x→∞时函数的极限

1．（推广的罗尔定理）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内可微，$\displaystyle a, b$ 为有限数或无穷，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=A$（有限值 $\displaystyle +\infty$ 或 $\displaystyle -\infty$ ）。试证：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ 。

特殊情形：
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ ，则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，则存在 $\displaystyle \xi \in(a,+\infty)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, c)$ 上可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow c^{c}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-x} f(x)=A$ ，求证存在 $\displaystyle \xi \in(-\infty, c)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．

4．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。试证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=l$ 。求证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=l$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。试证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{1+x^{2}}=0$ ．

5．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+\alpha}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha$ 为常数。（陕西师大 $\displaystyle 2000 ; \alpha=1$ ：中科院 1997，青岛大学 2010，西南大学
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+n}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n})$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+2}-2 \sqrt{n+1}+\sqrt{n})$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^{3}}(2 \sqrt{x}-\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+\sqrt{n+2 \sqrt{n}}}-\sqrt{n})$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x})$ 。重庆大学2003，岂东科技2008，宁波大学2004，西安交大 1997）
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} n\left(\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-1}\right)$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}\left(\sqrt[4]{n^{2}+1}-\sqrt{n+1}\right)$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x} x\left(\sqrt[3]{x^{3}+x}-\sqrt[3]{x^{3}-x}\right)$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[6]{x^{6}+x^{5}}-\sqrt[6]{x^{6}-x^{5}}\right)$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[5]{x^{5}+x^{4}}-\sqrt[5]{x^{5}-x^{4}}\right)$ ．
（13） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[n]{\left(a_{1}+x\right)\left(a_{2}+x\right) \cdots\left(a_{n}+x\right)}-x\right)$ ．
（14） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x}\left[\left(a_{1} \sqrt{n+1}-a_{2} \sqrt{n+2}\right)+\left(a_{3} \sqrt{n+3}-a_{4} \sqrt{n+4}\right)+\cdots+\left(a_{2 k-1} \sqrt{n+2 k-1}-a_{2 k} \sqrt{n+2 k}\right)\right]$,
其中 $\displaystyle \left[\left(a_{1}-a_{2}\right)+\left(a_{3}-a_{4}\right)+\cdots+\left(a_{2 k-1}-a_{2 k}\right)\right]=0$ ．

5．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=l>0$ ，试证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ．
（2）设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 可微，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(f(x)+2 f^{\prime}(x)\right)=0$ ，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(f(x)+f^{\prime}(x)\right)=k$ 。则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k, \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上连续可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(f(x)+f^{\prime}(x)\right)=0, g(x)=f(x)-f^{\prime}(x)$ ．证明

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \mathrm{e}^{-x} \int_{1}^{x} g(t) \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 . \text { }
$$

（6）设 函 数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上连续可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sup \left|f(x)+f^{\prime}(x)\right| \leqslant M<+\infty$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sup |f(x)| \leqslant M$ ．

6．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有直到 $\displaystyle n$ 阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(n)}(x)=B$ ．证明：

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(k)}(x)=0, k=1,2, \cdots, n . }
$$

（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有三阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(3)}(x)$ 都存在且有限．证明：

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime \prime}(x)=0 \text {. }
$$

（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime}(x)=0$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．

7．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界可微，试问下列命题中哪个必定成立（要说明理由），哪个不成立（举反例）
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f(x)=0$ 蕴含 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=0$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 都存在蕴含 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。

8．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ ．求证：$\displaystyle (a,+\infty)$ 内存在一个单调数列 $\displaystyle \left\{\xi_{n}\right\}$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \xi_{n}=+\infty$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在且有限．试证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=0$ 当且仅当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} \frac{f(x)}{x}=0$ ，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)$ 存在且有限，求证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=0$ ．
（4）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=+\infty$ ，求证：存在一个数列 $\displaystyle \left\{\xi_{n}\right\} \subset(a, b)$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)\right|=\infty$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可微且有界，证明：存在一个数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} f^{\prime}\left(x_{n}\right)=0$ ．

8．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可微， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛。证明若 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant c$（ $\displaystyle c$ 为常数），则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

9．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上二次连续可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} \varphi(x)$ 存在，且 $\displaystyle \varphi^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有界。证

明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \varphi^{\prime}(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上具有二阶连续导数的正函数，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant 0, x \in(0,+\infty), f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有界。则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。

12．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 为周期函数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv A$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都是周期函数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-g(x))=0$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv g(x)$ 。

12．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle x>a$ 时 $\displaystyle g(x)>0, f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在任意有限区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 发散，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=0$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t}=0$ ．
（2）设 $\displaystyle x>a$ 时，$\displaystyle g(x)>0, f(x), g(x)$ 在任何有限区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(t) \mathrm{d} t$ 发散，且 $\displaystyle f(x)=o(g(x))(x \rightarrow+\infty)$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=o\left(\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t\right)(x \rightarrow+\infty)$ ．

分析：即证 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists M>0, \forall x>M$ 时有 $\displaystyle \left|\frac{\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t}\right|<\varepsilon$ ．由 $\displaystyle g(x)>0$ ，需证

$$
\left|\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right|<\varepsilon \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t
$$

14．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(1)=1$ ，且满足，$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}$ ．试证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 存在，且 $\displaystyle A \leqslant 1+\frac{\pi}{4}$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 可微，$\displaystyle f(1)=1,\left(x^{2}+f^{2}(x)\right) f^{\prime}(x)=1$ ．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 一致连续，且 $\displaystyle f(x)<2$ ；（2）若 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

15．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有一阶连续的导数， $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\left[f^{2}(x)+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}\right] \mathrm{d} x=1$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ ．

16．设对任意实数 $\displaystyle A>0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, A]$ 上可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=B$（ $\displaystyle B$ 有限），证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} t \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t x} f(x) \mathrm{d} x=$ B．（华东师大 2015，苏州大学 2013，四川大学 2009，南开大学 2010，浙江大学 2009，山东大学 2010（ $\displaystyle B=2$ ））

18．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,+\infty), \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{n} f\left(\frac{x}{n^{1+\alpha}}\right) \varphi(x) \mathrm{d} x=f(0) \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle \alpha>0$ ．（南京大学 2006，上海大学 2003（ $\displaystyle \alpha=1$ ））
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛。证明：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\sqrt{n}} f\left(\frac{x}{n}\right) \varphi(x) \mathrm{d} x=f(0) \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x . \text {. }
$$

（3）设函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非负， $\displaystyle \lim _{A \rightarrow+\infty} \int_{0}^{A} g(x) \mathrm{d} x=\alpha$（ $\displaystyle \alpha$ 为有限数），又 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．试证： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} t^{-1} g\left(t^{-1} x\right) f(x) \mathrm{d} x=\alpha f(0)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} t \mathrm{e}^{-t^{2} x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2} f(0)$ ．

23．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为定义在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上的函数，在每一有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 上有界，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x+1)-f(x)]=A$ ，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=A$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有界，并且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x+T)-f(x))=A, T>0$ ，求证：$\displaystyle A=0$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续且有界，并且 $\displaystyle \forall x>0, f(x+1) \neq f(x)$ ，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(f(n)-f(n-1))=0$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 定义在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上，$\displaystyle f(x)$ 在每一个有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 内有界，并满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x+1)-f(x)}{g(x+1)-g(x)}=A$ 。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=A$ 。

25．证明：（1）极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x}$ 不存在．
（2）极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \cos x$ 不存在．

26．讨论 $\displaystyle f(x)=x \sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致连续性．

28．证明下列结论。
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 都存在．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界。
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 都存在．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界．
（3）证明：函数 $\displaystyle f(x)=x^{3} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的有界函数．

28．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x} \sin \frac{\pi}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续．

29．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 个连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有最大值或最小值．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(x) \geqslant 0, \lim _{x \rightarrow-x} f(x)=0=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty), f\left(x_{0}\right) \geqslant f(x)$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(x) \geqslant 0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有最大值．又问 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上是否有最小值？说明理由．
（4）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, f(0)<A<+\infty$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 有最小值．
（5）设 $\displaystyle f(x) \in C(-\infty,+\infty), \lim _{x \rightarrow x} f(f(x))=+\infty$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 的最小值 $\displaystyle f(a)<a$ ，则 $\displaystyle f(f(x))$ 至少在两个点处取到它的最小值。

31．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1} \sin \frac{1}{x},(a>0)$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，在 $\displaystyle (0, a)$ 内非一致连续．（大连理工 2006，苏州科技 2008，计量学院 2011，兰州大学 1980，中北大学 2005（ $\displaystyle a=1$ ））
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x+1}\right) \cos \frac{1}{x},(a>0)$ 。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

33．证明下列函数在指定区间内一致连续．
（1）$\displaystyle f(x)=x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right), x \in[2,+\infty)$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right), x \in(0,+\infty)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\sqrt{x(x-1)}, x \in[1,+\infty)$ ．