2005年 数学一 真题

共23题

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#题型题目
1填空题曲线 $\displaystyle y=\frac{x^{2}}{2 x+1}$ 的斜渐近线方程为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
2填空题微分方程 $\displaystyle x y^{\prime}+2 y=x \ln x$ 满足 $\displaystyle y(1)=-\frac{1}{9}$ 的解为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
3填空题设函数 $\displaystyle u(x, y, z)=1+\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{12}+\frac{z^{2}}{18}$ ，单位向量 $\displaystyle \mathbf{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}\right|_{(1,2,3)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
4填空题设 $\displaystyle \Omega$ 是由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与半球面 $\displaystyle z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 围成的空间区域，$\displaystyle \Sigma$ 是 $\displaystyle \Omega$ 的整个边界的外侧，则 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
5填空题设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 均为3维列向量，记矩阵$$ \mathbf{A}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right), \mathbf{B}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}+\mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{1}+2 \mathbf{\alpha}_{2}+4 \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{1}+3 \mathbf{\alpha}_{2}+9 \mathbf{\alpha}_{3}\right) .$$如果 $\displaystyle |\mathbf{A}|=1$ ，那么 $\displaystyle |\mathbf{B}|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
6填空题从数 $\displaystyle 1,2,3,4$ 中任取一个数，记为 $\displaystyle X$ ，再从 $\displaystyle 1, \cdots, X$ 中任取一个数，记为 $\displaystyle Y$ ，则 $\displaystyle P\{Y=2\}=$$\displaystyle \_\_\_\_$ ．
7选择题设函数 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内（ ）
A处处可导．
B恰有一个不可导点。
C恰有两个不可导点。
D至少有三个不可导点。
8选择题设 $\displaystyle F(x)$ 是连续函数 $\displaystyle f(x)$ 的一个原函数，＂$\displaystyle M \Leftrightarrow N$＂表示＂$\displaystyle M$ 的充分必要条件是 $\displaystyle N$＂，则必有（ ）
A$\displaystyle F(x)$ 是偶函数 $\displaystyle \Leftrightarrow f(x)$ 是奇函数．
B$\displaystyle F(x)$ 是奇函数 $\displaystyle \Leftrightarrow f(x)$ 是偶函数．
C$\displaystyle F(x)$ 是周期函数 $\displaystyle \Leftrightarrow f(x)$ 是周期函数．
D$\displaystyle F(x)$ 是单调函数 $\displaystyle \Leftrightarrow f(x)$ 是单调函数．
9选择题设函数 $\displaystyle u(x, y)=\varphi(x+y)+\varphi(x-y)+\int_{x-y}^{x+y} \psi(t) \mathrm{d} t$ ，其中函数 $\displaystyle \varphi$ 具有二阶导数，$\displaystyle \psi$ 具有一阶导数，则必有（ ）
A$\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ ．
B$\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ ．
C$\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ ．
D$\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ ．
10选择题设有三元方程 $\displaystyle x y-z \ln y+\mathrm{e}^{x z}=1$ ，根据隐函数存在定理，存在点 $\displaystyle (0,1,1)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程（ ）
A只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ．
B可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $\displaystyle y=y(x, z)$ 和 $\displaystyle z=z(x, y)$ ．
C可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $\displaystyle x=x(y, z)$ 和 $\displaystyle z=z(x, y)$ 。
D可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $\displaystyle x=x(y, z)$ 和 $\displaystyle y=y(x, z)$ ．
11选择题设 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}$ ，则 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{A}\left(\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}\right)$ 线性无关的充分必要条件是（ ）
A$\displaystyle \lambda_{1} \neq 0$ ．
B$\displaystyle \lambda_{2} \neq 0$ ．
C$\displaystyle \lambda_{1}=0$ ．
D$\displaystyle \lambda_{2}=0$ ．
12选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle n(n \geqslant 2)$ 阶可逆矩阵，交换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的第 1 行与第 2 行得矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}, \mathbf{A}^{*}, \mathbf{B}^{*}$ 分别为 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 的伴随矩阵，则（ ）
A交换 $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 的第1列与第2列得 $\displaystyle \mathbf{B}^{*}$ 。
B交换 $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 的第 1 行与第 2 行得 $\displaystyle \mathbf{B}^{*}$ 。
C交换 $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 的第 1 列与第2列得 $\displaystyle -\mathbf{B}^{*}$ 。
D交换 $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 的第1行与第2行得 $\displaystyle -\mathbf{B}^{*}$ 。
13选择题设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率分布为| $\displaystyle X$ | $\displaystyle Y$ | 0 | | :---: | :---: | :---: | | 0 | 0.4 | 1 || 1 | $\displaystyle b$ | $\displaystyle a$ |已知随机事件 $\displaystyle \{X=0\}$ 与 $\displaystyle \{X+Y=1\}$ 相互独立，则（ ）
A$\displaystyle a=0.2, b=0.3$ ．
B$\displaystyle a=0.4, b=0.1$ ．
C$\displaystyle a=0.3, b=0.2$ ．
D$\displaystyle a=0.1, b=0.4$ ．
14选择题设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $\displaystyle N(0,1)$ 的简单随机样本， $\displaystyle \bar{X}$ 为样本均值，$\displaystyle S^{2}$ 为样本方差，则（ ）
A$\displaystyle n \bar{X} \sim N(0,1)$ ．
B$\displaystyle n S^{2} \sim \chi^{2}(n)$ ．
C$\displaystyle \frac{(n-1) \bar{X}}{S} \sim t(n-1)$ ．
D$\displaystyle \frac{(n-1) X_{1}^{2}}{\sum_{i=2}^{n} X_{i}^{2}} \sim F(1, n-1)$ ．
15解答题设 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant \sqrt{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\},\left[1+x^{2}+y^{2}\right]$ 表示不超过 $\displaystyle 1+x^{2}+y^{2}$ 的最大整数，计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} x y\left[1+x^{2}+y^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
16解答题求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left[1+\frac{1}{n(2 n-1)}\right] x^{2 n}$ 的收敛区间与和函数 $\displaystyle f(x)$ ．
17解答题如图，曲线 $\displaystyle C$ 的方程为 $\displaystyle y=f(x)$ ，点 $\displaystyle (3,2)$ 是它的一个拐点，直线 $\displaystyle l_{1}$ 与 $\displaystyle l_{2}$ 分别是曲线 $\displaystyle C$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 与 $\displaystyle (3,2)$ 处的切线，其交点为 $\displaystyle (2,4)$ ．设函数 $\displaystyle f(x)$ 具有三阶连续导数，计算定积分 $$ \int_{0}^{3}\left(x^{2}+x\right) f^{\prime \prime \prime}(x) \mathrm{d} x .$$
18解答题已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．证明：（ I ）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=1-\xi$ ；（II）存在两个不同的点 $\displaystyle \eta, \zeta \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\eta) f^{\prime}(\zeta)=1$ ．
19解答题设函数 $\displaystyle \varphi(y)$ 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 $\displaystyle L$ 上，曲线积分 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^{2}+y^{4}}$ 的值恒为同一常数。（I）证明：对右半平面 $\displaystyle x\gt 0$ 内的任意分段光滑简单闭曲线 $\displaystyle C$ ，有 $$ \oint_{C} \frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^{2}+y^{4}}=0 ;$$ （II）求函数 $\displaystyle \varphi(y)$ 的表达式。
20解答题已知二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=(1-a) x_{1}^{2}+(1-a) x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2(1+a) x_{1} x_{2}$ 的秩为 2 ．（I）求 $\displaystyle a$ 的值；（II）求正交变换 $\displaystyle \mathbf{x}=\mathbf{Q y}$ ，把 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化成标准形；（III）求方程 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解。
21解答题已知 3 阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的第一行是 $\displaystyle (a, b, c), a, b, c$ 不全为零，矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & k\end{array}\right)$（ $\displaystyle k$ 为常数），且 $\displaystyle \mathbf{A B}=\mathbf{O}$ ，求线性方程组 $\displaystyle \mathbf{A x}=\mathbf{0}$ 的通解．
22解答题设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x, y)= \begin{cases}1, & 0\lt x\lt 1,0\lt y\lt 2 x, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$求：（I）$\displaystyle (X, Y)$ 的边缘概率密度 $\displaystyle f_{X}(x), f_{Y}(y)$ ；（II）$\displaystyle Z=2 X-Y$ 的概率密度 $\displaystyle f_{Z}(z)$ ．
23解答题设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n\gt 2)$ 为来自总体 $\displaystyle N(0,1)$ 的简单随机样本， $\displaystyle \bar{X}$ 为样本均值，记 $\displaystyle Y_{i}=X_{i}-\bar{X}$ ， $\displaystyle i=1,2, \cdots, n$ ．求：（I）$\displaystyle Y_{i}$ 的方差 $\displaystyle D\left(Y_{i}\right), i=1,2, \cdots, n$ ；（II）$\displaystyle Y_{1}$ 与 $\displaystyle Y_{n}$ 的协方差 $\displaystyle \operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{n}\right)$ 。 =X_{1}-\bar{X}=X_{1}-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}=\left(1-\frac{1}{n}\right) X_{1}-\frac{1}{n} X_{2}-\cdots-\frac{1}{n} X_{n}$\displaystyle ，因为 $X_{i} \sim N(0,1)(1 \leqslant i \leqslant n)$\displaystyle 且 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$\displaystyle 相互独立，所以 $Y_{1}$ 服从正态分布．又因为 $\displaystyle E\left(Y_{1}\right)=0, D\left(Y_{1}\right)=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2} D\left(X_{1}\right)+\frac{1}{n^{2}} D\left(X_{2}\right)+\cdots+\frac{1}{n^{2}} D\left(X_{n}\right)=\frac{n-1}{n}$ ，所以 $\displaystyle Y_{1} \sim N\left(0, \frac{n-1}{n}\right)$ ，同理 $\displaystyle Y_{i} \sim N\left(0, \frac{n-1}{n}\right)(1 \leqslant i \leqslant n)$ ，于是 $\displaystyle D\left(Y_{i}\right)=\frac{n-1}{n}(1 \leqslant i \leqslant n)$ ．方法二 因为 $\displaystyle X_{i} \sim N(0,1)$ ，所以 $\displaystyle E\left(X_{i}\right)=0, D\left(X_{i}\right)=1(i=1,2, \cdots, n)$ ， $$ \begin{aligned} E(\bar{X}) & =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E\left(X_{i}\right)=0, \quad D(\bar{X})=\frac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} D\left(X_{i}\right)=\frac{1}{n}, \quad E\left(\bar{X}^{2}\right)=D(\bar{X})+(E \bar{X})^{2}=\frac{1}{n} \\ E\left(Y_{i}\right) & =E\left(X_{i}-\bar{X}\right)=E\left(X_{i}\right)-E(\bar{X})=0 \\ D\left(Y_{i}\right) & =E\left(Y_{i}^{2}\right)-\left(E Y_{i}\right)^{2}=E\left(Y_{i}^{2}\right)=E\left(X_{i}^{2}-2 X_{i} \bar{X}+\bar{X}^{2}\right) \\ & =E\left(X_{i}^{2}\right)-\frac{2}{n} E\left[X_{i}\left(X_{1}+\cdots+X_{n}\right)\right]+E\left(\bar{X}^{2}\right) \\ & =1-\frac{2}{n} E\left(X_{i}^{2}\right)+\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n} \end{aligned}$$ （II） $\displaystyle \operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{n}\right)=\operatorname{Cov}\left(X_{1}-\bar{X}, X_{n}-\bar{X}\right)$$