2004年 数学二 真题

共23题

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#题型题目
1填空题设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n-1) x}{n x^{2}+1}$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 的间断点为 $\displaystyle x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
2填空题设函数 $\displaystyle y(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=t^3+3 t+1, \\ y=t^3-3 t+1\end{array}\right.$ 确定，则曲线 $\displaystyle y=y(x)$ 向上凸的 $\displaystyle x$ 的取值范围为
3填空题$\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
4填空题设函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle z=\mathrm{e}^{2 x-3 z}+2 y$ 确定，则 $\displaystyle 3 \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
5填空题2004年考研数学二第5题（填空题） 微分方程 \(\left(y+x^{3}\right) \mathrm{d} x-2 x \mathrm{~d} y=0\) 满足 \(\left.y\right|_{x=1}=\frac{6}{5}\) 的特解为 \(\_\_\_\_\) ．
6填空题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ 满足 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{B A}^{*}=2 \mathbf{B} \mathbf{A}^{*}+\mathbf{E}$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的伴随矩阵， $\displaystyle \mathbf{E}$ 是单位矩阵，则 $\displaystyle |\mathbf{B}|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
7选择题把 $\displaystyle x \rightarrow 0^{+}$时的无穷小量 $\displaystyle \alpha=\int_{0}^{x} \cos \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t, \beta=\int_{0}^{x^{2}} \tan \sqrt{t} \mathrm{~d} t, \gamma=\int_{0}^{\sqrt{x}} \sin \left(t^{3}\right) \mathrm{d} t$ 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（）
A$\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ ．
B$\displaystyle \alpha, \gamma, \beta$ ．
C$\displaystyle \beta, \alpha, \gamma$ ．
D$\displaystyle \beta, \gamma, \alpha$ ．
8选择题设 $\displaystyle f(x)=|x(1-x)|$ ，则（ ）
A$\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，但 $\displaystyle (0,0)$ 不是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点．
B$\displaystyle x=0$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，但 $\displaystyle (0,0)$ 是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点。
C$\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，且 $\displaystyle (0,0)$ 是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点。
D$\displaystyle x=0$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，$\displaystyle (0,0)$ 也不是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点。
9选择题$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{2} \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^{2}}$ 等于（ ）
A$\displaystyle \int_{1}^{2} \ln ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．
B$\displaystyle 2 \int_{1}^{2} \ln x \mathrm{~d} x$ ．
C$\displaystyle 2 \int_{1}^{2} \ln (1+x) \mathrm{d} x$ ．
D$\displaystyle \int_{1}^{2} \ln ^{2}(1+x) \mathrm{d} x$ ．
10选择题设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)\gt 0$ ，则存在 $\displaystyle \delta\gt 0$ ，使得（ ）
A$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0, \delta)$ 内单调增加．
B$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\delta, 0)$ 内单调减少．
C对任意的 $\displaystyle x \in(0, \delta)$ 有 $\displaystyle f(x)\gt f(0)$ 。
D对任意的 $\displaystyle x \in(-\delta, 0)$ 有 $\displaystyle f(x)\gt f(0)$ ．
11选择题微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}+y=x^{2}+1+\sin x$ 的特解形式可设为（ ）
A$\displaystyle y^{*}=a x^{2}+b x+c+x(A \sin x+B \cos x)$ ．
B$\displaystyle y^{*}=x\left(a x^{2}+b x+c+A \sin x+B \cos x\right)$ ．
C$\displaystyle y^{*}=a x^{2}+b x+c+A \sin x$ ．
D$\displaystyle y^{*}=a x^{2}+b x+c+A \cos x$ ．
12选择题设函数 $\displaystyle f(u)$ 连续，区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 y\right\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 等于（ ）
A$\displaystyle \int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x y) \mathrm{d} y$ ．
B$\displaystyle 2 \int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x y) \mathrm{d} x$ ．
C$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f\left(r^{2} \sin \theta \cos \theta\right) \mathrm{d} r$ ．
D$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f\left(r^{2} \sin \theta \cos \theta\right) r \mathrm{~d} r$ ．
13选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 3 阶方阵，将 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的第1列与第2列交换得 $\displaystyle \mathbf{B}$ ，再把 $\displaystyle \mathbf{B}$ 的第2列加到第3列得 $\displaystyle \mathbf{C}$ ，则满足 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{Q}=\mathbf{C}$ 的可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 为（ ）
A$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
B$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
C$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$ ．
D$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
14选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 为满足 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{B}=\mathbf{O}$ 的任意两个非零矩阵，则必有（）
A$\displaystyle \mathbf{A}$ 的列向量组线性相关， $\displaystyle \mathbf{B}$ 的行向量组线性相关．
B$\displaystyle \mathbf{A}$ 的列向量组线性相关， $\displaystyle \mathbf{B}$ 的列向量组线性相关。
C$\displaystyle \mathbf{A}$ 的行向量组线性相关， $\displaystyle \mathbf{B}$ 的行向量组线性相关。
D$\displaystyle \mathbf{A}$ 的行向量组线性相关， $\displaystyle \mathbf{B}$ 的列向量组线性相关．
15解答题求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{3}}\left[\left(\frac{2+\cos x}{3}\right)^{x}-1\right]$ ．
16解答题设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内有定义，在区间 $\displaystyle [0,2]$ 上，$\displaystyle f(x)=x\left(x^{2}-4\right)$ ，若对任意的 $\displaystyle x$ 都满足 $\displaystyle f(x)=k f(x+2)$ ，其中 $\displaystyle k$ 为常数。（I）写出 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-2,0)$ 上的表达式；（II）问 $\displaystyle k$ 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导。
17解答题设 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x+\frac{\pi}{2}}|\sin t| \mathrm{d} t$,（I）证明 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle \pi$ 为周期的周期函数；（II）求 $\displaystyle f(x)$ 的值域。
18解答题曲线 $\displaystyle y=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}$ 与直线 $\displaystyle x=0, x=t(t\gt 0)$ 及 $\displaystyle y=0$ 围成一曲边梯形。该曲边梯形绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 $\displaystyle V(t)$ ，侧面积为 $\displaystyle S(t)$ ，在 $\displaystyle x=t$ 处的底面积为 $\displaystyle F(t)$ ．（I）求 $\displaystyle \frac{S(t)}{V(t)}$ 的值；（II）计算极限 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{S(t)}{F(t)}$ ．
19解答题设 $\displaystyle \mathrm{e}\lt a\lt b\lt\mathrm{e}^{2}$ ，证明 $\displaystyle \ln ^{2} b-\ln ^{2} a\gt\frac{4}{\mathrm{e}^{2}}(b-a)$ ．
20解答题某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。 现有一质量为 9000 kg 的飞机，着陆时的水平速度为 $\displaystyle 700 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 $\displaystyle k=6.0 \times 10^{6}$ ）。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注： kg 表示千克， $\displaystyle \mathrm{km} / \mathrm{h}$ 表示千米／小时。
21解答题根据题目开头信息，这是一道2004年考研数学二第21题解答题，原题通常要求计算偏导数。补全后的完整题目如下： 设 $\displaystyle z=f\left(x^{2}-y^{2}, \mathrm{e}^{x y}\right)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有连续二阶偏导数，求 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．
22解答题设有齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} (1+a) x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, \\ 2 x_{1}+(2+a) x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}=0, \\ 3 x_{1}+3 x_{2}+(3+a) x_{3}+3 x_{4}=0, \\ 4 x_{1}+4 x_{2}+4 x_{3}+(4+a) x_{4}=0, \end{array}\right.$$ 试问 $\displaystyle a$ 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。
23解答题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ -1 & 4 & -3 \\ 1 & a & 5\end{array}\right)$ 的特征方程有一个二重根，求 $\displaystyle a$ 的值，并讨论 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是否可相似对角化． 1 & 2 & -3 \\ -1 & 4 & -3 \\ 1 & a & 5 \end{pmatrix} \] 特征方程有一个二重根，要求我们求 \(a\) 的值，并讨论 \(A\) 是否可相似对角化。 --- ### 第一步：计算特征多项式 由于矩阵是3×3，用 \( \lambda I - A \) 计算特征多项式更顺畅。 \[ \lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda-1 & -2 & 3 \\ 1 & \lambda-4 & 3 \\ -1 & -a & \lambda-5 \end{pmatrix} \] 计算行列式，这里我按第一行展开： \[ \det(\lambda I - A)= (\lambda-1) \begin{vmatrix} \lambda-4 & 3 \\ -a & \lambda-5 \end{vmatrix} -(-2) \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & \lambda-5 \end{vmatrix} +3 \begin{vmatrix} 1 & \lambda-4 \\ -1 & -a \end{vmatrix} \] 分别计算三个二阶行列式： 1. \[ \begin{vmatrix} \lambda-4 & 3 \\ -a & \lambda-5 \end{vmatrix} = (\lambda-4)(\lambda-5) + 3a = \lambda^2 -9\lambda +20 +3a \] 2. \[ \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & \lambda-5 \end{vmatrix} = 1\cdot(\lambda-5) - 3\cdot(-1) = \lambda -5 +3 = \lambda -2 \] 3. \[ \begin{vmatrix} 1 & \lambda-4 \\ -1 & -a \end{vmatrix} = 1\cdot(-a) - (\lambda-4)(-1) = -a + \lambda -4 = \lambda - a -4 \] 代入得到： \[ \det(\lambda I - A)= (\lambda-1)(\lambda^2 -9\lambda +20+3a) + 2(\lambda-2) + 3(\lambda - a -4) \] 先展开第一部分： \[ (\lambda-1)(\lambda^2 -9\lambda +20+3a) = \lambda^3 -9\lambda^2 +20\lambda +3a\lambda - \lambda^2 +9\lambda -20 -3a \] 整理为： \[ = \lambda^3 -10\lambda^2 + (29+3a)\lambda -20 -3a \] 再加上后两项： \[ +2(\lambda-2) = 2\lambda -4,\quad +3(\lambda-a-4) = 3\lambda -3a -12 \] 合并： - 三次项：\(\lambda^3\) - 二次项：\(-10\lambda^2\) - 一次项：\((29+3a) + 2 + 3 = 34+3a\) - 常数项：\(-20 -3a -4 -3a -12?\) 等下仔细合并常数部分。 常数部分来源： 从第一部分得 \(-20 -3a\) 从 \(+2(\lambda-2)\) 得常数 \(-4\) 从 \(+3(\lambda-a-4)\) 得常数 \(-3a-12\) 总和：\(-20-3a -4 -3a -12 = -36 -6a\) 所以特征多项式是： \[ f(\lambda) = \lambda^3 - 10\lambda^2 + (34+3a)\lambda + (-36 -6a) \] 也可以写为： \[ f(\lambda) = \lambda^3 -10\lambda^2 + (34+3a)\lambda -6(a+6) \] --- ### 第二步：有二重根的条件 设二重根为 \(r\)，且另一根为 \(s\)，那么有： \[ \lambda^3 -10\lambda^2 + (34+3a)\lambda -6(a+6) = (\lambda - r)^2(\lambda - s) \] 展开右边： \[ (\lambda^2 - 2r\lambda + r^2)(\lambda - s) = \lambda^3 - (s+2r)\lambda^2 + (2rs + r^2)\lambda - r^2 s \] 比较系数： 1. 二次项系数： \[ s + 2r = 10 \] 2. 一次项系数： \[ 2rs + r^2 = 34 + 3a \] 3. 常数项： \[ r^2 s = 6(a+6) \] 由(1)得 \(s = 10 - 2r\)。代入其他方程。 代入(2)： \[ 2r(10-2r) + r^2 = 34+3a \] \[ 20r -4r^2 + r^2 = 20r -3r^2 = 34+3a \] 所以： \[ 20r - 3r^2 = 34+3a \quad (A) \] 代入(3): \[ r^2(10-2r) = 6(a+6) \] \[ 10r^2 -2r^3 = 6a+36 \] 除以2： \[ 5r^2 - r^3 = 3a+18 \quad (B) \] 由(A)式得： \[ 3a = 20r -3r^2 -34 \] 即： \[ a = \frac{20r -3r^2 -34}{3} \] 由(B)式： \[ 3a = 5r^2 - r^3 -18 \] 所以有等式： \[ 20r - 3r^2 -34 = 5r^2 - r^3 -18 \] 移项： \[ 20r -3r^2 -34 -5r^2 + r^3 +18 =0 \] \[ r^3 -8r^2 +20r -16 =0 \] 试根：\(r=2\) 代入：\(8-32+40-16=0\)，成立。因此 \(r-2\) 为因子。 做多项式除法： \[ (r^3 -8r^2+20r-16)\div (r-2) \] 得到 \(r^2 -6r +8 = (r-2)(r-4)\)。 所以解为 \(r=2\)（二重根可能性）或 \(r=4\)。 --- ### 第三步：分别计算对应的 \(a\) - 若 \(r=2\)： \[ a = \frac{20\cdot2 -3\cdot4 -34}{3} = \frac{40 -12 -34}{3} = \frac{-6}{3} = -2 \] - 若 \(r=4\)： \[ a = \frac{20\cdot4 -3\cdot16 -34}{3} = \frac{80 -48 -34}{3} = \frac{-2}{3} \] 所以可能 \(a=-2\) 或 \(a=-\frac{2}{3}\)。 --- ### 第四步：判断相似对角化可能性 我们需要看二重根对应的几何重数（即 \((A - rI)\) 的零空间维数）是否为2。 #### 情况1：\(a=-2\)，此时 \(r=2\) 为二重根 计算 \(A-2I\)： \[ A-2I= \begin{pmatrix} -1 & 2 & -3 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \] 显然第一行与第二行成比例，第三行是第一行的-1倍，所以秩为1。 零空间维数 = 3-1 = 2，等于代数量数。因此可相似对角化。 #### 情况2：\(a=-\frac23\)，此时 \(r=4\) 为二重根 计算 \(A-4I\)： \[ A-4I= \begin{pmatrix} -3 & 2 & -3 \\ -1 & 0 & -3 \\ 1 & -\frac23 & 1 \end{pmatrix} \] 检查秩： 先看第一行与第二行，不成比例，至少有秩2。 第三行是否可以由前两行线性表示？可检验一下： 假设第三行 = \(\alpha\) 第一行 + \(\beta\) 第二行 则对第一列：\(1 = -3\alpha - \beta\) 第二列：\(-\frac23 = 2\alpha + 0\cdot\beta \Rightarrow \alpha = -\frac13\) 代入第一列：\(1 = 1 - \beta \Rightarrow \beta=0\) 那么检查第三列：第三列应为 \(-3\alpha -3\beta = 1\)，实际第三列是1，相符，所以第三行是前两行的线性组合。因此秩 =2。 零