雅可比行列式
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第9题计算题
9．设 $\displaystyle V$ 是由曲面 $\displaystyle x^{2}+\frac{1}{2}(y-z)^{2}=R^{2}, z=0, z=h$ 所围成的区域，计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V}(y-z) \arctan z \mathrm{~d} V$ 。
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(y-z)^{3} \arctan z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。
（1） $\displaystyle \iiint_{V}(y-z) \arctan z \mathrm{~d} V$ 。
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(y-z)^{3} \arctan z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。
第11题证明题
11．设一元函数 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，证明：
$\displaystyle \iint_{D} f(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{-1}^{1} f(u) \mathrm{d} u$ ，其中 $\displaystyle D:|x|+|y| \leqslant 1$ 。南京财大 2009 ，重庆大学 2006 ，南京财大 2009 ，广西师大 2009，湖北大学 2009／2004／2003（ $\displaystyle f(t)=t^{2}$ ））
$\displaystyle \iint_{D} f(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{-1}^{1} f(u) \mathrm{d} u$ ，其中 $\displaystyle D:|x|+|y| \leqslant 1$ 。南京财大 2009 ，重庆大学 2006 ，南京财大 2009 ，广西师大 2009，湖北大学 2009／2004／2003（ $\displaystyle f(t)=t^{2}$ ））
第11题计算题
11．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=a y^{2}, z=b y^{2}, y>0,0<a<b, z=\alpha x, z=\beta x, 0<\alpha<\beta$ ， $\displaystyle z=h(h>0)$ 所围成。
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 位于第一象限且由曲面 $\displaystyle z=p\left(x^{2}+y^{2}\right), z=q\left(x^{2}+y^{2}\right), x y=a$ ， $\displaystyle x y=b, y=\alpha x, y=\beta x$ 所围成。这里 $\displaystyle 0<p<q, 0<a<b, 0<\alpha<\beta$ ．
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+y-z)(x-y+z)(y+z-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x+y-z \leqslant 10,0 \leqslant x-y+z \leqslant 10$ ， $\displaystyle 0 \leqslant y+z-x \leqslant 10\}$ ．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=a y^{2}, z=b y^{2}, y>0,0<a<b, z=\alpha x, z=\beta x, 0<\alpha<\beta$ ， $\displaystyle z=h(h>0)$ 所围成。
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 位于第一象限且由曲面 $\displaystyle z=p\left(x^{2}+y^{2}\right), z=q\left(x^{2}+y^{2}\right), x y=a$ ， $\displaystyle x y=b, y=\alpha x, y=\beta x$ 所围成。这里 $\displaystyle 0<p<q, 0<a<b, 0<\alpha<\beta$ ．
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+y-z)(x-y+z)(y+z-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x+y-z \leqslant 10,0 \leqslant x-y+z \leqslant 10$ ， $\displaystyle 0 \leqslant y+z-x \leqslant 10\}$ ．
第12题计算题
12．积分区域 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle \{(x, y) \| x|+|y| \leqslant 1\}$ ，计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}-y^{2}}{\sqrt{x+y+3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}-2 x y+y^{2}}{\sqrt{x+y+2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（3） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right)^{p} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, p$ 是正整数．
（4） $\displaystyle \iint_{D} x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{e}^{(-x+y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（6） $\displaystyle \iint_{D}(2 x-y+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}-y^{2}}{\sqrt{x+y+3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}-2 x y+y^{2}}{\sqrt{x+y+2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（3） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right)^{p} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, p$ 是正整数．
（4） $\displaystyle \iint_{D} x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{e}^{(-x+y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（6） $\displaystyle \iint_{D}(2 x-y+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
第13题计算题
13．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \sin (x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x+y \leqslant \pi, 0 \leqslant x-y \leqslant \pi\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \cos (x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x+y \leqslant \pi, 0 \leqslant x-y \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{\frac{x-y}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=a, x=0$ 及 $\displaystyle y=0$ 所围成的区域．$\displaystyle (a=1$ ：湖北大学 2005 ，华南理工 2011，北京科技 2009，青岛理工 2007，沈阳工大 2011，浙江大学，山西师大 2010 ，天津大学 $\displaystyle 2000 ; a=2$ ：南航 2007，燕山大学 2011，广州大学 2009）
（4） $\displaystyle \iint_{D} \cos \left(\frac{x-y}{x+y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=1, x=0$ 及 $\displaystyle y=0$ 所围成的区域．
（1） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \sin (x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x+y \leqslant \pi, 0 \leqslant x-y \leqslant \pi\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \cos (x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x+y \leqslant \pi, 0 \leqslant x-y \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{\frac{x-y}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=a, x=0$ 及 $\displaystyle y=0$ 所围成的区域．$\displaystyle (a=1$ ：湖北大学 2005 ，华南理工 2011，北京科技 2009，青岛理工 2007，沈阳工大 2011，浙江大学，山西师大 2010 ，天津大学 $\displaystyle 2000 ; a=2$ ：南航 2007，燕山大学 2011，广州大学 2009）
（4） $\displaystyle \iint_{D} \cos \left(\frac{x-y}{x+y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=1, x=0$ 及 $\displaystyle y=0$ 所围成的区域．
第14题计算题
14．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{\frac{x}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid x+y \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{(x+y) \ln \left(1+\frac{y}{x}\right)}{\sqrt{1-x-y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=1$ 及两坐标轴围成的三角形区域．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{-(x+y)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=1, x=0$ 及 $\displaystyle y=x$ 所围成的区域．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \frac{(x+y)((\ln (x+y)-\ln y)}{\sqrt{2-x-y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $\displaystyle D$ 为直线 $\displaystyle x=0, x+y=1, y=x$ 所围成的三角形
区域．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{\frac{x}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid x+y \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{(x+y) \ln \left(1+\frac{y}{x}\right)}{\sqrt{1-x-y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=1$ 及两坐标轴围成的三角形区域．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{-(x+y)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=1, x=0$ 及 $\displaystyle y=x$ 所围成的区域．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \frac{(x+y)((\ln (x+y)-\ln y)}{\sqrt{2-x-y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $\displaystyle D$ 为直线 $\displaystyle x=0, x+y=1, y=x$ 所围成的三角形
区域．
第15题计算题
15．计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D}\left[a_{1} a_{2} x^{2}+\left(a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}\right) x y+b_{1} b_{2} x^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为
$\displaystyle \left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)^{2}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)^{2} \leqslant h, a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}$ 为常数，$\displaystyle a_{1} b_{2} \neq a_{2} b_{1}$ ，常数 $\displaystyle h>0$ ．
$\displaystyle \left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)^{2}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)^{2} \leqslant h, a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}$ 为常数，$\displaystyle a_{1} b_{2} \neq a_{2} b_{1}$ ，常数 $\displaystyle h>0$ ．
第16题计算题
16．设 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x y=1, x y=2, x=y$ 及 $\displaystyle 4 x=y, x>0, y>0$ 围成，计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} f(\sqrt{x y}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{D} f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} f(\sqrt{x y}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
第17题计算题
17．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \ln \frac{y^{2}}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由曲线 $\displaystyle y^{2}=b x, y^{2}=a x, x y=c, x y=d(0<a<b, 0<c<d)$ 围成的三角形．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{3 x}{y^{2}+x y^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x y=1, x y=3, y^{2}=x$ 及 $\displaystyle y^{2}=3 x$ 围成．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{y+x y^{3}}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x y=1, x y=3, y^{2}=x$ 及 $\displaystyle y^{2}=3 x$ 围成．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{x y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle y^{2}=p x, y^{2}=q x, a y=x^{2}$ 及 $\displaystyle b y=x^{2}(0<a<b, 0<p<q)$ 围成．
（5） $\displaystyle \iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x>0, y>0, y \leqslant x^{2} \leqslant 2 y, x \leqslant y^{2} \leqslant 2 x$ 围成．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \ln \frac{y^{2}}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由曲线 $\displaystyle y^{2}=b x, y^{2}=a x, x y=c, x y=d(0<a<b, 0<c<d)$ 围成的三角形．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{3 x}{y^{2}+x y^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x y=1, x y=3, y^{2}=x$ 及 $\displaystyle y^{2}=3 x$ 围成．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{y+x y^{3}}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x y=1, x y=3, y^{2}=x$ 及 $\displaystyle y^{2}=3 x$ 围成．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{x y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle y^{2}=p x, y^{2}=q x, a y=x^{2}$ 及 $\displaystyle b y=x^{2}(0<a<b, 0<p<q)$ 围成．
（5） $\displaystyle \iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x>0, y>0, y \leqslant x^{2} \leqslant 2 y, x \leqslant y^{2} \leqslant 2 x$ 围成．
第18题计算题
18．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{4}}{x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle x$ 轴，$\displaystyle y=x, \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 及 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=2$ 围成的有界闭区域．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(\sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle \sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}=1$ 和 $\displaystyle x=c, y=c$ 围成，$\displaystyle a, b, c>0$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x=0, y=0, \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 围成．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=1, x=0, y=0$ 围成．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{4}}{x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle x$ 轴，$\displaystyle y=x, \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 及 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=2$ 围成的有界闭区域．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(\sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle \sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}=1$ 和 $\displaystyle x=c, y=c$ 围成，$\displaystyle a, b, c>0$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x=0, y=0, \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 围成．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=1, x=0, y=0$ 围成．
第19题证明题
19．设函数 $\displaystyle f(x): \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 有连续的导数，且 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，证明：坐标变换 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(x) \\ v=x f(x)-y\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$附近是局部可逆的，且其逆具有形式 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=g(u), \\ y=u g(u)-v .\end{array}\right.$
第26题证明题
26．证明下列命题，并计算二重积分．
（1）证明： $\displaystyle \iint_{S} f(a x+b y+c) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \int_{-1}^{1} \sqrt{1-u^{2}} f\left(u \sqrt{a^{2}+b^{2}}+c\right) \mathrm{d} u$ ，其中 $\displaystyle S: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, a^{2}+b^{2} \neq 0$ ． $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-3,3]$ 上连续．
（2）计算 $\displaystyle \iint_{D}|x-y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ 。
（3）计算 $\displaystyle \iint_{D}|3 x+4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．
（4）计算 $\displaystyle \iint_{D}|3 x+4 y| \mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．
（1）证明： $\displaystyle \iint_{S} f(a x+b y+c) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \int_{-1}^{1} \sqrt{1-u^{2}} f\left(u \sqrt{a^{2}+b^{2}}+c\right) \mathrm{d} u$ ，其中 $\displaystyle S: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, a^{2}+b^{2} \neq 0$ ． $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-3,3]$ 上连续．
（2）计算 $\displaystyle \iint_{D}|x-y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ 。
（3）计算 $\displaystyle \iint_{D}|3 x+4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．
（4）计算 $\displaystyle \iint_{D}|3 x+4 y| \mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．
第33题求解题
33．设 $\displaystyle S$ 是曲面 $\displaystyle |x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 的外侧，求下列第三型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(x-y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z+x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。电子科技 2011，苏州科技 2011，南航 2010）
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(3 x+y+z^{12}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(2 y+\cos z+x^{12}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(3 z+\mathrm{e}^{x+y^{12}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S}(x+y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 y+\sin (x+z)) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(3 z+\mathrm{e}^{x+y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（1） $\displaystyle \iint_{S}(x-y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z+x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。电子科技 2011，苏州科技 2011，南航 2010）
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(3 x+y+z^{12}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(2 y+\cos z+x^{12}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(3 z+\mathrm{e}^{x+y^{12}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S}(x+y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 y+\sin (x+z)) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(3 z+\mathrm{e}^{x+y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
第34题求解题
34．设 $\displaystyle S$ 是曲面 $\displaystyle |x-y-z|+|y-z-x|+|z-x-y|=1$ 的外侧，求下列第二型曲面积分．
$$
\iint_{S}(x-y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z-x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
$$
\iint_{S}(x-y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z-x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
第39题求解题
39．求平面区域的面积．
（1）求由抛物线 $\displaystyle y^{2}=p x, y^{2}=q x(0<p<q)$ 及双曲线 $\displaystyle x y=a, x y=b(0<a<b)$ 所围成的平面区域 $\displaystyle D$ 的面积 $\displaystyle A$ ．
（2）求由曲线 $\displaystyle y^{2}=2 p x, y^{2}=2 q x, x^{2}=2 r y, x^{2}=2 s y$ 所围成的平面区域 $\displaystyle D$ 的面积 $\displaystyle (0<p<q, 0<r<s)$ ．
（3）求由曲线 $\displaystyle x y=4, x y=8, x y^{3}=5, x y^{3}=15$ 所围成的区域的面积．
（4）用二重积分变量替换公式计算抛物线 $\displaystyle y^{2}=m x, y^{2}=n x$ 及直线 $\displaystyle y=\alpha x, y=\beta x$ 所围成的区域的面积．其中 $\displaystyle 0<m<n, 0<\alpha<\beta$ ．
（5）已知 $\displaystyle 0<a<b, 0<p<q$ ，求由双曲线 $\displaystyle x y=p, x y=q$ 及直线 $\displaystyle y=a x, y=b x$ 在第一象限所围成的图形的面积．
（6）求由椭圆 $\displaystyle \left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)^{2}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)^{2}=1$ 所围成的区域的面积，其中 $\displaystyle a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1} \neq 0$ ．
（7）求由椭圆 $\displaystyle A x^{2}+2 B x y+C y^{2}=1$ 所围成的面积 $\displaystyle S$ ，其中 $\displaystyle A, C>0, A C-B^{2}>0, A, B, C$ 均为常数．
（8）求由下列曲线所围成的面积：$\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)^{2}=\frac{x^{2} y}{c^{3}}$ ．
（9）求区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \geqslant a^{2}$ 围于曲线 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)$ 内部之部分的面积．
（10）求由曲线 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)$ 所围成的区域的面积．
（1）求由抛物线 $\displaystyle y^{2}=p x, y^{2}=q x(0<p<q)$ 及双曲线 $\displaystyle x y=a, x y=b(0<a<b)$ 所围成的平面区域 $\displaystyle D$ 的面积 $\displaystyle A$ ．
（2）求由曲线 $\displaystyle y^{2}=2 p x, y^{2}=2 q x, x^{2}=2 r y, x^{2}=2 s y$ 所围成的平面区域 $\displaystyle D$ 的面积 $\displaystyle (0<p<q, 0<r<s)$ ．
（3）求由曲线 $\displaystyle x y=4, x y=8, x y^{3}=5, x y^{3}=15$ 所围成的区域的面积．
（4）用二重积分变量替换公式计算抛物线 $\displaystyle y^{2}=m x, y^{2}=n x$ 及直线 $\displaystyle y=\alpha x, y=\beta x$ 所围成的区域的面积．其中 $\displaystyle 0<m<n, 0<\alpha<\beta$ ．
（5）已知 $\displaystyle 0<a<b, 0<p<q$ ，求由双曲线 $\displaystyle x y=p, x y=q$ 及直线 $\displaystyle y=a x, y=b x$ 在第一象限所围成的图形的面积．
（6）求由椭圆 $\displaystyle \left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)^{2}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)^{2}=1$ 所围成的区域的面积，其中 $\displaystyle a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1} \neq 0$ ．
（7）求由椭圆 $\displaystyle A x^{2}+2 B x y+C y^{2}=1$ 所围成的面积 $\displaystyle S$ ，其中 $\displaystyle A, C>0, A C-B^{2}>0, A, B, C$ 均为常数．
（8）求由下列曲线所围成的面积：$\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)^{2}=\frac{x^{2} y}{c^{3}}$ ．
（9）求区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \geqslant a^{2}$ 围于曲线 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)$ 内部之部分的面积．
（10）求由曲线 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)$ 所围成的区域的面积．