| 1 | 填空题 | 若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{\mathrm{e}^{x}-a}(\cos x-b)=5$ ，则 $\displaystyle a=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ，$\displaystyle b=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 2 | 填空题 | 函数 $\displaystyle f(u, v)$ 由关系式 $\displaystyle f[x g(y), y]=x+g(y)$ 确定，其中函数 $\displaystyle g(y)$ 可微，且 $\displaystyle g(y) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v}=$$\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 3 | 填空题 | 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \mathrm{e}^{x^{2}}, & -\frac{1}{2} \leqslant x\lt\frac{1}{2} \\ -1, & x \geqslant \frac{1}{2},\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{2} f(x-1) \mathrm{d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 4 | 填空题 | 二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}+x_{1}\right)^{2}$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 5 | 填空题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 服从参数为 $\displaystyle \lambda$ 的指数分布，则 $\displaystyle P\{X\gt\sqrt{D(X)}\}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 6 | 填空题 | 设总体 $\displaystyle X$ 服从正态分布 $\displaystyle N\left(\mu_{1}, \sigma^{2}\right)$ ，总体 $\displaystyle Y$ 服从正态分布 $\displaystyle N\left(\mu_{2}, \sigma^{2}\right), X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n_{1}}$ 和 $\displaystyle Y_{1}, Y_{2}$ ， $\displaystyle \cdots, Y_{n_{2}}$ 分别是来自总体 $\displaystyle X$ 和 $\displaystyle Y$ 的简单随机样本，则$$
E\left[\frac{\sum_{i=1}^{n_{1}}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}+\sum_{j=1}^{n_{2}}\left(Y_{j}-\bar{Y}\right)^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}\right]=$$$\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 7 | 选择题 | 函数 $\displaystyle f(x)=\frac{|x| \sin (x-2)}{x(x-1)(x-2)^{2}}$ 在下列哪个区间内有界（ ）A$\displaystyle (-1,0)$ ． B$\displaystyle (0,1)$ ． C$\displaystyle (1,2)$ ． D$\displaystyle (2,3)$ ． |
| 8 | 选择题 | 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内有定义，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=a, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}f\left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 则A$\displaystyle x=0$ 必是 $\displaystyle g(x)$ 的第一类间断点。 B$\displaystyle x=0$ 必是 $\displaystyle g(x)$ 的第二类间断点。 C$\displaystyle x=0$ 必是 $\displaystyle g(x)$ 的连续点． D$\displaystyle g(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 处的连续性与 $\displaystyle a$ 的取值有关． |
| 9 | 选择题 | 设 $\displaystyle f(x)=|x(1-x)|$ ，则（ ）A$\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，但 $\displaystyle (0,0)$ 不是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点． B$\displaystyle x=0$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，但 $\displaystyle (0,0)$ 是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点． C$\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，且 $\displaystyle (0,0)$ 是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点。 D$\displaystyle x=0$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，（ 0,0 ）也不是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点。 |
| 10 | 选择题 | 设有以下命题：
（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛；（2）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n+100}$ 收敛；（3）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\gt 1$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散；（4）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 都收敛。
则以上命题中正确的是（ ）A（1）（2）． B（2）（3）． C（3）（4）． D（1）（4）． |
| 11 | 选择题 | 设 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f^{\prime}(a)\gt 0, f^{\prime}(b)\lt 0$ ，则下列结论中错误的是（ ）A至少存在一点 $\displaystyle x_{0} \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)\gt f(a)$ ． B至少存在一点 $\displaystyle x_{0} \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)\gt f(b)$ ． C至少存在一点 $\displaystyle x_{0} \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ． D至少存在一点 $\displaystyle x_{0} \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0$ ． |
| 12 | 选择题 | 设 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}$ 等价，则必有（ ）A当 $\displaystyle |\mathbf{A}|=a(a \neq 0)$ 时，$\displaystyle |\mathbf{B}|=a$ 。 B当 $\displaystyle |\mathbf{A}|=a(a \neq 0)$ 时，$\displaystyle |\mathbf{B}|=-a$ ． C当 $\displaystyle |\mathbf{A}| \neq 0$ 时，$\displaystyle |\mathbf{B}|=0$ ． D当 $\displaystyle |\mathbf{A}|=0$ 时，$\displaystyle |\mathbf{B}|=0$ 。 |
| 13 | 选择题 | 设 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的伴随矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}^{*} \neq \mathbf{O}$ ，若 $\displaystyle \mathbf{\xi}_{1}, \mathbf{\xi}_{2}, \mathbf{\xi}_{3}, \mathbf{\xi}_{4}$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系（ ）A不存在。 B仅含一个非零解向量。 C含有两个线性无关的解向量． D含有三个线性无关的解向量。 |
| 14 | 选择题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 服从正态分布 $\displaystyle N(0,1)$ ，对给定的 $\displaystyle \alpha(0\lt\alpha\lt 1)$ ，数 $\displaystyle u_{\alpha}$ 满足 $\displaystyle P\left\{X\gt u_{\alpha}\right\}=\alpha$ 。若 $\displaystyle P\{|X|\lt x\}=\alpha$ ，则 $\displaystyle x$ 等于（ ）A$\displaystyle u_{\frac{\alpha}{2}}$ ． B$\displaystyle u_{1-\frac{\alpha}{2}}$ ． C$\displaystyle u_{\frac{1-\alpha}{2}}$ ． D$\displaystyle u_{1-\alpha}$ ． |
| 15 | 解答题 | 求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}-\frac{\cos ^{2} x}{x^{2}}\right)$ ． |
| 16 | 解答题 | 求 $\displaystyle \iint_{D}\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由圆 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 和 $\displaystyle (x+1)^{2}+y^{2}=1$ 所围成的平面区域。 |
| 17 | 解答题 | 设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且满足
$$
\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \geqslant \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t, \quad x \in[a, b), \quad \int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t,$$
证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} x g(x) \mathrm{d} x$ ． |
| 18 | 解答题 | 设某商品的需求函数为 $\displaystyle Q=100-5 P$ ，其中价格 $\displaystyle P \in(0,20), Q$ 为需求量．（I）求需求量对价格的弹性 $\displaystyle E_{d}\left(E_{d}\gt 0\right)$ ；（II）推导 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} P}=Q\left(1-E_{d}\right)$（其中 $\displaystyle R$ 为收益），并用弹性 $\displaystyle E_{d}$ 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加． |
| 19 | 解答题 | 设级数
$$
\frac{x^{4}}{2 \times 4}+\frac{x^{6}}{2 \times 4 \times 6}+\frac{x^{8}}{2 \times 4 \times 6 \times 8}+\cdots(-\infty\lt x\lt+\infty)$$
的和函数为 $\displaystyle S(x)$ 。求：（ I ）$\displaystyle S(x)$ 所满足的一阶微分方程；（II）$\displaystyle S(x)$ 的表达式。 |
| 20 | 解答题 | 设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=(1,2,0)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\alpha}_{2}=(1, a+2,-3 a)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\alpha}_{3}=(-1,-b-2, a+2 b)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\beta}=(1,3,-3)^{\mathrm{T}}$ ，试讨论当 $\displaystyle a, b$ 为何值时，（ I） $\displaystyle \mathbf{\beta}$ 不能由 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 线性表示；（II） $\displaystyle \mathbf{\beta}$ 可由 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 唯一地线性表示，并求出表示式；（III） $\displaystyle \mathbf{\beta}$ 可由 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。 |
| 21 | 解答题 | 设 $\displaystyle n$ 阶矩阵
$$
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}
1 & b & \cdots & b \\
b & 1 & \cdots & b \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
b & b & \cdots & 1
\end{array}\right)$$
（ I ）求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征值和特征向量；（II）求可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角矩阵。 |
| 22 | 解答题 | 设 $\displaystyle A, B$ 为两个随机事件，且 $\displaystyle P(A)=\frac{1}{4}, P(B \mid A)=\frac{1}{3}, P(A \mid B)=\frac{1}{2}$ ，令$$
X=\left\{\begin{array}{ll}
1, & A \text { 发生, } \\
0, & A \text { 不发生, }
\end{array}\right. \quad Y= \begin{cases}1, & B \text { 发生, } \\
0, & B \text { 不发生. }\end{cases}$$
求：（I）二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率分布；（II）$\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 的相关系数 $\displaystyle \rho_{X Y}$ ；（III）$\displaystyle Z=X^{2}+Y^{2}$ 的概率分布． |
| 23 | 解答题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 的分布函数为$$
F(x ; \alpha, \beta)= \begin{cases}1-\left(\frac{\alpha}{x}\right)^{\beta}, & x\gt\alpha, \\ 0, & x \leqslant \alpha,\end{cases}$$
其中参数 $\displaystyle \alpha\gt 0, \beta\gt 1$ 。设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $\displaystyle X$ 的简单随机样本，（I）当 $\displaystyle \alpha=1$ 时，求未知参数 $\displaystyle \beta$ 的矩估计量；（II）当 $\displaystyle \alpha=1$ 时，求未知参数 $\displaystyle \beta$ 的最大似然估计量；（III）当 $\displaystyle \beta=2$ 时，求未知参数 $\displaystyle \alpha$ 的最大似然估计量． |