B函数（Beta函数）
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第15题证明题
15．设 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle [-a, a](a>0)$ 上的连续偶函数．证明 $\displaystyle \int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x$ ，并求下列积分．（1） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{4} x}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ，（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{x^{4}}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ，（3） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{3} x}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
第24题证明题
24．计算积分或证明等式．
（1）计算 $\displaystyle J(m, n)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m} x \cos ^{n} x \mathrm{~d} x, m, n \in \mathbf{Z}^{+}$。
（2）计算 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．（重庆大学 2013，华南师大 2007，兰州大学 2003，北京科技，中科大 2011（ $\displaystyle n=7$ ））
（3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \cos ^{n} x \mathrm{~d} x=2^{-n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x, n \in \mathbf{Z}^{+}$。（哈 工 大，沈阳 工 大 2008）
（4）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{(2 n)!!}{(2 n-1)!!}\right)^{2} \frac{1}{(2 n+1)}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{(2 n)!!}{(2 n-1)!!}\right)^{2} \frac{1}{2 n}=\frac{\pi}{2}$ ．
（1）计算 $\displaystyle J(m, n)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m} x \cos ^{n} x \mathrm{~d} x, m, n \in \mathbf{Z}^{+}$。
（2）计算 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．（重庆大学 2013，华南师大 2007，兰州大学 2003，北京科技，中科大 2011（ $\displaystyle n=7$ ））
（3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \cos ^{n} x \mathrm{~d} x=2^{-n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x, n \in \mathbf{Z}^{+}$。（哈 工 大，沈阳 工 大 2008）
（4）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{(2 n)!!}{(2 n-1)!!}\right)^{2} \frac{1}{(2 n+1)}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{(2 n)!!}{(2 n-1)!!}\right)^{2} \frac{1}{2 n}=\frac{\pi}{2}$ ．
第27题计算题
27．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} \mathrm{~d} x(m, n$ 都是自然数）．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(1-x)^{2006} \mathrm{~d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} \mathrm{~d} x(m, n$ 都是自然数）．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(1-x)^{2006} \mathrm{~d} x$ 。
第30题证明题
30．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{n} x \cos x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} I_{n}$ ．
（2）设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1}(1-x)^{n} x^{2} \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ．证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫并求其和．
（1）设 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{n} x \cos x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} I_{n}$ ．
（2）设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1}(1-x)^{n} x^{2} \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ．证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫并求其和．