}=1$ 所确定的隐函数，且 $\displaystyle h(z)$ 具有所需性质，求 $\displaystyle z_{x y}$ 。
（3）已知 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x+y+z=x y z$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle z_{x x}, z_{x y}, z_{y y}$ ．
（4）$\displaystyle f(x, x+y, x+y+z)=0$ ，其中 $\displaystyle f(x, y, z)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle z_{x x}$ 。
第9题求解题
9．求由下列方程所确定的隐函数的微分．
（1）设函数 $\displaystyle u=f(x, y, z)$ 有连续偏导数，且 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle x \mathrm{e}^{x}-y \mathrm{e}^{y}=z \mathrm{e}^{z}$ 所确定，求 $\displaystyle \mathrm{d} u$ ．
（2）设 $\displaystyle u=f(x, z)$ ，而 $\displaystyle z(x, y)$ 由 $\displaystyle z=x+y \varphi(z)$ 所确定，求 $\displaystyle \mathrm{d} u$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(u, v)$ 具有一阶连续偏导数，又设 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle f\left(x y^{2}, x+y\right)=0$ 所确定的隐函数．（1）求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ；（2）当 $\displaystyle f(u, v)=u e^{v}+v$ 时，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(u, v, w)$ 可微，$\displaystyle f_{2}^{\prime}-f_{3}^{\prime} \neq 0$ ，方程 $\displaystyle f(x-y, y-z, z-x)=0$ 确定函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，求 $\displaystyle \mathrm{d} z$ ．
（1）设函数 $\displaystyle u=f(x, y, z)$ 有连续偏导数，且 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle x \mathrm{e}^{x}-y \mathrm{e}^{y}=z \mathrm{e}^{z}$ 所确定，求 $\displaystyle \mathrm{d} u$ ．
（2）设 $\displaystyle u=f(x, z)$ ，而 $\displaystyle z(x, y)$ 由 $\displaystyle z=x+y \varphi(z)$ 所确定，求 $\displaystyle \mathrm{d} u$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(u, v)$ 具有一阶连续偏导数，又设 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle f\left(x y^{2}, x+y\right)=0$ 所确定的隐函数．（1）求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ；（2）当 $\displaystyle f(u, v)=u e^{v}+v$ 时，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(u, v, w)$ 可微，$\displaystyle f_{2}^{\prime}-f_{3}^{\prime} \neq 0$ ，方程 $\displaystyle f(x-y, y-z, z-x)=0$ 确定函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，求 $\displaystyle \mathrm{d} z$ ．
第10题求解题
10．求下列导数或微分．
（1）设 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ ，其中 $\displaystyle y=f(x)$ 为由方程 $\displaystyle x^{2}-x y+y^{2}=1$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ 及 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} z}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
（2）设 $\displaystyle u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ，其中 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=3 x y z$ 所确定，求 $\displaystyle u_{x}, u_{y}$ 。
（1）设 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ ，其中 $\displaystyle y=f(x)$ 为由方程 $\displaystyle x^{2}-x y+y^{2}=1$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ 及 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} z}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
（2）设 $\displaystyle u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ，其中 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=3 x y z$ 所确定，求 $\displaystyle u_{x}, u_{y}$ 。
第11题计算题
11．求解下列问题．
（1）设 $\displaystyle f$ 为可微函数，$\displaystyle u=f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ ，并有方程 $\displaystyle 3 x+2 y^{2}+z^{3}=6 x y z$ ，试对以下两种情形分别计算 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ 在点 $\displaystyle P_{0}(1,1,1)$ 处的值。（1）由方程确定了隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ；（2）由方程确定了隐函数 $\displaystyle y=y(z, x)$ ．
（2）设 $\displaystyle f$ 为可微函数，且 $\displaystyle f^{\prime}(4)=1, u=f\left(x^{3}+2 y+z^{2}\right), x, y, z$ 满足方程 $\displaystyle (*): 4 x+2 y^{2}+z^{3}=5 x y z$ ．试就满足下述两种情况分别求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ 在点 $\displaystyle P_{0}(1,1,1)$ 处的值。（1）由方程 $\displaystyle (*)$ 确定隐函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ ； （2）由方程 $\displaystyle \left(^{*}\right)$ 确定隐函数 $\displaystyle y=f(x, z)$ ．
（1）设 $\displaystyle f$ 为可微函数，$\displaystyle u=f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ ，并有方程 $\displaystyle 3 x+2 y^{2}+z^{3}=6 x y z$ ，试对以下两种情形分别计算 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ 在点 $\displaystyle P_{0}(1,1,1)$ 处的值。（1）由方程确定了隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ；（2）由方程确定了隐函数 $\displaystyle y=y(z, x)$ ．
（2）设 $\displaystyle f$ 为可微函数，且 $\displaystyle f^{\prime}(4)=1, u=f\left(x^{3}+2 y+z^{2}\right), x, y, z$ 满足方程 $\displaystyle (*): 4 x+2 y^{2}+z^{3}=5 x y z$ ．试就满足下述两种情况分别求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ 在点 $\displaystyle P_{0}(1,1,1)$ 处的值。（1）由方程 $\displaystyle (*)$ 确定隐函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ ； （2）由方程 $\displaystyle \left(^{*}\right)$ 确定隐函数 $\displaystyle y=f(x, z)$ ．
第12题求解题
12．求由下列方程确定的隐函数的导数或微分．
（1）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 为由方程 $\displaystyle z=f(x y z, x+y+z)$ 确定的可微隐函数，求 $\displaystyle z_{x}, z_{y}, \mathrm{~d} z$ 。
（2）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 为由方程 $\displaystyle z=f(x, x y)+\varphi(y+z)$ 确定的可微隐函数，求 $\displaystyle \mathrm{d} z$ ．
（1）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 为由方程 $\displaystyle z=f(x y z, x+y+z)$ 确定的可微隐函数，求 $\displaystyle z_{x}, z_{y}, \mathrm{~d} z$ 。
（2）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 为由方程 $\displaystyle z=f(x, x y)+\varphi(y+z)$ 确定的可微隐函数，求 $\displaystyle \mathrm{d} z$ ．
第13题求解题
13．通过变量代换变换方程．
（1）取 $\displaystyle u=\frac{y}{x}, v=z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 作新的自变量，变换方程 $\displaystyle x z_{x}+y z_{y}=z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ．
（2）用变换 $\displaystyle \xi=x, \eta=x^{2}+y^{2}$ 化简方程 $\displaystyle y z_{x}-x z_{y}=0$ ，并求出这个方程的通解 $\displaystyle z=z(x, y)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 在平面 $\displaystyle \mathrm{R}^{2}$ 上有连续的一阶偏导数．$\displaystyle w=w(u, v)$ 是由方程组 $\displaystyle u=x^{2}+y^{2}, v=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}, z=\mathrm{e}^{w+x+y}$ 所确定的隐函数。将方程 $\displaystyle y z_{x}-x z_{y}=(y-x) z,(x \neq y)$ 化为 $\displaystyle w_{u}, w_{v}$ 所满足的一个关系式．
（4）将方程 $\displaystyle x u_{y}-y u_{x}=0$ 变为以极坐标 $\displaystyle r, \theta$ 为自变量的形式，其中 $\displaystyle x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ， $\displaystyle (r \neq 0)$ ．
（1）取 $\displaystyle u=\frac{y}{x}, v=z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 作新的自变量，变换方程 $\displaystyle x z_{x}+y z_{y}=z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ．
（2）用变换 $\displaystyle \xi=x, \eta=x^{2}+y^{2}$ 化简方程 $\displaystyle y z_{x}-x z_{y}=0$ ，并求出这个方程的通解 $\displaystyle z=z(x, y)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 在平面 $\displaystyle \mathrm{R}^{2}$ 上有连续的一阶偏导数．$\displaystyle w=w(u, v)$ 是由方程组 $\displaystyle u=x^{2}+y^{2}, v=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}, z=\mathrm{e}^{w+x+y}$ 所确定的隐函数。将方程 $\displaystyle y z_{x}-x z_{y}=(y-x) z,(x \neq y)$ 化为 $\displaystyle w_{u}, w_{v}$ 所满足的一个关系式．
（4）将方程 $\displaystyle x u_{y}-y u_{x}=0$ 变为以极坐标 $\displaystyle r, \theta$ 为自变量的形式，其中 $\displaystyle x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ， $\displaystyle (r \neq 0)$ ．
第13题求解题
13．求解下列各题．
（1）方程 $\displaystyle F\left(\frac{x}{z}, \frac{y}{z}\right)=0$ 确定隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，求 $\displaystyle x z_{x}+y z_{y}$ 。
（2）设 $\displaystyle z=f(u)$ ，方程 $\displaystyle u=\varphi(u)+\int_{y}^{x} p(t) \mathrm{d} t$ 确定隐函数 $\displaystyle u=u(x, y)$ ，其中 $\displaystyle f(u), \varphi(u)$ ，可微， $\displaystyle p(t), \varphi^{\prime}(u)$ 连续且 $\displaystyle \varphi^{\prime}(u) \neq 1$ ，求 $\displaystyle p(y) z_{x}+p(x) z_{y}$ 。
（3）设 $\displaystyle G(s, t)$ 是二元连续可微函数，满足 $\displaystyle a G_{s}+b G_{t} \neq 0$ ，又设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 是由 $\displaystyle G(c x-a z, c y-b z)=0$ 定义的隐函数，其中 $\displaystyle a, b, c$ 均为常数。（1）求 $\displaystyle a z_{x}+b z_{y}$ ；（2）求 $\displaystyle z_{x y}$ 。
（4）设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，$\displaystyle u=x+a y, v=x-a y(a \neq 0)$ ，求 $\displaystyle z_{u v}$ 。
（5）设函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 满足方程 $\displaystyle F(u, v)=0$ ，其中 $\displaystyle u=x+a z, v=y+b z, a, b$ 为常数，$\displaystyle F$ 可微，且 $\displaystyle a F_{u}+b F_{v} \neq 0$ ，求积分 $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}<1} \mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\left(a z_{x}+b z_{y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（1）方程 $\displaystyle F\left(\frac{x}{z}, \frac{y}{z}\right)=0$ 确定隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，求 $\displaystyle x z_{x}+y z_{y}$ 。
（2）设 $\displaystyle z=f(u)$ ，方程 $\displaystyle u=\varphi(u)+\int_{y}^{x} p(t) \mathrm{d} t$ 确定隐函数 $\displaystyle u=u(x, y)$ ，其中 $\displaystyle f(u), \varphi(u)$ ，可微， $\displaystyle p(t), \varphi^{\prime}(u)$ 连续且 $\displaystyle \varphi^{\prime}(u) \neq 1$ ，求 $\displaystyle p(y) z_{x}+p(x) z_{y}$ 。
（3）设 $\displaystyle G(s, t)$ 是二元连续可微函数，满足 $\displaystyle a G_{s}+b G_{t} \neq 0$ ，又设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 是由 $\displaystyle G(c x-a z, c y-b z)=0$ 定义的隐函数，其中 $\displaystyle a, b, c$ 均为常数。（1）求 $\displaystyle a z_{x}+b z_{y}$ ；（2）求 $\displaystyle z_{x y}$ 。
（4）设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，$\displaystyle u=x+a y, v=x-a y(a \neq 0)$ ，求 $\displaystyle z_{u v}$ 。
（5）设函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 满足方程 $\displaystyle F(u, v)=0$ ，其中 $\displaystyle u=x+a z, v=y+b z, a, b$ 为常数，$\displaystyle F$ 可微，且 $\displaystyle a F_{u}+b F_{v} \neq 0$ ，求积分 $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}<1} \mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\left(a z_{x}+b z_{y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
第14题证明题
14．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上无穷次可微，且满足 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ．证明：（1）存在 $\displaystyle \delta>0$ 和定义在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 上的可微函数 $\displaystyle \varphi(t)$ ，使得 $\displaystyle f(\varphi(t))=\sin t$ ；（2）求 $\displaystyle \varphi(t)$ 在 $\displaystyle t=0$ 的二阶泰勒公式．
第18题证明题
18．证明下列各题．
（1）证明：方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+u^{2}+v^{2}=9 \\ x^{2}+u^{2}-3 x=0\end{array}(u, v \neq 0)\right.$ 能确定唯一的隐函数组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(x), \\ v=g(y),\end{array}\right.$ 并求其导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} x}$ ．
（2）设 $\displaystyle u=u(x, y)$ 是由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=z x+y f(z)+g(z) \\ x+y f^{\prime}(z)+g^{\prime}(z)=0\end{array}\right.$ 所确定的二阶连续可微隐函数，其中 $\displaystyle f, g$ 有二阶连续的导数，证明：$\displaystyle u_{x x} \cdot u_{y y}-u_{x y}^{2}=0$ ．
（1）证明：方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+u^{2}+v^{2}=9 \\ x^{2}+u^{2}-3 x=0\end{array}(u, v \neq 0)\right.$ 能确定唯一的隐函数组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(x), \\ v=g(y),\end{array}\right.$ 并求其导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} x}$ ．
（2）设 $\displaystyle u=u(x, y)$ 是由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=z x+y f(z)+g(z) \\ x+y f^{\prime}(z)+g^{\prime}(z)=0\end{array}\right.$ 所确定的二阶连续可微隐函数，其中 $\displaystyle f, g$ 有二阶连续的导数，证明：$\displaystyle u_{x x} \cdot u_{y y}-u_{x y}^{2}=0$ ．
第30题求解题
30．求解下列各题．
（1）曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (1,-2,1)$ 处的切线方程和法平面方程。
（2）求曲线 $\displaystyle \Gamma: x=x(t)=t^{2}, y=y(t)=\mathrm{e}^{t}+2, z=z(t)=t+\cos t, t \in \mathbf{R}$ 在点 $\displaystyle (x(0), y(0), z(0))$ 处的切线方程与法平面线方程．
（1）曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (1,-2,1)$ 处的切线方程和法平面方程。
（2）求曲线 $\displaystyle \Gamma: x=x(t)=t^{2}, y=y(t)=\mathrm{e}^{t}+2, z=z(t)=t+\cos t, t \in \mathbf{R}$ 在点 $\displaystyle (x(0), y(0), z(0))$ 处的切线方程与法平面线方程．
第31题求解题
31．求下列空间曲线在指定点处的切线方程和法平面方程．
（1）求空间曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=6, z=x^{2}+y^{2}$ 在点 $\displaystyle P(1,1,2)$ 处的法平面方程．
（2）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=50$ 与锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 所截出的曲线在点 $\displaystyle (3,4,5)$ 处的切线方程与法平面方程．
（3）求曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle P\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$ 处的切线方程与法平面方程．
（4）设曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}\right.$ 由 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}t \mathrm{e}^{y}+2 x-y=2 \\ x+y+2 t(1-t)=0\end{array}\right.$ 所确定，求曲线在点 $\displaystyle t=0$ 处的切线方程与法线方程．
（1）求空间曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=6, z=x^{2}+y^{2}$ 在点 $\displaystyle P(1,1,2)$ 处的法平面方程．
（2）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=50$ 与锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 所截出的曲线在点 $\displaystyle (3,4,5)$ 处的切线方程与法平面方程．
（3）求曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle P\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$ 处的切线方程与法平面方程．
（4）设曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}\right.$ 由 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}t \mathrm{e}^{y}+2 x-y=2 \\ x+y+2 t(1-t)=0\end{array}\right.$ 所确定，求曲线在点 $\displaystyle t=0$ 处的切线方程与法线方程．
第33题求解题
33．求解下列各题．
（1）确定正数 $\displaystyle \lambda$ ，使曲面 $\displaystyle x y z=\lambda$ 与椭圆面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在某点相切．
（2）已知曲面 $\displaystyle x y-z=0$ 及平面 $\displaystyle \pi: x+3 y+z=0$ ，问曲面上是否存在一点，使得曲面过此点的法线与平面 $\displaystyle \pi$ 垂直，若存在，求出此法线及此点的坐标，若不存在，说明理由．
（1）确定正数 $\displaystyle \lambda$ ，使曲面 $\displaystyle x y z=\lambda$ 与椭圆面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在某点相切．
（2）已知曲面 $\displaystyle x y-z=0$ 及平面 $\displaystyle \pi: x+3 y+z=0$ ，问曲面上是否存在一点，使得曲面过此点的法线与平面 $\displaystyle \pi$ 垂直，若存在，求出此法线及此点的坐标，若不存在，说明理由．
第35题证明题
35．证明下列结论．
（1）已知平面 $\displaystyle l x+m y+n z=p$ 与椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 相切，证明 $\displaystyle a^{2} l^{2}+b^{2} m^{2}+c^{2} n^{2}=p^{2}$ ．
（2）证明曲面 $\displaystyle F(n x-l z, n y-m z)=0$ 上任一点处的切平面都平行于直线 $\displaystyle \frac{x-1}{l}=\frac{y-2}{m}=\frac{z-3}{n}$ ，其中 $\displaystyle F$ 有连续的偏导数．
（3）试证曲面上．$\displaystyle F\left(\frac{x-a}{z-c}, \frac{y-b}{z-c}\right)=0$ 任一点处的切平面都过一定点，其中 $\displaystyle F(u, v)$ 可微．
（4）证明曲面 $\displaystyle z^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(\frac{y}{x}\right)$ 的所有切平面都经过某个定点，其中 $\displaystyle f$ 为可微函数．
（5）设函数 $\displaystyle F(u, v, w)$ 有连续的偏导数，证明曲面 $\displaystyle F\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{y}, \frac{x}{z}\right)=0$ 上各点的切平面都相交于一点，并求出交点的坐标．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续可微函数，证明曲面 $\displaystyle a x+b y+c z=f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 上任意一点 $\displaystyle M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的法向量与向量 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 及 $\displaystyle (a, b, c)$ 共面．
（7）设 $\displaystyle \frac{x z}{y}=u, \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{z^{2}+y^{2}}=v, \sqrt{x^{2}+y^{2}}-\sqrt{z^{2}+y^{2}}=w$ 是以 $\displaystyle u, v, w$ 为参数的单参数曲面族，证明过同一点的三个曲面是两两正交的．
（1）已知平面 $\displaystyle l x+m y+n z=p$ 与椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 相切，证明 $\displaystyle a^{2} l^{2}+b^{2} m^{2}+c^{2} n^{2}=p^{2}$ ．
（2）证明曲面 $\displaystyle F(n x-l z, n y-m z)=0$ 上任一点处的切平面都平行于直线 $\displaystyle \frac{x-1}{l}=\frac{y-2}{m}=\frac{z-3}{n}$ ，其中 $\displaystyle F$ 有连续的偏导数．
（3）试证曲面上．$\displaystyle F\left(\frac{x-a}{z-c}, \frac{y-b}{z-c}\right)=0$ 任一点处的切平面都过一定点，其中 $\displaystyle F(u, v)$ 可微．
（4）证明曲面 $\displaystyle z^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(\frac{y}{x}\right)$ 的所有切平面都经过某个定点，其中 $\displaystyle f$ 为可微函数．
（5）设函数 $\displaystyle F(u, v, w)$ 有连续的偏导数，证明曲面 $\displaystyle F\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{y}, \frac{x}{z}\right)=0$ 上各点的切平面都相交于一点，并求出交点的坐标．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续可微函数，证明曲面 $\displaystyle a x+b y+c z=f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 上任意一点 $\displaystyle M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的法向量与向量 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 及 $\displaystyle (a, b, c)$ 共面．
（7）设 $\displaystyle \frac{x z}{y}=u, \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{z^{2}+y^{2}}=v, \sqrt{x^{2}+y^{2}}-\sqrt{z^{2}+y^{2}}=w$ 是以 $\displaystyle u, v, w$ 为参数的单参数曲面族，证明过同一点的三个曲面是两两正交的．