2005年 数学三 真题

共23题

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#题型题目
1填空题极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{2 x}{x^{2}+1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
2填空题微分方程 $\displaystyle x y^{\prime}+y=0$ 满足初始条件 $\displaystyle y(1)=2$ 的特解为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
3填空题设二元函数 $\displaystyle z=x \mathrm{e}^{x+y}+(x+1) \ln (1+y)$ ，则 $\displaystyle \left.\mathrm{d} z\right|_{(1,0)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
4填空题设行向量组 $\displaystyle (2,1,1,1),(2,1, a, a),(3,2,1, a),(4,3,2,1)$ 线性相关，且 $\displaystyle a \neq 1$ ，则 $\displaystyle a=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
5填空题从数 $\displaystyle 1,2,3,4$ 中任取一个数，记为 $\displaystyle X$ ，再从 $\displaystyle 1, \cdots, X$ 中任取一个数，记为 $\displaystyle Y$ ，则 $\displaystyle P\{Y=2\}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
6填空题设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率分布为| $\displaystyle X$ | $\displaystyle Y$ | 0 | 1 | | :---: | :---: | :---: | :---: || 0 | 0.4 | $\displaystyle a$ | || 1 | $\displaystyle b$ | 0.1 | |若随机事件 $\displaystyle \{X=0\}$ 与 $\displaystyle \{X+Y=1\}$ 相互独立，则 $\displaystyle a=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ，$\displaystyle b=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
7选择题当 $\displaystyle a$ 取下列哪个值时，函数 $\displaystyle f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x-a$ 恰有两个不同的零点。
A2 ．
B4 ．
C6 ．
D8 ．
8选择题设 $\displaystyle I_{1}=\iint_{D} \cos \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} \sigma, I_{2}=\iint_{D} \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma, I_{3}=\iint_{D} \cos \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid \left.x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ，则
A$\displaystyle I_{3}\gt I_{2}\gt I_{1}$ ．
B$\displaystyle I_{1}\gt I_{2}\gt I_{3}$ ．$\displaystyle (\mathrm{C}) I_{2}\gt I_{1}\gt I_{3}$.
C$\displaystyle I_{3}\gt I_{1}\gt I_{2}$ ．
9选择题设 $\displaystyle a_{n}\gt 0, n=1,2, \cdots$ ，若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收敛，则下列结论正确的是
A$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}$ 收敛，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n}$ 发散。
B$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n}$ 收敛，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}$ 发散。
C$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收敛。
D$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}-a_{2 n}\right)$ 收敛。
10选择题设 $\displaystyle f(x)=x \sin x+\cos x$ ，下列命题中正确的是
A$\displaystyle f(0)$ 是极大值，$\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是极小值。
B$\displaystyle f(0)$ 是极小值，$\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是极大值。
C$\displaystyle f(0)$ 是极大值，$\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 也是极大值。
D$\displaystyle f(0)$ 是极小值，$\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 也是极小值。
11选择题以下四个命题中，正确的是
A若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内有界．
B若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内有界．
C若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内有界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内有界。
D若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内有界，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内有界．
12选择题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 满足 $\displaystyle \mathbf{A}^{*}=\mathbf{A}^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的伴随矩阵， $\displaystyle \mathbf{A}^{\mathrm{T}}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的转置矩阵。若 $\displaystyle a_{11}, a_{12}$ ， $\displaystyle a_{13}$ 为三个相等的正数，则 $\displaystyle a_{11}$ 为（ ）
A$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$ ．
B3．
C$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．
D$\displaystyle \sqrt{3}$ ．
13选择题设 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}$ ，则 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{A}\left(\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}\right)$ 线性无关的充分必要条件是（ ）
A$\displaystyle \lambda_{1}=0$ 。
B$\displaystyle \lambda_{2}=0$ 。
C$\displaystyle \lambda_{1} \neq 0$ ．
D$\displaystyle \lambda_{2} \neq 0$ ．
14选择题（超纲题）设一批零件的长度服从正态分布 $\displaystyle N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，其中 $\displaystyle \mu, \sigma^{2}$ 均未知。现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 $\displaystyle \bar{x}=20(\mathrm{~cm})$ ，样本标准差 $\displaystyle S=1(\mathrm{~cm})$ ，则 $\displaystyle \mu$ 的置信度为 0.90 的置信区间是（）
A$\displaystyle \left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(16), 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(16)\right)$ ．
B$\displaystyle \left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}(16), 20+\frac{1}{4} t_{0.1}(16)\right)$ ．
C$\displaystyle \left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(15), 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(15)\right)$ ．
D$\displaystyle \left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}(15), 20+\frac{1}{4} t_{0.1}(15)\right)$ ．
15解答题求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+x}{1-\mathrm{e}^{-x}}-\frac{1}{x}\right)$ ．
16解答题设 $\displaystyle f(u)$ 具有二阶连续导数，且 $\displaystyle g(x, y)=f\left(\frac{y}{x}\right)+y f\left(\frac{x}{y}\right)$ ，求 $\displaystyle x^{2} \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}-y^{2} \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$ ．
17解答题计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-1\right| \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
18解答题求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n+1}-1\right) x^{2 n}$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内的和函数 $\displaystyle S(x)$ ．
19解答题设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的导数连续，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(x) \geqslant 0, g^{\prime}(x) \geqslant 0$ 。证明：对任何 $\displaystyle a \in[0,1]$ ，有 $$ \int_{0}^{a} g(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{1} f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x \geqslant f(a) g(1)$$
20解答题已知齐次线性方程组 $$ \text { (i) }\left\{\begin{array} { l } { x _ { 1 } + 2 x _ { 2 } + 3 x _ { 3 } = 0 , } \\ { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } + 5 x _ { 3 } = 0 , } \\ { x _ { 1 } + x _ { 2 } + a x _ { 3 } = 0 } \end{array} \quad \text { 和 } \quad \text { (ii) } \left\{\begin{array}{l} x_{1}+b x_{2}+c x_{3}=0, \\ 2 x_{1}+b^{2} x_{2}+(c+1) x_{3}=0 \end{array}\right.\right.$$ 同解，求 $\displaystyle a, b, c$ 的值．
21解答题设 $\displaystyle \mathbf{D}=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A} & \mathbf{C} \\ \mathbf{C}^{\mathrm{T}} & \mathbf{B}\end{array}\right)$ 为正定矩阵，其中 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 分别为 $\displaystyle m$ 阶，$\displaystyle n$ 阶对称矩阵， $\displaystyle \mathbf{C}$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵。（I）计算 $\displaystyle \mathbf{P}^{\mathrm{T}} \mathbf{D} \mathbf{P}$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{P}=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{E}_{m} & -\mathbf{A}^{-1} \mathbf{C} \\ \mathbf{O} & \mathbf{E}_{n}\end{array}\right)$ ；（II）利用（I）的结果判断矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}-\mathbf{C}^{\mathrm{T}} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{C}$ 是否为正定矩阵，并证明你的结论。
22解答题设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度为$$ f(x, y)= \begin{cases}1, & 0\lt x\lt 1,0\lt y\lt 2 x, ~ \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}$$ 求：（I）$\displaystyle (X, Y)$ 的边缘概率密度 $\displaystyle f_{X}(x), f_{Y}(y)$ ；（II）$\displaystyle Z=2 X-Y$ 的概率密度 $\displaystyle f_{Z}(z)$ ；（III）$\displaystyle P\left\{\left.Y \leqslant \frac{1}{2} \right\rvert\, X \leqslant \frac{1}{2}\right\}$ ．
23解答题设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n\gt 2)$ 为来自总体 $\displaystyle N\left(0, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，其样本均值为 $\displaystyle \bar{X}$ ．记 $\displaystyle Y_{i}=X_{i}-\bar{X}$ ， $\displaystyle i=1,2, \cdots, n$ ．（I）求 $\displaystyle Y_{i}$ 的方差 $\displaystyle D\left(Y_{i}\right), i=1,2, \cdots, n$ ；（II）求 $\displaystyle Y_{1}$ 与 $\displaystyle Y_{n}$ 的协方差 $\displaystyle \operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{n}\right)$ ；（III）（超纲题）若 $\displaystyle c\left(Y_{1}+Y_{n}\right)^{2}$ 是 $\displaystyle \sigma^{2}$ 的无偏估计量，求常数 $\displaystyle c$ 。（无偏估计为超纲概念，可改为＂若 $\displaystyle E\left(c\left(Y_{1}+Y_{n}\right)^{2}\right)=\sigma^{2}$ ，求常数 $\displaystyle \left.c . "\right)$ =X_{1}-\bar{X}=X_{1}-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}=\left(1-\frac{1}{n}\right) X_{1}-\frac{1}{n} X_{2}-\cdots-\frac{1}{n} X_{n}$\displaystyle ，因为 $X_{i} \sim N\left(0, \sigma^{2}\right)(1 \leqslant i \leqslant n)$\displaystyle 且 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$\displaystyle 相互独立，所以 $Y_{1}$\displaystyle 服从正态分布，又因为 $E\left(Y_{1}\right)=0, D\left(Y_{1}\right)=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2} D\left(X_{1}\right)+\frac{1}{n^{2}} D\left(X_{2}\right)+\cdots+\frac{1}{n^{2}} D\left(X_{n}\right)=\frac{n-1}{n} \sigma^{2}$\displaystyle ，所以 $Y_{1} \sim N\left(0, \frac{n-1}{n} \sigma^{2}\right)$\displaystyle ，同理 $Y_{i} \sim N\left(0, \frac{n-1}{n} \sigma^{2}\right)(1 \leqslant i \leqslant n)$ ， 于是 $\displaystyle D\left(Y_{i}\right)=\frac{n-1}{n} \sigma^{2}(1 \leqslant i \leqslant n)$ ．方法二 因为 $\displaystyle X_{i} \sim N\left(0, \sigma^{2}\right)$ ，所以 $\displaystyle E\left(X_{i}\right)=0, D\left(X_{i}\right)=\sigma^{2}(i=1,2, \cdots, n)$ ，$\displaystyle E(\bar{X})=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E\left(X_{i}\right)=0, D(\bar{X})=\frac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} D\left(X_{i}\right)=\frac{\sigma^{2}}{n}, E\left(\bar{X}^{2}\right)=D(\bar{X})+[E(\bar{X})]^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n}$ ．$\displaystyle E\left(Y_{i}\right)=E\left(X_{i}-\bar{X}\right)=E\left(X_{i}\right)-E(\bar{X})=0$,$\displaystyle D\left(Y_{i}\right)=E\left(Y_{i}^{2}\right)-\left(E Y_{i}\right)^{2}=E\left(Y_{i}^{2}\right)=E\left(X_{i}^{2}-2 X_{i} \bar{X}+\bar{X}^{2}\right)$ $$ \begin{aligned} & =E\left(X_{i}^{2}\right)-\frac{2}{n} E\left[X_{i}\left(X_{1}+\cdots+X_{n}\right)\right]+E\left(\bar{X}^{2}\right) \\ & =D\left(X_{i}\right)-\left[E\left(X_{i}\right)\right]^{2}-\frac{2}{n} E\left(X_{i}^{2}\right)+\frac{\sigma^{2}}{n}=\sigma^{2}-\frac{2}{n} \sigma^{2}+\frac{\sigma^{2}}{n}=\left(1-\frac{1}{n}\right) \sigma^{2} . \end{aligned}$$ （II） $\displaystyle \operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{n}\right)=\operatorname{Cov}\left(X_{1}-\bar{X}, X_{n}-\bar{X}\right)$$