2006年 数学三 真题

共23题

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#题型题目
1填空题$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{(-1)^{n}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
2填空题设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=2$ 的某邻域内可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{f(x)}, f(2)=1$ ，则 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(2)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
3填空题设函数 $\displaystyle f(u)$ 可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，则 $\displaystyle z=f\left(4 x^{2}-y^{2}\right)$ 在点 $\displaystyle (1,2)$ 处的全微分 $\displaystyle \left.\mathrm{d} z\right|_{(1,2)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
4填空题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right), \mathbf{E}$ 为 2 阶单位矩阵，矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ 满足 $\displaystyle \mathbf{B} \mathbf{A}=\mathbf{B}+2 \mathbf{E}$ ，则 $\displaystyle |\mathbf{B}|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
5填空题设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，且均服从区间 $\displaystyle [0,3]$ 上的均匀分布，则 $\displaystyle P\{\max \{X, Y\} \leqslant 1\}=$$\displaystyle \_\_\_\_$。
6填空题设总体 $\displaystyle X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-|x|}(-\infty\lt x\lt+\infty), X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为总体 $\displaystyle X$ 的简单随机样本，其样本方差为 $\displaystyle S^{2}$ ，则 $\displaystyle E\left(S^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
7选择题设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 具有二阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)\gt 0, f^{\prime \prime}(x)\gt 0, \Delta x$ 为自变量 $\displaystyle x$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处的增量，$\displaystyle \Delta y$与 $\displaystyle \mathrm{d} y$ 分别为 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处对应的增量与微分，若 $\displaystyle \Delta x\gt 0$ ，则（ ）
A$\displaystyle 0\lt\mathrm{d} y\lt\Delta y$ ．
B$\displaystyle 0\lt\Delta y\lt\mathrm{d} y$ ．
C$\displaystyle \Delta y\lt\mathrm{d} y\lt 0$ ．
D$\displaystyle \mathrm{d} y\lt\Delta y\lt 0$ ．
8选择题设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(h^{2}\right)}{h^{2}}=1$ ，则（ ）
A$\displaystyle f(0)=0$ 且 $\displaystyle f_{-}^{\prime}(0)$ 存在．
B$\displaystyle f(0)=1$ 且 $\displaystyle f_{-}^{\prime}(0)$ 存在．
C$\displaystyle f(0)=0$ 且 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(0)$ 存在．
D$\displaystyle f(0)=1$ 且 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(0)$ 存在．
9选择题若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则级数（ ）
A$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 收敛。
B$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 收敛。
C$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} a_{n+1}$ 收敛。
D$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}+a_{n+1}}{2}$ 收敛。
10选择题设非齐次线性微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+P(x) y=Q(x)$ 有两个不同的解 $\displaystyle y_{1}(x), y_{2}(x), C$ 为任意常数，则该方程的通解是（ ）
A$\displaystyle C\left[y_{1}(x)-y_{2}(x)\right]$ ．
B$\displaystyle y_{1}(x)+C\left[y_{1}(x)-y_{2}(x)\right]$ ．
C$\displaystyle C\left[y_{1}(x)+y_{2}(x)\right]$ ．
D$\displaystyle y_{1}(x)+C\left[y_{1}(x)+y_{2}(x)\right]$ ．
11选择题设 $\displaystyle f(x, y)$ 与 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\displaystyle \varphi_{y}^{\prime}(x, y) \neq 0$ ，已知 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $\displaystyle f(x, y)$ 在约束条件 $\displaystyle \varphi(x, y)=0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是（ ）
A若 $\displaystyle f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ ，则 $\displaystyle f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ 。
B若 $\displaystyle f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ ，则 $\displaystyle f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ．
C若 $\displaystyle f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ，则 $\displaystyle f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ 。
D若 $\displaystyle f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ，则 $\displaystyle f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ．
12选择题设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{\alpha}_{s}$ 均为 $\displaystyle n$ 维列向量， $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，下列选项正确的是（）
A若 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性相关，则 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性相关．
B若 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性相关，则 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性无关。
C若 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性无关，则 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性相关．
D若 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性无关，则 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性无关。
13选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵，将 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的第 2 行加到第 1 行得 $\displaystyle \mathbf{B}$ ，再将 $\displaystyle \mathbf{B}$ 的第 1 列的－ 1 倍加到第 2 列得 $\displaystyle \mathbf{C}$ ，记 $\displaystyle \mathbf{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle (\quad)$
A$\displaystyle \mathbf{C}=\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}$ ．
B$\displaystyle \mathbf{C}=\mathbf{P} \mathbf{A} \mathbf{P}^{-1}$ ．
C$\displaystyle \mathbf{C}=\mathbf{P}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{P}$ ．
D$\displaystyle \mathbf{C}=\mathbf{P} \mathbf{A} \mathbf{P}^{\mathrm{T}}$ ．
14选择题设随机变量 $\displaystyle X$ 服从正态分布 $\displaystyle N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right)$ ，随机变量 $\displaystyle Y$ 服从正态分布 $\displaystyle N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$ ，且$$ P\left\{\left|X-\mu_{1}\right|\lt 1\right\}\gt P\left\{\left|Y-\mu_{2}\right|\lt 1\right\},$$ 则必有
A$\displaystyle \sigma_{1}\lt\sigma_{2}$ ．
B$\displaystyle \sigma_{1}\gt\sigma_{2}$ ．
C$\displaystyle \mu_{1}\lt\mu_{2}$ ．
D$\displaystyle \mu_{1}\gt\mu_{2}$.
15解答题设 $\displaystyle f(x, y)=\frac{y}{1+x y}-\frac{1-y \sin \frac{\pi x}{y}}{\arctan x}, x\gt 0, y\gt 0$ ．求：（ I ）$\displaystyle g(x)=\lim _{y \rightarrow+\infty} f(x, y)$ ；（ II ） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} g(x)$ ．
16解答题计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{y^{2}-x y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle y=x, y=1, x=0$ 所围成的平面区域。
17解答题证明：当 $\displaystyle 0\lt a\lt b\lt\pi$ 时，$\displaystyle b \sin b+2 \cos b+\pi b\gt a \sin a+2 \cos a+\pi a$ ．
18解答题在 $\displaystyle x O y$ 坐标平面上，连续曲线 $\displaystyle L$ 过点 $\displaystyle M(1,0)$ ，其上任意点 $\displaystyle P(x, y)(x \neq 0)$ 处的切线斜率与直线 $\displaystyle O P$ 的斜率之差等于 $\displaystyle a x$（常数 $\displaystyle a\gt 0$ ）。（I）求 $\displaystyle L$ 的方程；（II）当 $\displaystyle L$ 与直线 $\displaystyle y=a x$ 所围成平面图形的面积为 $\displaystyle \frac{8}{3}$ 时，确定 $\displaystyle a$ 的值．
19解答题求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n+1}}{n(2 n-1)}$ 的收敛域及和函数 $\displaystyle S(x)$ 。
20解答题设4维向量组 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=(1+a, 1,1,1)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\alpha}_{2}=(2,2+a, 2,2)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\alpha}_{3}=(3,3,3+a, 3)^{\mathrm{T}}$ ， $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{4}=(4,4,4,4+a)^{\mathrm{T}}$ ，问 $\displaystyle a$ 为何值时， $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{4}$ 线性相关？当 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{4}$ 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。
21解答题设 3 阶实对称矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的各行元素之和均为 3 ，向量 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=(-1,2,-1)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\alpha}_{2}=(0,-1,1)^{\mathrm{T}}$ 是 线性方程组 $\displaystyle \mathbf{A x}=\mathbf{0}$ 的两个解．（I）求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征值与特征向量；（II）求正交矩阵 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 和对角矩阵 $\displaystyle \mathbf{\lambda}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{Q}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{Q}=\mathbf{\lambda}$ ；（III）求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 及 $\displaystyle \left(\mathbf{A}-\frac{3}{2} \mathbf{E}\right)^{6}$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{E}$ 为 3 阶单位矩阵。
22解答题设随机变量 $\displaystyle X$ 的概率密度为$$ f_{X}(x)= \begin{cases}\frac{1}{2}, & -1\lt x\lt 0, \\ \frac{1}{4}, & 0 \leqslant x\lt 2 . \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}$$ 令 $\displaystyle Y=X^{2}, F(x, y)$ 为二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的分布函数。求：（I）$\displaystyle Y$ 的概率密度 $\displaystyle f_{Y}(y)$ ；（ II） $\displaystyle \operatorname{Cov}(X, Y)$ ；（III）$\displaystyle F\left(-\frac{1}{2}, 4\right)$ ．
23解答题设总体 $\displaystyle X$ 的概率密度为$$ f(x ; \theta)= \begin{cases}\theta, & 0\lt x\lt 1, \\ 1-\theta, & 1 \leqslant x\lt 2, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$$ 其中 $\displaystyle \theta$ 是未知参数 $\displaystyle (0\lt\theta\lt 1) \cdot X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $\displaystyle X$ 的简单随机样本，记 $\displaystyle N$ 为样本值 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 中小于 1 的个数。求：（ I ）$\displaystyle \theta$ 的矩估计；（ II ）$\displaystyle \theta$ 的最大似然估计．