2005年 数学二 真题

共23题

← 返回矩阵
#题型题目
1填空题根据你提供的开头信息，这是一道2005年考研数学二第1题填空题，原题只有这一问，没有其他小问。因此补全后的完整题目如下： 设 $\displaystyle y=(1+\sin x)^{x}$ ，则 $\displaystyle \left.\mathrm{d} y\right|_{x=\pi}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
2填空题曲线 $\displaystyle y=\frac{(1+x)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}}$ 的斜渐近线方程为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
3填空题$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x \mathrm{~d} x}{\left(2-x^{2}\right) \sqrt{1-x^{2}}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ .
4填空题微分方程 $\displaystyle x y^{\prime}+2 y=x \ln x$ 满足 $\displaystyle y(1)=-\frac{1}{9}$ 的解为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
5填空题当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时，$\displaystyle \alpha(x)=k x^{2}$ 与 $\displaystyle \beta(x)=\sqrt{1+x \arcsin x}-\sqrt{\cos x}$ 是等价无穷小量，则 $\displaystyle k=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
6填空题设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 均为3维列向量，记矩阵$$ \mathbf{A}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right), \quad \mathbf{B}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}+\mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{1}+2 \mathbf{\alpha}_{2}+4 \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{1}+3 \mathbf{\alpha}_{2}+9 \mathbf{\alpha}_{3}\right) .$$如果 $\displaystyle |\mathbf{A}|=1$ ，那么 $\displaystyle |\mathbf{B}|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
7选择题设函数 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内（ ）
A处处可导。
B恰有一个不可导点。
C恰有两个不可导点。
D至少有三个不可导点。
8选择题设 $\displaystyle F(x)$ 是连续函数 $\displaystyle f(x)$ 的一个原函数，＂$\displaystyle M \Leftrightarrow N$＂表示＂$\displaystyle M$ 的充分必要条件是 $\displaystyle N$＂，则必有（ ）
A$\displaystyle F(x)$ 是偶函数 $\displaystyle \Leftrightarrow f(x)$ 是奇函数。
B$\displaystyle F(x)$ 是奇函数 $\displaystyle \Leftrightarrow f(x)$ 是偶函数。
C$\displaystyle F(x)$ 是周期函数 $\displaystyle \Leftrightarrow f(x)$ 是周期函数．
D$\displaystyle F(x)$ 是单调函数 $\displaystyle \Leftrightarrow f(x)$ 是单调函数。
9选择题设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=t^{2}+2 t, \\ y=\ln (1+t)\end{array}\right.$ 确定，则曲线 $\displaystyle y=y(x)$ 在 $\displaystyle x=3$ 处的法线与 $\displaystyle x$ 轴交点的横坐标是
A$\displaystyle \frac{1}{8} \ln 2+3$ ．
B$\displaystyle -\frac{1}{8} \ln 2+3$ ．
C$\displaystyle -8 \ln 2+3$ ．
D$\displaystyle 8 \ln 2+3$ ．
10选择题设区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}, f(x)$ 为 $\displaystyle D$ 上的正值连续函数，$\displaystyle a, b$ 为常数，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{a \sqrt{f(x)}+b \sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}} \mathrm{d} \sigma=(\quad)$
A$\displaystyle a b \pi$ ．
B$\displaystyle \frac{a b}{2} \pi$ ．
C$\displaystyle (a+b) \pi$ ．
D$\displaystyle \frac{a+b}{2} \pi$ ．
11选择题设函数 $\displaystyle u(x, y)=\varphi(x+y)+\varphi(x-y)+\int_{x-y}^{x+y} \psi(t) \mathrm{d} t$ ，其中函数 $\displaystyle \varphi$ 具有二阶导数，$\displaystyle \psi$ 具有一阶导数，则必有
A$\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ ．
B$\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ ．
C$\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ ．
D$\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ ．
12选择题设函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{x}{x-1}}-1}$ ，则（ ）
A$\displaystyle x=0, x=1$ 都是 $\displaystyle f(x)$ 的第一类间断点。
B$\displaystyle x=0, x=1$ 都是 $\displaystyle f(x)$ 的第二类间断点。
C$\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的第一类间断点，$\displaystyle x=1$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的第二类间断点。
D$\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的第二类间断点，$\displaystyle x=1$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的第一类间断点。
13选择题设 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}$ ，则 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{A}\left(\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}\right)$ 线性无关的充分必要条件是（ ）
A$\displaystyle \lambda_{1} \neq 0$ ．
B$\displaystyle \lambda_{2} \neq 0$ ．
C$\displaystyle \lambda_{1}=0$ ．
D$\displaystyle \lambda_{2}=0$ ．
14选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle n(n \geqslant 2)$ 阶可逆矩阵，交换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的第 1 行与第 2 行得矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}, ~ \mathbf{A}^{*}, ~ \mathbf{B}^{*}$ 分别为 $\displaystyle \mathbf{A}, ~ \mathbf{B}$ 的伴随矩阵，则（ ）
A交换 $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 的第1列与第2列得 $\displaystyle \mathbf{B}^{*}$ 。
B交换 $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 的第1行与第2行得 $\displaystyle \mathbf{B}^{*}$ 。
C交换 $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 的第1列与第2列得 $\displaystyle -\mathbf{B}^{*}$ 。
D交换 $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 的第1行与第2行得 $\displaystyle -\mathbf{B}^{*}$ 。
15解答题} 设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，且 $\displaystyle f(0) \neq 0$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t}{x \int_{0}^{x} f(x-t) \mathrm{d} t}$ ．
16解答题如图，$\displaystyle C_{1}$ 和 $\displaystyle C_{2}$ 分别是 $\displaystyle y=\frac{1}{2}\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$ 和 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{x}$ 的图像，过点 $\displaystyle (0,1)$的曲线 $\displaystyle C_{3}$ 是一单调增函数的图像，过 $\displaystyle C_{2}$ 上任一点 $\displaystyle M(x, y)$ 分别作垂直于 $\displaystyle x$ 轴和 $\displaystyle y$ 轴的直线 $\displaystyle l_{x}$ 和 $\displaystyle l_{y}$ 。记 $\displaystyle C_{1}, C_{2}$ 与 $\displaystyle l_{x}$ 所围图形的面积为 $\displaystyle S_{1}(x) ; ~ C_{2}, C_{3}$ 与 $\displaystyle l_{y}$ 所围图形的面积为 $\displaystyle S_{2}(y)$ 。如果总有 $\displaystyle S_{1}(x)= S_{2}(y)$ ，求曲线 $\displaystyle C_{3}$ 的方程 $\displaystyle x=\varphi(y)$ 。
17解答题如图，曲线 $\displaystyle C$ 的方程为 $\displaystyle y=f(x)$ ，点 $\displaystyle (3,2)$ 是它的一个拐点，直线 $\displaystyle l_{1}$ 与 $\displaystyle l_{2}$ 分别是曲线 $\displaystyle C$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 与 $\displaystyle (3,2)$ 处的切线，其交点为 $\displaystyle (2,4)$ 。设函数 $\displaystyle f(x)$ 具有三阶连续导数，计算定积分 $$ \int_{0}^{3}\left(x^{2}+x\right) f^{\prime \prime \prime}(x) \mathrm{d} x$$
18解答题用变量代换 $\displaystyle x=\cos t(0\lt t\lt\pi)$ 化简微分方程 $\displaystyle \left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0$ ，并求其满足 $\displaystyle \left.y\right|_{x=0}=1$ ， $\displaystyle \left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ 的特解．
19解答题已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ 。证明：（ I ）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=1-\xi$ ；（II）存在两个不同的点 $\displaystyle \eta, \zeta \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\eta) f^{\prime}(\zeta)=1$ 。
20解答题已知函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 的全微分 $\displaystyle \mathrm{d} z=2 x \mathrm{~d} x-2 y \mathrm{~d} y$ ，并且 $\displaystyle f(1,1)=2$ ．求 $\displaystyle f(x, y)$ 在椭圆域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+\frac{y^{2}}{4} \leqslant 1\right.\right\}$ 上的最大值和最小值．
21解答题计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-1\right| \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
22解答题确定常数 $\displaystyle a$ ，使向量组 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=(1,1, a)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\alpha}_{2}=(1, a, 1)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\alpha}_{3}=(a, 1,1)^{\mathrm{T}}$ 可由向量组 $\displaystyle \mathbf{\beta}_{1}= (1,1, a)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\beta}_{2}=(-2, a, 4)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\beta}_{3}=(-2, a, a)^{\mathrm{T}}$ 线性表示，但向量组 $\displaystyle \mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}, \mathbf{\beta}_{3}$ 不能由向量组 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 线性表示。
23解答题已知3阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的第一行是 $\displaystyle (a, b, c), a, b, c$ 不全为零，矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & k\end{array}\right)$（ $\displaystyle k$ 为常数），且 $\displaystyle \mathbf{A B}=\mathbf{O}$ ，求线性方程组 $\displaystyle \mathbf{A x}=\mathbf{0}$ 的通解． \mathbf{B}=\mathbf{O}$\displaystyle 得 $r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B}) \leqslant 3$\displaystyle ，因为 $\mathbf{A}$\displaystyle 为非零矩阵，所以 $r(\mathbf{A}) \geqslant 1$ ．当 $\displaystyle k \neq 9$ 时，由 $\displaystyle r(\mathbf{B})=2$ 得 $\displaystyle r(\mathbf{A})=1$ 。因为 $\displaystyle \mathbf{A B}=\mathbf{O}$ ，所以 $\displaystyle \mathbf{B}$ 的列向量为方程组 $\displaystyle \mathbf{A X}=\mathbf{0}$ 的解，于是方程组 $\displaystyle \mathbf{A X}=\mathbf{0}$ 的通解为 $$ \mathbf{X}=C_{1}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)+C_{2}\left(\begin{array}{l} 3 \\ 6 \\ k \end{array}\right)\left(C_{1}, C_{2} \text { 为任意常数 }\right) .$$ 当 $\displaystyle k=9$ 时，$\displaystyle r(\mathbf{B})=1$ ，则 $\displaystyle 1 \leqslant r(\mathbf{A}) \leqslant 2$ ．当 $\displaystyle r(\mathbf{A})=2$ 时，因为 $\displaystyle \mathbf{A B}=\mathbf{O}$ ，所以 $\displaystyle \mathbf{B}$ 的列向量为 $\displaystyle \mathbf{A X}=\mathbf{0}$ 的解，于是方程组 $\displaystyle \mathbf{A X}=\mathbf{0}$ 的通解为 $\displaystyle \mathbf{X}=C\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$（ $\displaystyle C$ 为任意常数）．当 $\displaystyle r(\mathbf{A})=1$ 时，不妨设 $\displaystyle a \neq 0$ ，由 $\displaystyle \mathbf{A} \rightarrow\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}1 & \frac{b}{a} & \frac{c}{a} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，得方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{0}$ 的通解为 $\displaystyle \mathbf{X}=C_{1}\left(\begin{array}{c}-\frac{b}{a} \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+C_{2}\left(\begin{array}{c}-\frac{c}{a} \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\left(C_{1}, C_{2}\right.$ 为任意常数 $\displaystyle )$ 。 方法点评：设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 分别为 $\displaystyle m \times n$ 与 $\displaystyle n \times s$ 两个矩阵，对 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{B}=\mathbf{O}$ 有两种解读：$\displaystyle (1) r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B}) \leqslant n ;$（2）矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ 的列向量为齐次线性方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{0}$ 的一组解．$