| 1 | 填空题 | 曲线 $\displaystyle y=\ln x$ 上与直线 $\displaystyle x+y=1$ 垂直的切线方程为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 2 | 填空题 | 已知 $\displaystyle f^{\prime}\left(\mathrm{e}^{x}\right)=x \mathrm{e}^{-x}$ ，且 $\displaystyle f(1)=0$ ，则 $\displaystyle f(x)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 3 | 填空题 | 设 $\displaystyle L$ 为正向圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2$ 在第一象限中的部分，则曲线积分 $\displaystyle \int_{L} x \mathrm{~d} y-2 y \mathrm{~d} x$ 的值为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 4 | 填空题 | 欧拉方程 $\displaystyle x^{2} \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}+4 x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+2 y=0(x\gt 0)$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 5 | 填空题 | 设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ 满足 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{B A}^{*}=2 \mathbf{B} \mathbf{A}^{*}+\mathbf{E}$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的伴随矩阵， $\displaystyle \mathbf{E}$ 是单位矩阵，则 $\displaystyle |\mathbf{B}|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 6 | 填空题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 服从参数为 $\displaystyle \lambda$ 的指数分布，则 $\displaystyle P\{X\gt\sqrt{D(X)}\}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 7 | 选择题 | 把 $\displaystyle x \rightarrow 0^{+}$时的无穷小量 $\displaystyle \alpha=\int_{0}^{x} \cos \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t, \beta=\int_{0}^{x^{2}} \tan \sqrt{t} \mathrm{~d} t, \gamma=\int_{0}^{\sqrt{x}} \sin \left(t^{3}\right) \mathrm{d} t$ 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小量，则正确的排列次序是A$\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ ． B$\displaystyle \alpha, \gamma, \beta$ ． C$\displaystyle \beta, \alpha, \gamma$ ． D$\displaystyle \beta, \gamma, \alpha$ ． |
| 8 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)\gt 0$ ，则存在 $\displaystyle \delta\gt 0$ ，使得A$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0, \delta)$ 内单调增加． B$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\delta, 0)$ 内单调减少． C对任意的 $\displaystyle x \in(0, \delta)$ ，有 $\displaystyle f(x)\gt f(0)$ ． D对任意的 $\displaystyle x \in(-\delta, 0)$ ，有 $\displaystyle f(x)\gt f(0)$ ． |
| 9 | 选择题 | 设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数。下列结论中正确的是A若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。 B若存在非零常数 $\displaystyle \lambda$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=\lambda$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散． C若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} a_{n}=0$ ． D若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，则存在非零常数 $\displaystyle \lambda$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=\lambda$ ． |
| 10 | 选择题 | 设 $\displaystyle f(x)$ 为连续函数，$\displaystyle F(t)=\int_{1}^{t} \mathrm{~d} y \int_{y}^{t} f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $\displaystyle F^{\prime}(2)$ 等于A$\displaystyle 2 f(2)$ ． B$\displaystyle f(2)$ ． C$\displaystyle -f(2)$ ． D0． |
| 11 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 3 阶方阵，将 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的第1列与第2列交换得 $\displaystyle \mathbf{B}$ ，再把 $\displaystyle \mathbf{B}$ 的第2列加到第3列得 $\displaystyle \mathbf{C}$ ，则满足 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{Q}=\mathbf{C}$ 的可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 为（ ）A$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． B$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． C$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$ ． D$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． |
| 12 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 为满足 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{B}=\mathbf{O}$ 的任意两个非零矩阵，则必有（）A$\displaystyle \mathbf{A}$ 的列向量组线性相关， $\displaystyle \mathbf{B}$ 的行向量组线性相关。 B$\displaystyle \mathbf{A}$ 的列向量组线性相关， $\displaystyle \mathbf{B}$ 的列向量组线性相关． C$\displaystyle \mathbf{A}$ 的行向量组线性相关， $\displaystyle \mathbf{B}$ 的行向量组线性相关。 D$\displaystyle \mathbf{A}$ 的行向量组线性相关， $\displaystyle \mathbf{B}$ 的列向量组线性相关． |
| 13 | 选择题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 服从正态分布 $\displaystyle N(0,1)$ ，对给定的 $\displaystyle \alpha(0\lt\alpha\lt 1)$ ，数 $\displaystyle u_{\alpha}$ 满足 $\displaystyle P\left\{X\gt u_{\alpha}\right\}=\alpha$ 。若 $\displaystyle P\{|X|\lt x\}=\alpha$ ，则 $\displaystyle x$ 等于（ ）A$\displaystyle u_{\frac{\alpha}{2}}$ ． B$\displaystyle u_{1-\frac{\alpha}{2}}$ ． C$\displaystyle u_{\frac{1-\alpha}{2}}$ ． D$\displaystyle u_{1-\alpha}$ ． |
| 14 | 选择题 | 设随机变量 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n\gt 1)$ 独立同分布，且其方差为 $\displaystyle \sigma^{2}\gt 0$ ．令 $\displaystyle Y=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，则（）A$\displaystyle \operatorname{Cov}\left(X_{1}, Y\right)=\frac{\mathbf{\sigma}^{2}}{n}$ ． B$\displaystyle \operatorname{Cov}\left(X_{1}, Y\right)=\sigma^{2}$ ． C$\displaystyle D\left(X_{1}+Y\right)=\frac{n+2}{n} \sigma^{2}$ ． D$\displaystyle D\left(X_{1}-Y\right)=\frac{n+1}{n} \sigma^{2}$ ． |
| 15 | 解答题 | 设 $\displaystyle \mathrm{e}\lt a\lt b\lt\mathrm{e}^{2}$ ，证明 $\displaystyle \ln ^{2} b-\ln ^{2} a\gt\frac{4}{\mathrm{e}^{2}}(b-a)$ ． |
| 16 | 解答题 | 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。
现有一质量为 9000 kg 的飞机，着陆时的水平速度为 $\displaystyle 700 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 $\displaystyle k=6.0 \times 10^{6}$ ）。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？（注： kg 表示千克， $\displaystyle \mathrm{km} / \mathrm{h}$ 表示千米／小时。） |
| 17 | 解答题 | 计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} 2 x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3\left(z^{2}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$$
其中 $\displaystyle \Sigma$ 是曲面 $\displaystyle z=1-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ 的上侧． |
| 18 | 解答题 | 设有方程 $\displaystyle x^{n}+n x-1=0$ ，其中 $\displaystyle n$ 为正整数。证明此方程存在唯一正实根 $\displaystyle x_{n}$ ，并证明当 $\displaystyle \alpha\gt 1$时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{\alpha}$ 收敛。 |
| 19 | 解答题 | 设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由 $\displaystyle x^{2}-6 x y+10 y^{2}-2 y z-z^{2}+18=0$ 确定的函数，求 $\displaystyle z=z(x, y)$ 的极值点和极值． |
| 20 | 解答题 | 设有齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
(1+a) x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0 \\
2 x_{1}+(2+a) x_{2}+\cdots+2 x_{n}=0, \\
\quad \cdots \cdots \\
n x_{1}+n x_{2}+\cdots+(n+a) x_{n}=0,
\end{array}\right.$$
试问 $\displaystyle a$ 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解． |
| 21 | 解答题 | 设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ -1 & 4 & -3 \\ 1 & a & 5\end{array}\right)$ 的特征方程有一个二重根，求 $\displaystyle a$ 的值，并讨论 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是否可相似对
角化． |
| 22 | 解答题 | 设 $\displaystyle A, B$ 为随机事件，且 $\displaystyle P(A)=\frac{1}{4}, P(B \mid A)=\frac{1}{3}, P(A \mid B)=\frac{1}{2}$ ，令
$$
X=\left\{\begin{array}{l}
1, A \text { 发生 }, \\
0, A \text { 不发生; }
\end{array} \quad Y=\left\{\begin{array}{l}
1, B \text { 发生, } \\
0, B \text { 不发生. }
\end{array}\right.\right.$$
求：（I）二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率分布；（II）$\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 的相关系数 $\displaystyle \rho_{X Y}$ ． |
| 23 | 解答题 | 设总体 $\displaystyle X$ 的分布函数为$$
F(x ; \beta)= \begin{cases}1-\frac{1}{x^{\beta}}, & x\gt 1 \\ 0, & x \leqslant 1\end{cases}$$
其中未知参数 $\displaystyle \beta\gt 1, X_{1}, \bar{X}_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $\displaystyle X$ 的简单随机样本，求：（I）$\displaystyle \beta$ 的矩估计量；（ II ）$\displaystyle \beta$ 的最大似然估计量． |