非负函数无穷积分的敛散判别法（比较判别法、比式判别法）

1．讨论下列反常积分的敛散性．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}\right] \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right] \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\sin \frac{1}{x}\right] \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} x}{\sin ^{p} x \cos ^{q} x}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \ln \left(\cos \frac{1}{x}+\sin \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ ．

1．证明下列函数项级数在指定区间上的一致收敛性．
（1）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(1-x) x^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上处处收敛，在 $\displaystyle [0, a](a<1)$ 上一致收敛，但在 $\displaystyle [0,1]$ 上不一致收玫．
（2）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} x^{n}(1-x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上绝对收敛和一致收敛，但由其各项绝对值所组成的级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(1-x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上不一致收敛。湖南师大 2012 ，河南师大 2012，南京航空 2008，华南理工 2008，浙江师大2006，北京科技 2008，青岛科技 2005，西安电子科技 2002，东华大学 2010，浙江理工 2007，重庆大学 2010）
（3）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} x(1-x)^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
（4）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(1-x)^{2}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
（5）证明：定义在 $\displaystyle [0,1]$ 上的函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(1-x)^{\alpha}$ ，当 $\displaystyle \alpha>1$ 时一致收敛，当 $\displaystyle \alpha=0,1$ 时均不一致收玫．
（6）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(1-\cos x) \cos ^{n} x$ 在 $\displaystyle x=0$ 的邻域 $\displaystyle U(0)$ 内不一致收敛。华南师大2008）
（7）设一元函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，$\displaystyle g(1)=0$ 且 $\displaystyle g^{\prime}(1)=0$ ，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．

1．求下列幂级数的收敛半径和收敛域．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n(n+1)} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} x^{n}$ 。华南理工 2014，苏州科技 2012，武汉大学 1999，山西师大 2008）
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n^{2}} x^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}\right) x^{n}$ 。
（5）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{\ln n}{n^{3}}+\frac{1}{n \ln n}\right) x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n+1)}{n^{\alpha+\frac{1}{n}}} x^{n}(\alpha>0)$ 。北京师大 2003）
（7）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln (n!)} x^{n}$ ．

2．讨论下列级数的敛散性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\cos \frac{1}{n}\right)$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\cos \frac{\pi}{n}\right)$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln ^{p}\left(\sec \frac{\pi}{n}\right)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{x}{n}\right)$ ．（广西师大2002，湘潭大学2005（ $\displaystyle x=\pi$ ））
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)^{\alpha}$ ．（浙江工商 2014）
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}\right)^{\alpha}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1+n)^{n}}{n^{n+p}},(p>0)$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}-1}{n^{\alpha}}$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln (n+1) \sin \frac{1}{n^{\beta}},(\beta>0)$ ．
（11）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right)$ ．
（12）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\sqrt{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}\right)$ ．

2．求下列幂级数的收敛半径和收敛域．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}+(-2)^{n}}{n}(x+1)^{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(3+(-1)^{n}\right)^{n}}{n} x^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-3^{2 n}} x^{2 n}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(y\left(\frac{1}{n}\right)-1-\frac{1}{n}\right) x^{n}$ ，其中 $\displaystyle y=y(x)$ 满足 $\displaystyle y^{\prime}=x+y$ 且 $\displaystyle y(0)=1$ ．

3．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．

3．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调减少，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle x f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调减少，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x(\ln x) f(x)=0$ ．

3．讨论下列级数的玫散性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}-\mathrm{e}\right]$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]^{p}, p \in \mathbf{R}$ ．（东南大学 2006，上海交大 2002，南京理工 1998（ $\displaystyle p=2$ ））
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \tan n \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{n^{k}}} .(k=5$ ：武汉大学 2003，$\displaystyle k=1$ ：宁波大学 2005）

3．求下列幂级数的收玫域．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^{n}}\left(\frac{x-1}{2 x+1}\right)^{n^{2}}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n \sqrt[n]{n}}\left(\frac{x}{1+2 x}\right)^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\sin \frac{1}{3 n}\right)\left(\frac{3+x}{3-2 x}\right)^{n}$ ．

4．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ 。
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ 。（沈阳工大 2014，西安理工 2011，太原科技 2006，青岛大学 2009（ $\displaystyle p=1$ ），南京师大2002（ $\displaystyle p=2^{-1}$ ））
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} \sin \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin \sqrt{x}}{x^{q}} \mathrm{~d} x, q \geqslant 2^{-1}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \sin x^{\alpha} \mathrm{d} x$ 。
（7） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x \sin x^{4} \mathrm{~d} x$ 。

4．讨论下列级数的玫散性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{\ln 4+\ln 27+\cdots+\ln n^{n}}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln (n!)}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n!}}{(2+\sqrt{1})(2+\sqrt{2}) \cdots(2+\sqrt{n})}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1!+2!+3!+\cdots+n!}{(2 n)!}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{\ln n}}{(\ln n)^{n}}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{(1+x)\left(1+x^{2}\right) \cdots\left(1+x^{n}\right)}, x \geqslant 0$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)\right]$ ．

5．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{x \sin x}{1+x^{p}} \mathrm{~d} x, p \geqslant 0$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x+\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$ ．

5．讨论下列级数的敛散性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln (n+1)} \sin \frac{1}{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{2}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n!)}{n^{p}}(p \in \mathbf{R})$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}\left(1-\frac{x \ln n}{n}\right)^{n}(p>0)$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(\ln n)^{\alpha}}(\alpha>0)$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{p} \ln ^{q} n}$ ，其中 $\displaystyle p>0, q>0$ 。
（7）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{p}(\ln \ln n)^{q}}$ ．（大连理工 2002，大连理工 1998，复旦大学 $\displaystyle \left.2005(p=1)\right)$

6．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 当 $\displaystyle x \rightarrow 0^{+}$时单调趋于 $\displaystyle +\infty$ ，证明：若 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，必有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x f(x)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 为单调函数，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha+1} f(x)=0(\alpha \geqslant 0)$ ．

7．讨论下列反常积分的敛散性．
（1） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x(\alpha>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x(\alpha>0)$ 。西南交大 2006）
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\cos x|}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x, \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x$ ．

7．讨论下列级数的玫散性，
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{3^{n} n!}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n!\left(\frac{a}{n}\right)^{n}$ ．（北京交大 2000，上海师大 2001，中山大学 2012（ $\displaystyle a=-\mathrm{e}$ ），北京科技 2007 $\displaystyle (a=\mathrm{e})$ ；$\displaystyle a=2$ ；湖南农大 2010，哈尔滨师大 2004；$\displaystyle a=1$ ：宁波大学 2004；$\displaystyle a=3$ ：桂林电子科技 2008，曲阜师大 2008）

8．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可微， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛。证明若 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant c$（ $\displaystyle c$ 为常数），则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

8．判断下列级数的玫散性和绝对收玫性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{p}} \cdot(p>0)$ ．（兰州大学 2008 ，安徽大学 2008 ，宁波大学 2010 ，广西师大 $\displaystyle 2001(x=-1)$ ，河北大学 2007（ $\displaystyle p=1, x=-1$ ））
（2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{n}}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{p-\frac{1}{n}}}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{\ln n}}}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{\sqrt{n}}}}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\left[n+(-1)^{n}\right]^{p}}$ ．（山西师大2006，北京师大2002（ $\displaystyle p \geqslant 1$ ））
（7）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+(-1)^{n} \frac{1}{n^{p}}\right)$ ．

9．讨论级数的绝对收玫性与条件收敛性．
（1） $\displaystyle 1-\frac{1}{2^{p}}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4^{p}}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6^{p}}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{(2 n)^{p}}+\cdots$ ．
（2） $\displaystyle 1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt[3]{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt[3]{6}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2 n}}+\cdots$ ．

11．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛与条件收敛）
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 。（南航 2012，地质大学 2003，广西大学 2003（ $\displaystyle \alpha=2$ ），杭州师 大 2009／2008，昆明理工 2006，计量学院 2007）
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x \cdot \arctan x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x \arctan x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．

11．讨论下列级数的玫散性．
（1）设 $\displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{1}{2 n}$ ，判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+a_{n}\right)$ 的玫散性．
（2）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n-1}}{n^{p}}-\frac{1}{2} \frac{1}{n^{2 p}}+o\left(\frac{1}{n^{2 p}}\right)\right)(p>0)$ 的敛散性．
（3）设 $\displaystyle I=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{p}}{1+n^{q}} \cos \frac{n \pi}{2},(q>0)$ ，（1）求 $\displaystyle I$ 的条件收敛域；（2）求 $\displaystyle I$ 的绝对收敛域．
（4）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(n+x)^{n}}{n^{n+x}}$ 的收玫域．

12．判断下列反常积分的玫散性．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln \left(1+x^{\alpha}\right)}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．

13．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛与条件收敛）．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \sin x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{e}^{+\infty} \frac{\ln \ln x}{\ln x} \cos x \mathrm{~d} x$ ．

13．讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛？
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}, x \in[0, \infty)$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{\alpha} \sin n$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{p}}, x \in(0, \pi)$ 。
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sin n x}{n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \sin \frac{1}{\sqrt{n}}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1} \sin \frac{1}{n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) \frac{\sin n x}{n}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) \frac{\cos n}{n}$ 。
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}\right) \frac{\sin n x}{n}$ ．

14．证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x) \mathrm{d} x=0$ ，并讨论 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x)}{x} \mathrm{~d} x$ 的绝对收敛和条件收敛性．

14．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a>1$ ，试证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{a_{n}}}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle a_{n} \in(0,1), n=1,2, \cdots$ ，试证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} a_{n}^{n}\left(1-a_{n}\right)^{n}$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{2 n \sin \frac{1}{n}} a_{n}\right)=1$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。

15．讨论积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x|\sin x|}$ 的敛散性．

15．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有一阶连续的导数， $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\left[f^{2}(x)+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}\right] \mathrm{d} x=1$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ ．

15．正项数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a>0$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a}{a_{n}}\right)^{n}$ 的敛散性．

16．讨论下列积分的敛散性．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha}|\sin x|}(\alpha>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha} \sin ^{2} x}, \alpha \in(-\infty,+\infty)$ ．

16．证明或讨论下列级数的敛散性．
（1）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2}$ 收玫，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n} b_{n}\right|$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明当 $\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_{n}}}{n^{\alpha}}$ 收玫．
（3）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \sqrt{a_{n}}$ 的玫散性．
（4）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{n} \ln n}$ 收玫 $\displaystyle \left(a_{n}>0\right)$ 。

17．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，反之不然．
（2）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 是否收敛？是，请证明；否，请举反例．
（3）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{3}$ 收玫．
（4）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明：（1）当 $\displaystyle p>1$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{p}$ 收玫；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[k]{a_{n}}}{n}$ 收玫 $\displaystyle (k \geqslant 2, k \in \mathbf{N})$ ．

18．证明或讨论下列级数的敛散性．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，数列 $\displaystyle \left\{n a_{n}\right\}$ 有界，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{k},(k>1)$ 收玫．（曲阜师大 2005／2011（ $\displaystyle k=2$ ），桂林电子科技 2009）
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|n a_{n}\right|=a(>0)$ ，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。能否确定 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的敛散性？说明理由．
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 是数项级数，证明：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n u_{n}=\lambda<0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散．
（4）设 $\displaystyle a_{n}=O\left(\left(\frac{1}{n}\right)^{1+\alpha}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha>0,\left\{b_{n}\right\}$ 收敛，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛．
（5）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，$\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛，试问若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收

敛，结论仍成立吗？

19．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \forall x \in[1,+\infty)$ ，有 $\displaystyle f(x)>0, \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln f(x)}{\ln x}=-\lambda$ ，试证：若 $\displaystyle \lambda>1$ ，则 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．

用此结论讨论积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(1-\frac{p \ln x}{x}\right)^{x} \mathrm{~d} x$ 的玫散性．

19．证明下列结论或求极限．
（1）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，且 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，则（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 发散；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}^{\alpha}}$ 收玫 $\displaystyle (\alpha>1)$ 。（四川大学 2012，华中科技 2012，陕西师大 2012，西南大学 2004，广州大学 2011，北京科技 2004（ $\displaystyle \alpha=2$ ），中南大学 2003，地质大学 2005 ，河北大学 2011，北航 1998，东南大学 1999／1996，燕山大学 2007，哈工大 2009，华南师大 2009，南开大学 2000）
（2）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的前 $\displaystyle n$ 项和 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫的充要条件为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 收玫。广西师大2003，华中师大2007，南开大学2000）
（3）设正项级数 $\displaystyle a_{n}>0, n=1,2, \cdots, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}^{2}}$ 收玫．
（4）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是发散的正项级数，则存在收敛于 0 的正序列 $\displaystyle \left\{c_{n}\right\}$ 使 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} a_{n}$ 发散．
（5）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为有界正实数列，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}$ ．
（6）设 $\displaystyle p_{n}>0, \dot{n}=1,2, \cdots$ 且 $\displaystyle p_{n+1} \geqslant p_{n}, \alpha \geqslant 1$ 。证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{p_{n}-p_{n-1}}{p_{n} p_{n-1}^{\alpha}}$ 收玫．

20．设 $\displaystyle f(x)$ 为定义在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上的正值连续函数．证明若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x+1)}{f(x)}=q<1$ ，则反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。

20．设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，$\displaystyle r_{n}=\sum_{k=n}^{\infty} a_{k}$ ，求证下列结论：（1）$\displaystyle \left\{r_{n}\right\}$ 单调减少并趋于 0 ； （2）$\displaystyle \frac{a_{n}}{\sqrt{r_{n}}} \leqslant 2\left(\sqrt{r_{n}}-\sqrt{r_{n+1}}\right)$ ；（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{r_{n}}}$ 收敛；（4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n}}{r_{n}}$ 发散．

21．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1, x_{n+1}=x_{n}\left(1-x_{n}\right)$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=1$ 。
（2）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1, x_{n+1}=x_{n}\left(1-q x_{n}\right), 0<x_{1}<\frac{1}{q}(0<q<1)$ ．证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限；
（2）数列 $\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 收敛，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=\frac{1}{q}$ ；（3）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{a}$ 的敛散性．
（3）设 $\displaystyle x_{n+1}=\sin x_{n}, n \in \mathbf{N}^{+}, 0<x_{1}<\frac{\pi}{2}$ ．证明：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ ；（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \sin ^{2} x_{n}=3$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}{ }^{2}=3$ ；
（3）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{p}$ ，当 $\displaystyle p>2$ 时收敛，当 $\displaystyle p \leqslant 2$ 时发散。
（4）设 $\displaystyle a_{1}>0, a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}}$ ，证明：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=+\infty$ ；（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{2 n}}=1$ 。

21．证明下列结论．
（1）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递增，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right)$ 收敛的充分必要条件是数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界．
（2）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递增，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}-1\right)$ 收敛的充分必要条件是数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界．
（3）设 $\displaystyle a_{n+1}>a_{n}>0, n \geqslant 1$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n-1}}{a_{n}}-1\right)$ 收敛的充分必要条件是级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\right)$收玫．
（4）设 $\displaystyle a_{n}>0,\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，求证：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=c \neq 0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)$ 收敛，若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)$ 发散．
（5）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)$ 的玫散性．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 单调递增且大于 $\displaystyle 0,\left\{a_{n}\right\}$ 单调递增且大于零，证明：若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x f(x)} \mathrm{d} x$ 收敛，

则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right) \frac{1}{f\left(a_{n+1}\right)}$ 收敛．

22．证明下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{n}}{n!}=0$ ，其中 $\displaystyle a>0 .(a=3$ ：浙江师大 $\displaystyle 2011 / 2005$ ，首都师大 $\displaystyle 2013 ; a=7:$ 山东大学；$\displaystyle a=e:$ 上海铁道学院；$\displaystyle a=2$ ：扬州大学2007，中山大学2009）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{3^{n} n!}=0$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}=0$； $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{5}}{\mathrm{e}^{n}}=0$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5^{n} n!}{(2 n)^{n}}=0$； $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n} n!}{n^{n}}=0$ ．

22．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 单调递减，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 和 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 的敛散性相同．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 单调递减，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 和 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 的敛散性相同．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant 0$ ，极 限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证 明：无 穷 积 分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f^{\prime}(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 收敛。

22．证明下列结论．
（1）设正数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 是严格单调增加且有界的，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}}\right)$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle a_{n} \neq 0, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=l \neq 0$ 。（1）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}-a_{n+1}\right|$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}}\right|$ 同敛散；（2）$\displaystyle l=1$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{a_{n}}}$ 的敛散性（给出证明）．
（3）设 $\displaystyle \left|a_{n}\right| \leqslant 1, n \geqslant 1,\left|a_{n+1}-a_{n}\right| \leqslant \frac{1}{4}\left|a_{n}^{2}-a_{n-1}^{2}\right|, n \geqslant 2$ 。证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$ 收敛；数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．

23．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{a^{2}}+\cdots+\frac{n}{a^{n}}\right)$ ．（中山大学 $\displaystyle 2011(a>0)$ ，温州大学 2012，武汉大学 2004，湖北大学 2011，重庆大学2004（a $\displaystyle >1$ ））
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^{n}}\right)$ ．

23．判断下列积分的玫散性．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{p}\left(x^{p}+\sin x\right)} \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x$ ．

23．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0(n \geq 1)$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}$ 同玫散．
（2）设 $\displaystyle a_{n}>0(n \geqslant 1)$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 发散，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+a_{n}}$ 发散．
（3）设 $\displaystyle a_{n}>0, S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散。证明：（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}=0$ ，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，并且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}$ 发散．
（4）设 $\displaystyle p \geqslant 1, a_{n}>0(n \geqslant 1), \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+n^{p} a_{n}}$ 的玫散性．（西南交大 2006，哈师大 2002（p＝2））
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，$\displaystyle \alpha>0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\alpha}}{1+n^{\alpha}} b_{n}$ 收敛．

24．证明下列结论．
（1）设正项级数．$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}$ 是收敛的．
（2）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收敛，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2} a_{n}}{\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)^{2}}$ 是收敛的．

25．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{\sin 1}{2}+\frac{\sin 2}{2^{2}}+\cdots+\frac{\sin n}{2^{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
（3）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{\cos 1}{\mathrm{e}}+\frac{\cos 2}{\mathrm{e}^{2}}+\cdots+\frac{\cos n}{\mathrm{e}^{n}}$ ，按提示思路利用三种不同的方法证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。

提示：I 利用 cauchy 准则；II 利用绝对收敛和收敛的关系；III 利用 dirichlet 判别法；IV 其他方法。
（4）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 发散．
（5）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}$ ，用柯西收敛准则证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 发散。
（6）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{2 \ln 2}+\frac{1}{3 \ln 3}+\cdots+\frac{1}{n \ln n}$ ，用柯西收敛准则证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 发散．

25．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续，又设极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A \neq 0$ ．证明：无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \sin x \mathrm{~d} x$ 发散．

25．证明下列结论．
（1）证明：若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)$ 也绝对收敛．
（2）证明：若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{2 n-1}\right)$ 也绝对收敛．

26．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续函数，且当 $\displaystyle x \rightarrow+\infty$ 时，$\displaystyle f(x)$ 递减地趋于 0 ，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛的充要条件为 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 收敛．（北京化工 2007，广西大学2008（充分条件），广西师大 2001，江苏大学 2008，北京大学）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(x)<0$ ，积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 收敛。哈工大 2000）
（3）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续可微，且 $\displaystyle g(x)$ 有界，$\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant 0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证明积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 收敛。深圳大学 2012）

26．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上单调增加，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(f(n+1)-f(n))$ 收玫，并求其和；进一步，设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)<0$ ，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f^{\prime}(n)$ 收玫。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的单调递增函数， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，记 $\displaystyle a_{0}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ， $\displaystyle a_{n}=f(n)-\int_{n-1}^{n} f(x) \mathrm{d} x$ 。（1）求 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}$ ；（2）证明：数列 $\displaystyle \left\{S_{n}\right\}$ 单调递增；（3）级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛，并给出级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 的一个上界。

27．证明下列命题．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle \left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leqslant\left|q_{n}\right| \cdot\left|x_{n}-x_{n-1}\right|,\left|q_{n}\right| \leqslant r<1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛．
（2）设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle \left|x_{n+1}-a\right| \leqslant|k|\left|x_{n}-a\right|, 0<|k|<1$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}=a$ ．（华中师大 1996，扬州大学 2003，深圳大学 2006（ $\displaystyle a=0$ ），湘潭大学 2008，地质大学 2005）

27．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant 0, f(0)>0$ ，证明若积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)+f^{\prime}(x)} \mathrm{d} x$ 收玫，则 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ 也收敛．

27．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant K>0$ ．证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ； （2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+f^{2}(n)}$ 收敛．

27．设 $\displaystyle \left\{s_{n}(x)\right\}$ 为定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的函数列，$\displaystyle s_{n}(x)$ 在任何有限区间 $\displaystyle [A, B]$ 上 Riemann 可积且一致收敛于 $\displaystyle s(x)$ ，若存在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上广义积分收敛的函数 $\displaystyle F(x), \forall n$ 及 $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty)$ 有 $\displaystyle \left|s_{n}(x)\right| \leqslant F(x)$ ，证 明：（1）$\displaystyle \left|s_{n}(x)\right|$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可积；（2）$\displaystyle s(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可积； （3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} s_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{+\infty} s(x) \mathrm{d} x$ 。

28．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也收敛．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上非负连续函数，若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也收敛．

28．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ．证明： （1）$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ；（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内有定义，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(0)$ 存在。证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛的充要条件是 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=a$ ．证明：（1）若 $\displaystyle a>0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 收玫，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 发散；（2）若 $\displaystyle a=0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 是偶函数，在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域中有连续的二阶导数，$\displaystyle f(0)=1, f^{\prime \prime}(0)=2$ 。证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]$ 绝对收敛．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内具有直到三阶的连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{x}=0$ ．试证明：$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} n f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内䛬二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$（或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{\sin x}-1}=0$ ）．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上具有三阶连续导数，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left\{n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(-\frac{1}{n}\right)\right]-2 f^{\prime}(0)\right\}$ 收玫．}

29．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle x_{1}=a, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right)(a>0), n=1,2, \cdots$ ，证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值；（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n}}{x_{n+1}}-1\right)$ 收玫。

（2）设 $\displaystyle a>0, x_{0}>0, x_{n+1}=\frac{1}{4}\left(3 x_{n}+\frac{a}{x_{n}^{3}}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{1}>0, a>0, x_{n+1}=\frac{2 x_{n}^{3}+a}{3 x_{n}^{2}}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ ．

29．设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ．（1）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}+a_{n+2}}{n}$ 的和；（2）求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{5} x \mathrm{~d} x$ ；（3）证明： $\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}<a_{n}<\frac{1}{2(n-1)}$ ；（4）设 $\displaystyle \lambda>0$ ，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{\lambda}}$ 收敛．

30．证明下列结论并求极限．
（1）已知 $\displaystyle 0<c<1, x_{1}=\frac{c}{2}, x_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{x_{n}^{2}}{2}$ ，证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ； （2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n+1}}{x_{n}}-1\right)$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{3}, x_{n+1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3} x_{n}^{2}, n=2,3, \cdots$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{1}=-1, x_{n+1}=x_{1}+\frac{1}{2} x_{n}^{2}, n=1,2, \cdots$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在．
（4）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} x_{n}^{2}, n=1,2, \cdots, A=\sqrt{2}-1$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n}-A\right)$ 绝对收敛．
（5）设 $\displaystyle a>0,0<x_{1}<a, x_{n+1}=x_{n}\left(2-\frac{x_{n}}{a}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值．
（6）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1,0<\alpha<1, x_{n+1}=1-\left(1-x_{n}\right)^{a}, n \geqslant 1$ ．求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ ．
（7）设 $\displaystyle a>-4, x_{1}=\frac{a}{2}, x_{n}=\frac{a}{2}+\frac{1}{2} x_{n-1}^{2}, n=2,3, \cdots$ ，试讨论数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的敛散性．

31．证明或判别下列级数的敛散性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{n}} \sqrt{\frac{x}{1+x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \frac{\sin x}{1+x} \mathrm{~d} x$ ．
（3）已知 $\displaystyle a_{n}=\frac{n}{\int_{0}^{\pi n} x|\sin x| \mathrm{d} x}$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 的玫散性。若收敛则求和。地质大学 2006）
（4）已知 $\displaystyle a_{2 n-1}=\frac{1}{n}, a_{2 n}=\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ，求证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 条件收玫．

32．设函数 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上，并且 $\displaystyle f(x) \geqslant 0, b>a$ 为常数．
（1）举例说明：反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，但 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 不收敛；反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛，但 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 不收敛。
（2）证明：若 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
（3）假设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界，且积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明：对任意常数 $\displaystyle p>1, \int_{a}^{b} f^{p}(x) \mathrm{d} x$收敛．

33．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle a>0, b>0, a_{1}=a, a_{2}=b, a_{n+2}=2+\frac{1}{a_{n+1}^{2}}+\frac{1}{a_{n}^{2}}, n=1,2,3, \cdots$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。华东师大 2003）
（2）设 $\displaystyle x_{0} \in\left(1, \frac{3}{2}\right), x_{1}=x_{0}^{2}, x_{n+1}=\sqrt{x_{n}}+\frac{x_{n-1}}{2},(n=1,2, \cdots)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{1}=a, x_{n+1}=1+\frac{x_{n}^{2}}{1+x_{n}^{2}}, n=1,2, \cdots$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
（4）设 $\displaystyle x_{1}=2, x_{n}=2-\frac{1}{x_{n-1}^{2}}, n=2,3, \cdots$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（5）设 $\displaystyle x_{1}>0, x_{n+1}=\frac{x_{n}\left(x_{n}^{2}+3\right)}{1+3 x_{n}^{2}}, n=1,2, \cdots$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。

33．举例．
（1）举一个非负函数 $\displaystyle f(x)$ ，它在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上积分收玫，但极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 不存在．
（2）作一非负连续且无界的函数使无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．

33．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{2}{(2+x)(1-2 x)}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ ，并证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-2 x-x^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2-2 x-x^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x-x^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收敛．
（5）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} f^{(n)}(0)}{2^{n}(n+1)!}$ ．

34．讨论下列问题．
（1）设反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 和 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 收玫，问积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 是否一定收玫？．
（2）设 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=1$ ，问积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 是否一定收敛？若收敛，请证明之；若不一定收敛，请举出反例．
（3）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，并有 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$ 且 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。这一结论是否成立？（若成立，需给出证明；若认为不一定成立，需给出反例）。西安交大 1997）

35．证明下列结论并求极限．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, ~ \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \max \left\{a_{n}, b_{n}\right\}$ 。（哈T．大 2004）
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为两数列，满足 $\displaystyle a_{n+1}=b_{n}-q a_{n}, n=1,2, \cdots$ ，其中 $\displaystyle 0<q<1$ 。证明：（1）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界；（2）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}$ 为两数列，满足 $\displaystyle y_{n}=x_{n-1}+2 x_{n}, n=2,3, \cdots$ 证明：$\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 收敛的充要条件是 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$收敛．
（4）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为两个有界数列，满足 $\displaystyle a_{n+1}+2 a_{n}=2 b_{n}$ ，如果 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} b_{n}$ 存在，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}$ 也存在．
（5）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为正整数数列。令 $\displaystyle a_{1}=b_{1}=1, a_{n}+\sqrt{3} b_{n}=\left(a_{n-1}+\sqrt{3} b_{n-1}\right)^{2}$ ，证明：$\displaystyle \left\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\right\}$ 收敛并求极限．
（6）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为两数列，满足 $\displaystyle a_{n+1}=b_{n}-\frac{n}{2 n+1} a_{n}, n=1,2, \cdots$ 。证明：（1）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界；（2）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（7）设 $\displaystyle a_{1}, b_{1}$ 为任意选定的实数，定义 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1} \max \left\{b_{n-1}, x\right\} \mathrm{d} x, n=2,3, \cdots, b_{n}=\int_{0}^{1} \min \left\{a_{n-1}, x\right\} \mathrm{d} x, n=2,3, \cdots$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=2-\sqrt{2}, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\sqrt{2}-1$ ．

35．判断题．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上的㻓积分均存在，则乘积 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上的瑕积分 必存在。

36．设 $\displaystyle a_{n}$ 满足 $\displaystyle \ln \ln n \leqslant a_{n} \leqslant \ln n, n=2,3, \cdots$ ．研究函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 的收玫性、一致收敛性以及和函数的连续性、可导性．

37．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，证明数列 $\displaystyle \left\{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)\right\}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 同时收玫或同时发散，并证明：
（1）数列 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{2!}\right)\left(1+\frac{1}{3!}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{n!}\right)\right\}$ 收玫．
（2）数列 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)\right\}$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为递减正项数列，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} 2^{m} a_{2^{m}}$ 同时收玫或同时发散．

38．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=A$ ，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n(n+1)}=A$ ．
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为实数列，$\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}, \sigma_{n}=\frac{1}{n+1}\left(S_{1}+S_{2}+\cdots+S_{n}\right)$ ，已知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|S_{n}-\sigma_{n}\right|^{2}$收玫，求证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．
（3）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{a_{n} a_{n+1} \cdots a_{2 n-1}}$ 收敛．

39．设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{1-\frac{1}{n}}$ 收玫．

40．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 是收敛的正项级数，且数列 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 单调，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n u_{n}=0$ 。
（2）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\displaystyle a_{n+1} \leqslant a_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，证明：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减的正项数列，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2000} a_{n}$ 收敛，试证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2001} a_{n}=0$ ．
（4）若 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n}}{\ln n}$ 是收敛的正项级数，且数列 $\displaystyle \left\{n a_{n}\right\}$ 单调减少，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n} \ln \ln n=0$ ．
（5）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减的正项数列，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 收敛。试证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \sqrt{n}=0$ 。
（6）设 $\displaystyle a_{n}, c_{n}>0$ ，数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，数列 $\displaystyle \left\{c_{n}\right\}$ 单调增加．证明：（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ； （2）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{c_{n}}$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n+c_{n}}$ 发散．
（7）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle 0 \leqslant a_{k} \leqslant 100 a_{n}, n=k+1, k+2, \cdots, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ 。

42．证明下列结论．
（1）设正项数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 单调减少，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} x_{n}$ 发散，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(1+x_{n}\right)^{n}}$ 收玫。
（2）设正项数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 发散．令 $\displaystyle u_{n}=\frac{1}{1+a_{1}} \cdot \frac{1}{1+a_{2}} \cdots \frac{1}{1+a_{n}}$ ．试问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 是否收敛？并说明理由．
（3）设 $\displaystyle a_{n}>0, a_{n}>a_{n+1}(n=1,2, \cdots)$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ．证明 $\displaystyle \left\{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\right\}$ 单调减少，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}$ 是收玫的．
（4）设 $\displaystyle x_{n} \neq 0$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}=2$ ，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{x_{n+1}+x_{n}}{x_{n} x_{n+1}}\right)$ 的敛散性，包括条件收敛和绝对收敛．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可微，对任意 $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty), f(x)>0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant m f(x)$ ，其中 $\displaystyle 0<m<1$ ，任取实数 $\displaystyle a_{0}, a_{n}=\ln f\left(a_{n-1}\right),(n=1,2, \cdots)$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}-a_{n-1}\right|$ 收玫．

43．证明下列结论．
（1）已知 $\displaystyle a_{0}=a_{1}=1, a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}, n \geqslant 3$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收玫．
（2）判别级数 $\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}+\cdots$ 的玫散性．
（3）设 $\displaystyle x_{1}=\sqrt{2}, x_{2}=\sqrt{2-\sqrt{2}}, x_{3}=\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}, \cdots$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收敛．
（4）设 $\displaystyle x_{0}=\sqrt{6}, x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}}$ ，判别级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \sqrt{3-x_{n}}$ 的敛散性．

43．证明下列结论．
（1）假定函数 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内单调增加，且 $\displaystyle u_{n}(x) \geqslant 0, n=1,2, \cdots$ ．又假定级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内逐点收敛，并且有上界．那么 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内一致收敛，并且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \lim _{x \rightarrow 1^{-}} u_{n}(x)$.
（2）设 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非负且单调递增，$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x), x \in(0,+\infty), f(x)$ 有界，证明： $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 一致收玫于 $\displaystyle f(x)$

44．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle x^{n}+n x-1=0, n=1,2, \cdots$ 。证明：此方程存在唯一的正实根 $\displaystyle x_{n}$ ，并证明当 $\displaystyle \alpha>1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{\alpha}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle (x-1)^{n}+n x-n-1=0, n=1,2, \cdots$ 证明：此方程存在唯一的正实根 $\displaystyle x_{n}$ ，并证明当 $\displaystyle \alpha>0$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n}}{x_{n}+\alpha}\right)^{n}$ 收敛．

46．证明或讨论下列级数的敛散性．
（1）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均收敛，且成立不等式 $\displaystyle a_{n} \leqslant c_{n} \leqslant b_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，试证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 也收敛。若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 一定发散吗？
（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=1$ ，问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 的玫散性一定相同吗？举例说明．
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 均为正实数列，且对一切自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq \frac{b_{n+1}}{b_{n}}$ ，证明：如果 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 也收敛；如果 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 也发散．
（4）判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 的玫散性，其中 $\displaystyle u_{n}>0, \frac{u_{n-1}}{u_{n}} \leqslant \frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}, n=1,2, \cdots$
（5）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 满足 $\displaystyle \left|a_{n}-b_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n^{2}},(n \geqslant 1), M$ 为常数，证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛的充要条件是级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛；（2）若把条件改为 $\displaystyle \left|a_{n}-b_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n}$ 时，结论是否成立？
（6）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 是正项级数，$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是正数列，若 $\displaystyle \varliminf_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} \frac{b_{n}}{b_{n+1}}-a_{n+1}\right)>0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫．

47．证明下列结论．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 满足 $\displaystyle \mathrm{e}^{a_{n}}=a_{n}+\mathrm{e}^{b_{n}}$ ，并且 $\displaystyle a_{n}>0$ 。证明：（1）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}$ 收玫．；（2）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}{ }^{2}$ 收玫．
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 满足 $\displaystyle a_{n}=b_{n}+\ln \left(1+a_{n}\right)$ ．证明若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$收敛。
（3）设正项数列 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，且满足 $\displaystyle \mathrm{e}^{a_{n}}=a_{n}+\mathrm{e}^{a_{n}+b_{n}}$ ．证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛．

48．证明或判断下列级数的玫散性．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 都是正项级数，满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n}}{n}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=y>0$ 。求证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。
（2）设 $\displaystyle a_{n}>0,(n=1,2, \cdots), \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=\lambda>0$ 。求证：交错级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收玫．
（3）设 $\displaystyle a>0$ ，判断使 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a^{\ln n}}$ 收玫的 $\displaystyle a$ 的范围．（首都师大 2012，南航 2010（ $\displaystyle a=3$ ））
（4）判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{\ln n}}$ 是绝对收敛、条件收敛还是发散．

49．证明或判断下列级数的敛散性．
（1）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数，证明：（1）若存在正数 $\displaystyle \alpha$ 及正整数 $\displaystyle N$ ，当 $\displaystyle n \geqslant N$ 时，有 $\displaystyle \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n} \geqslant 1+\alpha$ ，则
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫；（2）若存在正整数 $\displaystyle N$ ，当 $\displaystyle n \geqslant N$ 时，有 $\displaystyle \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n} \leqslant 1$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散．
（2）判别级数 $\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$ 的玫散性．

53．设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle \forall k>0$ ，正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(k+\frac{1}{n^{2}}\right) u_{n}$ 发散．

54．判断题．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛．