x→x₀时函数的极限

1．用定义证明极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{2 x^{2}-x-1}=\frac{2}{3}$ ．

2．证明极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2-\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{2}{x}}}+\frac{x}{|x|}\right)$ 存在，并求值．

26．讨论 $\displaystyle f(x)=x \sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致连续性．

28．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x} \sin \frac{\pi}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续．

30．证明下列函数在指定区间非一致连续．
（1）$\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x} \cos \frac{1}{x}, x \in(0,1)$ 。
（2）$\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\tan x, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \cdot$

31．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上 $\displaystyle n$ 次连续可导，且有 $\displaystyle f(1)=f(0)=f^{\prime}(0)=\cdots=f^{(n)}(0)=0$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle n f(\xi)=\xi f^{\prime}(\xi)$ ．