隐函数组求导
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第15题求解题
15．求由下列方程组确定的隐函数组的导数或微分．
（1）设方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y=u+v \\ x \sin v=y \sin u\end{array}\right.$ 确定了可微函数 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=u(x, y), \\ v=v(x, y) .\end{array}\right.$ 试求 $\displaystyle u_{x}, u_{y}, \mathrm{~d} v$ ．
（2）设方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y+u+v=0 \\ x^{2}+y^{2}+u \cos v=0\end{array}\right.$ 确定了可微函数 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=u(x, y), \\ v=v(x, y) .\end{array}\right.$ 试求 $\displaystyle u_{x}, u_{y}$ ．
（3）求由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y+z=0 \\ x^{3}+y^{3}-z^{3}=10\end{array}\right.$ 确定的隐函数 $\displaystyle y=y(x), z=z(x)$ 在点 $\displaystyle P(1,1,-2)$ 处的一阶导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x}$ ．
（1）设方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y=u+v \\ x \sin v=y \sin u\end{array}\right.$ 确定了可微函数 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=u(x, y), \\ v=v(x, y) .\end{array}\right.$ 试求 $\displaystyle u_{x}, u_{y}, \mathrm{~d} v$ ．
（2）设方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y+u+v=0 \\ x^{2}+y^{2}+u \cos v=0\end{array}\right.$ 确定了可微函数 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=u(x, y), \\ v=v(x, y) .\end{array}\right.$ 试求 $\displaystyle u_{x}, u_{y}$ ．
（3）求由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y+z=0 \\ x^{3}+y^{3}-z^{3}=10\end{array}\right.$ 确定的隐函数 $\displaystyle y=y(x), z=z(x)$ 在点 $\displaystyle P(1,1,-2)$ 处的一阶导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x}$ ．
第16题求解题
16．求由下列方程组确定的隐函数组的导数．
（1）设函数 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=u(x, y) \\ v=v(x, y)\end{array}\right.$ 满足方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x u-y v=0, \\ y u+x v=1 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle u_{x}, v_{y}$ ．
（2）设 $\displaystyle x=x(y, u), v=v(y, u)$ 是由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(x, y)+x v \\ y=g(x, v)+y u\end{array}\right.$ 所确定的隐函数，且 $\displaystyle \left(v+\frac{\partial f}{\partial x}\right) \frac{\partial g}{\partial v} \neq x \frac{\partial g}{\partial x}$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial x}{\partial y}$ ．
（3）设函数 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(u x, v+y), \\ v=g\left(u-x, v^{2} y\right) .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle u_{x}, v_{x}$ 。河北工大 2002，上海理工 2009，青岛大学 2014）
（1）设函数 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=u(x, y) \\ v=v(x, y)\end{array}\right.$ 满足方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x u-y v=0, \\ y u+x v=1 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle u_{x}, v_{y}$ ．
（2）设 $\displaystyle x=x(y, u), v=v(y, u)$ 是由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(x, y)+x v \\ y=g(x, v)+y u\end{array}\right.$ 所确定的隐函数，且 $\displaystyle \left(v+\frac{\partial f}{\partial x}\right) \frac{\partial g}{\partial v} \neq x \frac{\partial g}{\partial x}$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial x}{\partial y}$ ．
（3）设函数 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(u x, v+y), \\ v=g\left(u-x, v^{2} y\right) .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle u_{x}, v_{x}$ 。河北工大 2002，上海理工 2009，青岛大学 2014）
第17题求解题
17．求由下列方程组确定的隐函数组的导数或微分．
（1）设 $\displaystyle y(x), z(x)$ 是由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}f(x, y, z)=0 \\ z=g(x, y)\end{array}\right.$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle y^{\prime}(x), z^{\prime}(x)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle x=x(u, v)$ 满足方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}F(x, f(y, u))=0, \\ G(y, g(x, v))=0 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle x_{u}, x_{v}$ 。其中 $\displaystyle F, G, f, g$ 均为连续可微函数，且 $\displaystyle F_{1} G_{1} \neq F_{2} G_{2}, F_{1}$ 为 $\displaystyle F$ 对其第一个变量的偏导数，$\displaystyle F_{2}, G_{1}, G_{2}$ 仿此．
（3）设 $\displaystyle u=u(x, y)$ 是由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(x, y, z, t) \\ g(y, z, t)=0 \\ h(z, t)=0\end{array}\right.$ 确定的隐函数，求 $\displaystyle \mathrm{d} u$ 或 $\displaystyle u_{x}, u_{y}$ ．
（1）设 $\displaystyle y(x), z(x)$ 是由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}f(x, y, z)=0 \\ z=g(x, y)\end{array}\right.$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle y^{\prime}(x), z^{\prime}(x)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle x=x(u, v)$ 满足方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}F(x, f(y, u))=0, \\ G(y, g(x, v))=0 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle x_{u}, x_{v}$ 。其中 $\displaystyle F, G, f, g$ 均为连续可微函数，且 $\displaystyle F_{1} G_{1} \neq F_{2} G_{2}, F_{1}$ 为 $\displaystyle F$ 对其第一个变量的偏导数，$\displaystyle F_{2}, G_{1}, G_{2}$ 仿此．
（3）设 $\displaystyle u=u(x, y)$ 是由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(x, y, z, t) \\ g(y, z, t)=0 \\ h(z, t)=0\end{array}\right.$ 确定的隐函数，求 $\displaystyle \mathrm{d} u$ 或 $\displaystyle u_{x}, u_{y}$ ．