高阶导数的概念
按知识点浏览 · 共 18 题
第6题求解题
6．求解下列问题．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x}(\sin x+\cos x), x \leqslant 0, \\ a x^{2}+b x+c, x>0,\end{array}\right.$ 试确定常数 $\displaystyle a, b, c$ 的值使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内处处存在．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x}, x<0, \\ a x^{2}+b x+c, x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 试确定常数 $\displaystyle a, b, c$ 的值使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(0)$ 存在．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x}(\sin x+\cos x), x \leqslant 0, \\ a x^{2}+b x+c, x>0,\end{array}\right.$ 试确定常数 $\displaystyle a, b, c$ 的值使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内处处存在．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x}, x<0, \\ a x^{2}+b x+c, x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 试确定常数 $\displaystyle a, b, c$ 的值使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(0)$ 存在．
第6题证明题
6．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有直到 $\displaystyle n$ 阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(n)}(x)=B$ ．证明：
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(k)}(x)=0, k=1,2, \cdots, n . }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有三阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(3)}(x)$ 都存在且有限．证明：
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime \prime}(x)=0 \text {. }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime}(x)=0$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有直到 $\displaystyle n$ 阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(n)}(x)=B$ ．证明：
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(k)}(x)=0, k=1,2, \cdots, n . }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有三阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(3)}(x)$ 都存在且有限．证明：
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime \prime}(x)=0 \text {. }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime}(x)=0$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．
第13题证明题
13．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(a)=0$ ，设 $\displaystyle F(x)=x^{2} f(x)$ ．证明至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0, a)$ 使 $\displaystyle F^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．（河海大学2006，重庆大学2011，福建师大2007（ $\displaystyle a=1$ ））
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上有三阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, F(x)=x^{3} f(x)$ ．证 明： （1）$\displaystyle \exists \xi_{1} \in(0,1)$ 使 $\displaystyle F^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=0$ ；（2）$\displaystyle \exists \xi_{2} \in(0,1)$ 使 $\displaystyle F^{m}\left(\xi_{2}\right)=0$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 有 $\displaystyle n$ 阶连续导数，$\displaystyle f(0)=f(2)=0$ ．记 $\displaystyle F(x)=(x-1)^{n-1} f(x)$ ，试证 $\displaystyle \exists \xi \in(0,2)$ 使得 $\displaystyle F^{(n)}(\xi)=0$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(a)=0$ ，设 $\displaystyle F(x)=x^{2} f(x)$ ．证明至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0, a)$ 使 $\displaystyle F^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．（河海大学2006，重庆大学2011，福建师大2007（ $\displaystyle a=1$ ））
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上有三阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, F(x)=x^{3} f(x)$ ．证 明： （1）$\displaystyle \exists \xi_{1} \in(0,1)$ 使 $\displaystyle F^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=0$ ；（2）$\displaystyle \exists \xi_{2} \in(0,1)$ 使 $\displaystyle F^{m}\left(\xi_{2}\right)=0$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 有 $\displaystyle n$ 阶连续导数，$\displaystyle f(0)=f(2)=0$ ．记 $\displaystyle F(x)=(x-1)^{n-1} f(x)$ ，试证 $\displaystyle \exists \xi \in(0,2)$ 使得 $\displaystyle F^{(n)}(\xi)=0$ ．
第14题证明题
14．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶连续导数，在区间 $\displaystyle (a, b)$ 内有三阶导函数且 $\displaystyle f(a)=f^{\prime}(a)=0$ 及 $\displaystyle f(b)=f^{\prime}(b)=0$ ．证明：在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在一点 $\displaystyle c$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(c)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上非负且三阶可导，方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有两个不同实根。证明存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{(3)}(\xi)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上三阶可导，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ，且在 $\displaystyle (a, b)$ 取最大值．试证存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{(3)}(\xi)=0$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 两次连续可微，满足 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ 且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在整个实轴上具有二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f(1)=0$ ．证明在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \beta$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\beta)=0$ ．
（6）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上存在二阶导数，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=0, f^{\prime \prime}(x) \neq 0$ ，则对 $\displaystyle \forall x \in(a, b), f(x) \neq 0$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶连续导数，在区间 $\displaystyle (a, b)$ 内有三阶导函数且 $\displaystyle f(a)=f^{\prime}(a)=0$ 及 $\displaystyle f(b)=f^{\prime}(b)=0$ ．证明：在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在一点 $\displaystyle c$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(c)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上非负且三阶可导，方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有两个不同实根。证明存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{(3)}(\xi)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上三阶可导，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ，且在 $\displaystyle (a, b)$ 取最大值．试证存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{(3)}(\xi)=0$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 两次连续可微，满足 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ 且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在整个实轴上具有二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f(1)=0$ ．证明在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \beta$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\beta)=0$ ．
（6）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上存在二阶导数，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=0, f^{\prime \prime}(x) \neq 0$ ，则对 $\displaystyle \forall x \in(a, b), f(x) \neq 0$ ．
第20题证明题
20．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (-1,1)$ 上的无穷次可导函数，$\displaystyle f(0)=1,\left|f^{\prime}(0)\right| \leqslant 2$ ．令 $\displaystyle g(x)=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$ ， $\displaystyle \left|g^{(n)}(0)\right| \leqslant 2 n!$ ．证明：对所有正整数 $\displaystyle n,\left|f^{(n)}(0)\right| \leqslant(n+1)!$ ．
第20题未分类
20．设 $\displaystyle 0<x<y<\pi$ ，试证：$\displaystyle y \sin y+2 \cos y+\pi y>x \sin x+2 \cos x+\pi x$ 。
第21题证明题
21．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$ ，且 $\displaystyle x \in(a, b)$ 时， $\displaystyle g^{\prime \prime}(x) \neq 0$ 。证明：（1）$\displaystyle \forall x \in(a, b), g(x) \neq 0$ ；（2）至少 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(\xi) g^{\prime \prime}(\xi)-g(\xi) f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 二阶可导，且存在相等的最大值，$\displaystyle f(a)=g(a), f(b)=g(b)$ 。试证存在 $\displaystyle \eta \in(a, b), f^{\prime \prime}(\eta)=g^{\prime \prime}(\eta)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二次可微，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi) \cos \xi+ f^{\prime \prime}(\xi) \sin \xi=0$ 。
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$ ，且 $\displaystyle x \in(a, b)$ 时， $\displaystyle g^{\prime \prime}(x) \neq 0$ 。证明：（1）$\displaystyle \forall x \in(a, b), g(x) \neq 0$ ；（2）至少 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(\xi) g^{\prime \prime}(\xi)-g(\xi) f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 二阶可导，且存在相等的最大值，$\displaystyle f(a)=g(a), f(b)=g(b)$ 。试证存在 $\displaystyle \eta \in(a, b), f^{\prime \prime}(\eta)=g^{\prime \prime}(\eta)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二次可微，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi) \cos \xi+ f^{\prime \prime}(\xi) \sin \xi=0$ 。
第25题证明题
25．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ ：有一直到 $\displaystyle n$ 阶导数，在 $\displaystyle (a, b)$ 内 $\displaystyle n+1$ 阶可导，且 $\displaystyle f^{(k)}(a)=f^{(k)}(b)=0,0 \leqslant k \leqslant n$ 。证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=f^{(n+1)}(\xi)$ 。
第25题证明题
25．证明下列各题．
（1）设连续函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(1)=1$ ，记 $\displaystyle F(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，证明：$\displaystyle F^{\prime}(1)=4 \pi$ ．
（2）设 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0, \infty)$ 上有连续导数，并且 $\displaystyle \varphi(0)=1$ ，令 $\displaystyle f(r)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<r^{2}} \varphi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ， $\displaystyle (r \geqslant 0)$ ，证明 $\displaystyle f(r)$ 在 $\displaystyle r=0$ 处三次可微，并求 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(0)$ 的右导数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 连续且恒大于 $\displaystyle 0, F(t)=\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V}{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}$ ，其中 $\displaystyle \Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ， $\displaystyle D(t)=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ．证明：（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V=4 \pi \int_{0}^{t} f\left(r^{2}\right) r^{2} \mathrm{~d} r$ ；（2）$\displaystyle F(t)$ 是区间 $\displaystyle (0,+\infty)$上的单调函数．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的正值连续函数，$\displaystyle \varphi(t)=\frac{\iint_{x^{2}+y^{2}=t^{2}} f(z) \mathrm{d} S}{\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}$ ．证明：$\displaystyle \varphi(t)$ 是区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上严格单调增加的连续函数．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续正值函数，$\displaystyle F(t)=\frac{\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}$ ．证明：$\displaystyle F(t)(t>0)$ 是严格单调减函数．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, \infty)$ 上连续且恒大于零，$\displaystyle F(t)=\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V}{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}$ ， $\displaystyle G(t)=\frac{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}{\int_{-t}^{t} f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x}$ ，其中 $\displaystyle \Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}\right\}, D(t)=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ．讨论 $\displaystyle F(t)$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内的单调性，并证明当 $\displaystyle t>0$ 时，$\displaystyle F(t)>\frac{2}{\pi} G(t)$ ．
（1）设连续函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(1)=1$ ，记 $\displaystyle F(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，证明：$\displaystyle F^{\prime}(1)=4 \pi$ ．
（2）设 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0, \infty)$ 上有连续导数，并且 $\displaystyle \varphi(0)=1$ ，令 $\displaystyle f(r)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<r^{2}} \varphi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ， $\displaystyle (r \geqslant 0)$ ，证明 $\displaystyle f(r)$ 在 $\displaystyle r=0$ 处三次可微，并求 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(0)$ 的右导数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 连续且恒大于 $\displaystyle 0, F(t)=\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V}{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}$ ，其中 $\displaystyle \Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ， $\displaystyle D(t)=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ．证明：（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V=4 \pi \int_{0}^{t} f\left(r^{2}\right) r^{2} \mathrm{~d} r$ ；（2）$\displaystyle F(t)$ 是区间 $\displaystyle (0,+\infty)$上的单调函数．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的正值连续函数，$\displaystyle \varphi(t)=\frac{\iint_{x^{2}+y^{2}=t^{2}} f(z) \mathrm{d} S}{\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}$ ．证明：$\displaystyle \varphi(t)$ 是区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上严格单调增加的连续函数．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续正值函数，$\displaystyle F(t)=\frac{\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}$ ．证明：$\displaystyle F(t)(t>0)$ 是严格单调减函数．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, \infty)$ 上连续且恒大于零，$\displaystyle F(t)=\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V}{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}$ ， $\displaystyle G(t)=\frac{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}{\int_{-t}^{t} f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x}$ ，其中 $\displaystyle \Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}\right\}, D(t)=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ．讨论 $\displaystyle F(t)$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内的单调性，并证明当 $\displaystyle t>0$ 时，$\displaystyle F(t)>\frac{2}{\pi} G(t)$ ．
第28题求解题
28．求下列函数的高阶导数。
（1）设 $\displaystyle y=\frac{1}{1-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle y^{(n)}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle y(x)=\frac{1}{x-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle y^{(n)}(x)$ ．
（1）设 $\displaystyle y=\frac{1}{1-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle y^{(n)}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle y(x)=\frac{1}{x-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle y^{(n)}(x)$ ．
第29题求解题
29．求下列函数的高阶导数．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{-x}$ ，求 $\displaystyle f^{(8)}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=x^{2} \cos 3 x$ ，求 $\displaystyle f^{(50)}(x)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\left(3 x^{2}-2\right) \sin 2 x$ ，求 $\displaystyle f^{(100)}(x)$ ．
（4）设 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{a x} \sin b x$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{-x}$ ，求 $\displaystyle f^{(8)}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=x^{2} \cos 3 x$ ，求 $\displaystyle f^{(50)}(x)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\left(3 x^{2}-2\right) \sin 2 x$ ，求 $\displaystyle f^{(100)}(x)$ ．
（4）设 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{a x} \sin b x$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ ．
第30题求解题
30．求下列函数的高阶导数．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin x}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 其中 $\displaystyle n \in \mathbf{N}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=(\arcsin x)^{2}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．（海南大学 2010，大连理工 2006（n＝3））
（3）设 $\displaystyle f(x)=x \arccos x$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)=\sin x^{2}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)=x^{3} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 。
（6）设 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（8）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{5}}{\sqrt{1+x^{2}}} \cdot \frac{\sin ^{4} x}{1+\cos ^{2} x}$ ，求 $\displaystyle f^{(6)}(0), \int_{-1}^{1} f^{(6)}(x) \mathrm{d} x$ ．
（9）设 $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}} \sin x$ ，求 $\displaystyle f^{(2012)}(0)$ ．
（10）设 $\displaystyle f(x)=x^{4} \mathrm{e}^{x}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0) .(n=2006$ ：地质大学 2006 ，山东科技 $\displaystyle 2010, n=100$ ：江苏大学 2014）
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin x}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 其中 $\displaystyle n \in \mathbf{N}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=(\arcsin x)^{2}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．（海南大学 2010，大连理工 2006（n＝3））
（3）设 $\displaystyle f(x)=x \arccos x$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)=\sin x^{2}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)=x^{3} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 。
（6）设 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（8）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{5}}{\sqrt{1+x^{2}}} \cdot \frac{\sin ^{4} x}{1+\cos ^{2} x}$ ，求 $\displaystyle f^{(6)}(0), \int_{-1}^{1} f^{(6)}(x) \mathrm{d} x$ ．
（9）设 $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}} \sin x$ ，求 $\displaystyle f^{(2012)}(0)$ ．
（10）设 $\displaystyle f(x)=x^{4} \mathrm{e}^{x}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0) .(n=2006$ ：地质大学 2006 ，山东科技 $\displaystyle 2010, n=100$ ：江苏大学 2014）
第31题求解题
31．求解下列各题．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t, x \neq 0, \text {（1）确定常数 } A \text { 使 } f(x) \text { 在 } \mathbf{R} \text { 任意可导，并求它的幂级数展开 } \\ A, x=0,\end{array}\right.$式；（2）求 $\displaystyle f^{(6)}(0), f^{(7)}(0)$ ．
（2）设 $\displaystyle F(x)=\frac{1}{x} \int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle f^{(8)}(0), f^{(10)}(0)$ 。武汉大学 2012）
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t, x \neq 0, \text {（1）确定常数 } A \text { 使 } f(x) \text { 在 } \mathbf{R} \text { 任意可导，并求它的幂级数展开 } \\ A, x=0,\end{array}\right.$式；（2）求 $\displaystyle f^{(6)}(0), f^{(7)}(0)$ ．
（2）设 $\displaystyle F(x)=\frac{1}{x} \int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle f^{(8)}(0), f^{(10)}(0)$ 。武汉大学 2012）
第32题证明题
32．证明：函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle x=0$ 处 $\displaystyle f^{(n)}(0)=0, n=1,2,3 \cdots$
第33题求解题
33．设 $\displaystyle f(x)=x \sin \omega x$ ，求证：$\displaystyle f^{(2 n)}(x)=(-1)^{n}\left(\omega^{2 n} x \sin \omega x-2 n \omega^{2 n-1} \cos \omega x\right), n=1,2, \cdots$ ．
第33题证明题
33．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{2}{(2+x)(1-2 x)}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ ，并证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-2 x-x^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2-2 x-x^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x-x^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收敛．
（5）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} f^{(n)}(0)}{2^{n}(n+1)!}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{2}{(2+x)(1-2 x)}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ ，并证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-2 x-x^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2-2 x-x^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x-x^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收敛．
（5）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} f^{(n)}(0)}{2^{n}(n+1)!}$ ．
第35题证明题
35．设 $\displaystyle f(x)=\arcsin x$ ，证明：$\displaystyle \left(1-x^{2}\right) f^{(n+2)}(x)-(2 n+1) x f^{(n+1)}(x)-n^{2} f^{(n)}(x)=0$ ，并求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．