lim sinx/x = 1
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第3题证明题
3．证明下列结论．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2^{2}} \cdots \cdot \cos \frac{x}{2^{n}}=\frac{\sin x}{x}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2^{2}} \cdots \cdot \cos \frac{x}{2^{n}}\right)=1$ ；
（3）$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}} \cdots=\frac{2}{\pi}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2^{2}} \cdots \cdot \cos \frac{x}{2^{n}}=\frac{\sin x}{x}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2^{2}} \cdots \cdot \cos \frac{x}{2^{n}}\right)=1$ ；
（3）$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}} \cdots=\frac{2}{\pi}$ ．
第15题计算题
15．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x \mathrm{e}^{x^{2}}-x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin \left(x^{3}\right)}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\tan x)-\sin (\sin x)}{\tan x-\sin x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{2} \sin 2 x}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x) \arcsin x}{\tan x-\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}+2 \cos x-2}{\tan x-\sin x}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\tan x}{\left(\sqrt[3]{1+x^{2}}-1\right)(\sqrt{1+\sin x}-1)}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos \sqrt{\tan x-\sin x}}{\sqrt[3]{1+x^{3}}-\sqrt[3]{1-x^{3}}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-\sin x}{x^{3}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{\sin ^{3} x}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\arctan x}{\tan x-\arcsin x}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x \mathrm{e}^{x^{2}}-x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin \left(x^{3}\right)}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\tan x)-\sin (\sin x)}{\tan x-\sin x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{2} \sin 2 x}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x) \arcsin x}{\tan x-\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}+2 \cos x-2}{\tan x-\sin x}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\tan x}{\left(\sqrt[3]{1+x^{2}}-1\right)(\sqrt{1+\sin x}-1)}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos \sqrt{\tan x-\sin x}}{\sqrt[3]{1+x^{3}}-\sqrt[3]{1-x^{3}}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-\sin x}{x^{3}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{\sin ^{3} x}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\arctan x}{\tan x-\arcsin x}$ ．
第17题计算题
17．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^{4}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left(\arctan \frac{a}{x}-\arctan \frac{a}{x+1}\right)(a \neq 0)$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{a}{n}-\arctan \frac{a}{n+1}\right)(a \neq 0)$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{\sin ^{3} x}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \ln (x+1)-\sin \ln x)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\frac{\pi}{4}-\arctan \frac{x}{x+1}\right)$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[(x+1)^{\alpha}-x^{\alpha}\right]$ ，其中 $\displaystyle 0<\alpha<1$ 。
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}\right], 0<\alpha<1$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(x^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n+1}}\right)$ ，其中 $\displaystyle x>0$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^{2}}-1}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{\sin x}}{x-\sin x}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x-\sin x}-\mathrm{e}^{-\frac{x^{3}}{6}}}{x^{5}}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^{4}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left(\arctan \frac{a}{x}-\arctan \frac{a}{x+1}\right)(a \neq 0)$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{a}{n}-\arctan \frac{a}{n+1}\right)(a \neq 0)$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{\sin ^{3} x}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \ln (x+1)-\sin \ln x)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\frac{\pi}{4}-\arctan \frac{x}{x+1}\right)$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[(x+1)^{\alpha}-x^{\alpha}\right]$ ，其中 $\displaystyle 0<\alpha<1$ 。
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}\right], 0<\alpha<1$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(x^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n+1}}\right)$ ，其中 $\displaystyle x>0$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^{2}}-1}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{\sin x}}{x-\sin x}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x-\sin x}-\mathrm{e}^{-\frac{x^{3}}{6}}}{x^{5}}$ ．