2006年 数学一 真题

共23题

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#题型题目
1填空题$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x)}{1-\cos x}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
2填空题微分方程 $\displaystyle y^{\prime}=\frac{y(1-x)}{x}$ 的通解是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
3填空题设 $\displaystyle \Sigma$ 是雉面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的下侧，则 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3(z-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
4填空题点 $\displaystyle (2,1,0)$ 到平面 $\displaystyle 3 x+4 y+5 z=0$ 的距离 $\displaystyle d=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
5填空题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right), \mathbf{E}$ 为 2 阶单位矩阵，矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ 满足 $\displaystyle \mathbf{B A}=\mathbf{B}+2 \mathbf{E}$ ，则 $\displaystyle |\mathbf{B}|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
6填空题设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，且均服从区间 $\displaystyle [0,3]$ 上的均匀分布，由 $\displaystyle P\{\max \{X, Y\} \leqslant 1\}=$$\displaystyle \_\_\_\_$。
7选择题设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 具有二阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)\gt 0, f^{\prime \prime}(x)\gt 0, \Delta x$ 为自变量 $\displaystyle x$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处的增量，$\displaystyle \Delta y$与 $\displaystyle \mathrm{d} y$ 分别为 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处对应的增量与微分，若 $\displaystyle \Delta x\gt 0$ ，则（ ）
A$\displaystyle 0\lt\mathrm{d} y\lt\Delta y$ ．
B$\displaystyle 0\lt\Delta y\lt\mathrm{d} y$ ．
C$\displaystyle \Delta y\lt\mathrm{d} y\lt 0$ ．
D$\displaystyle \mathrm{d} y\lt\Delta y\lt 0$ ．
8选择题设 $\displaystyle f(x, y)$ 为连续函数，则 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 等于（
A$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
B$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
C$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
D$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
9选择题若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则级数（ ）
A$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 收敛。
B$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 收敛。
C$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} a_{n+1}$ 收敛。
D$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}+a_{n+1}}{2}$ 收敛。
10选择题设 $\displaystyle f(x, y)$ 与 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\displaystyle \varphi_{y}^{\prime}(x, y) \neq 0$ 。已知 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $\displaystyle f(x, y)$ 在约束条件 $\displaystyle \varphi(x, y) =0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是（
A若 $\displaystyle f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ ，则 $\displaystyle f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ 。
B若 $\displaystyle f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ ，则 $\displaystyle f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ．
C若 $\displaystyle f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ，则 $\displaystyle f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ ．
D若 $\displaystyle f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ，则 $\displaystyle f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ．
11选择题设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{\alpha}_{s}$ 均为 $\displaystyle n$ 维列向量， $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，下列选项正确的是（）
A若 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性相关，则 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性相关。
B若 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性相关，则 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性无关。
C若 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性无关，则 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性相关。
D若 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性无关，则 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性无关。
12选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵，将 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的第 2 行加到第 1 行得 $\displaystyle \mathbf{B}$ ，再将 $\displaystyle \mathbf{B}$ 的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得 $\displaystyle \mathbf{C}$ ，记 $\displaystyle \mathbf{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ \mathbf{0} & 11 & 0 \\ \mathbf{0} & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle (\quad)$
A$\displaystyle \mathbf{C}=\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}$ ．
B$\displaystyle \mathbf{C}=\mathbf{P} \mathbf{A} \mathbf{P}^{-1}$ ．
C$\displaystyle \mathbf{C}=\mathbf{P}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{P}$ ．
D$\displaystyle \mathbf{C}=\mathbf{P} \mathbf{A} \mathbf{P}^{\mathrm{T}}$ ．
13选择题设 $\displaystyle A, B$ 为随机事件，且 $P
A\gt 0, P(A \mid B)=1$ ，则必有（）$\displaystyle (\mathrm{A}) P(A \cup B)\gt P
B$ ．
C$\displaystyle P(A \cup B)\gt P
D$ ．$(\mathrm{C}) P(A \cup B)=P
14选择题设随机变量 $\displaystyle X$ 服从正态分布 $\displaystyle N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right), Y$ 服从正态分布 $\displaystyle N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$ ，且$$ P\left\{\left|X-\mu_{1}\right|\lt 1\right\}\gt P\left\{\left|Y-\mu_{2}\right|\lt 1\right\},$$ 则必有
A$\displaystyle \sigma_{1}\lt\sigma_{2}$ ．
B$\displaystyle \sigma_{1}\gt\sigma_{2}$ ．
C$\displaystyle \mu_{1}\lt\mu_{2}$ ．
D$\displaystyle \mu_{1}\gt\mu_{2}$ ．
15解答题设区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0\right\}$ ，计算二重积分 $\displaystyle I=\iint_{D} \frac{1+x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
16解答题设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle 0\lt x_{1}\lt\pi, x_{n+1}=\sin x_{n}(n=1,2, \cdots)$ ．（I）证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求该极限；（II）计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right)^{\frac{1}{x_{n}^{2}}}$ ．
17解答题将函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{2+x-x^2}$ 展开成 $\displaystyle x$ 的幂级数．
18解答题设函数 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $\displaystyle z=f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ 满足等式 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ ．（ I ）验证 $\displaystyle f^{\prime \prime}(u)+\frac{f^{\prime}(u)}{u}=0$ ；（II）若 $\displaystyle f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$ ，求函数 $\displaystyle f(u)$ 的表达式．
19解答题设在上半平面 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid y\gt 0\}$ 内，函数 $\displaystyle f(x, y)$ 具有连续偏导数，且对任意的 $\displaystyle t\gt 0$ 都有$\displaystyle f(t x, t y)=t^{-2} f(x, y)$.证明：对 $\displaystyle D$ 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 $\displaystyle L$ ，都有 $\displaystyle \oint_{L} y f(x, y) \mathrm{d} x-x f(x, y) \mathrm{d} y=0$ ．
20解答题已知非齐次线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1, \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1, \\ a x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+b x_{4}=1\end{array}\right.$ ，有 3 个线性无关的解．（I）证明方程组系数矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的秩 $\displaystyle r(\mathbf{A})=2$ ；（II）求 $\displaystyle a, b$ 的值及方程组的通解。
21解答题设3阶实对称矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的各行元素之和均为3。向量 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=(-1,2,-1)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\alpha}_{2}=(0,-1,1)^{\mathrm{T}}$ 是线性方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的两个解。（I）求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征值与特征向量；（II）求正交矩阵 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 和对角矩阵 $\displaystyle \mathbf{\Lambda}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{Q}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{Q}=\mathbf{\Lambda}$ 。
22解答题设随机变量 $\displaystyle X$ 的概率密度为 $\displaystyle f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}, & -1
23解答题设总体 $\displaystyle X$ 的概率密度为$$ f(x ; \theta)= \begin{cases}\theta, & 0\lt x\lt 1, \\ 1-\theta, & 1 \leqslant x\lt 2, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$$ 其中 $\displaystyle \theta$ 是未知参数 $\displaystyle (0\lt\theta\lt 1) . X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $\displaystyle X$ 的简单随机样本，记 $\displaystyle N$ 为样本值 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 中小于 1 的个数．求 $\displaystyle \theta$ 的最大似然估计．