2006年 数学二 真题

共23题

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#题型题目
1填空题曲线 $\displaystyle y=\frac{x+4 \sin x}{5 x-2 \cos x}$ 的水平渐近线方程为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
2填空题设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x^{3}} \int_{0}^{x} \sin \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t, & x \neq 0, \\ a, & x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，则 $\displaystyle a=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ .
3填空题反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{~d} x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
4填空题微分方程 $\displaystyle y^{\prime}=\frac{y(1-x)}{x}$ 的通解是 $\displaystyle \_\_\_\_$。
5填空题设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle y=1-x \mathrm{e}^{y}$ 确定，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
6填空题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right), \mathbf{E}$ 为 2 阶单位矩阵，矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ 满足 $\displaystyle \mathbf{B} \mathbf{A}=\mathbf{B}+2 \mathbf{E}$ ，则 $\displaystyle |\mathbf{B}|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
7选择题设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 具有二阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)\gt 0, f^{\prime \prime}(x)\gt 0, \Delta x$ 为自变量 $\displaystyle x$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处的增量， $\displaystyle \Delta y$ 与 $\displaystyle \mathrm{d} y$ 分别为 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处对应的增量与微分，若 $\displaystyle \Delta x\gt 0$ ，则（）
A$\displaystyle 0\lt\mathrm{d} y\lt\Delta y$ ．
B$\displaystyle 0\lt\Delta y\lt\mathrm{d} y$ ．
C$\displaystyle \Delta y\lt\mathrm{d} y\lt 0$ ．
D$\displaystyle \mathrm{d} y\lt\Delta y\lt 0$ ．
8选择题设 $\displaystyle f(x)$ 是奇函数，除 $\displaystyle x=0$ 外处处连续，$\displaystyle x=0$ 是其第一类间断点，则 $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是（ ）
A连续的奇函数．
B连续的偶函数．
C在 $\displaystyle x=0$ 间断的奇函数．
D在 $\displaystyle x=0$ 间断的偶函数．
9选择题设函数 $\displaystyle g(x)$ 可微，$\displaystyle h(x)=\mathrm{e}^{1+g(x)}, h^{\prime}(1)=1, g^{\prime}(1)=2$ ，则 $\displaystyle g(1)$ 等于（ ）
A$\displaystyle \ln 3-1$ ．
B$\displaystyle -\ln 3-1$ ．
C$\displaystyle -\ln 2-1$ ．
D$\displaystyle \ln 2-1$ ．
10选择题函数 $\displaystyle y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{-2 x}+x \mathrm{e}^{x}$ 满足的一个微分方程是（）
A$\displaystyle y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x \mathrm{e}^{x}$ ．
B$\displaystyle y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 \mathrm{e}^{x}$ ．
C$\displaystyle y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x \mathrm{e}^{x}$ ．
D$\displaystyle y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 \mathrm{e}^{x}$ ．
11选择题设 $\displaystyle f(x, y)$ 为连续函数，则 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 等于（ ）
A$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
B$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
C$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
D$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$.
12选择题设 $\displaystyle f(x, y)$ 与 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\displaystyle \varphi_{y}^{\prime}(x, y) \neq 0$ 。已知 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $\displaystyle f(x, y)$ 在约束条件 $\displaystyle \varphi(x, y) =0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是（ ）
A若 $\displaystyle f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ ，则 $\displaystyle f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ ．
B若 $\displaystyle f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ ，则 $\displaystyle f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ．
C若 $\displaystyle f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ，则 $\displaystyle f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ ．
D若 $\displaystyle f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ，则 $\displaystyle f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ．
13选择题设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{\alpha}_{s}$ 均为 $\displaystyle n$ 维列向量， $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，下列选项正确的是（）
A若 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性相关，则 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性相关。
B若 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性相关，则 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性无关。
C若 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性无关，则 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性相关。
D若 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性无关，则 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{s}$ 线性无关。
14选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵，将 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的第 2 行加到第 1 行得 $\displaystyle \mathbf{B}$ ，再将 $\displaystyle \mathbf{B}$ 的第 1 列的－ 1 倍加到第 2 列得 $\displaystyle \mathbf{C}$ ，记 $\displaystyle \mathbf{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle (\quad)$
A$\displaystyle \mathbf{C}=\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}$ ．
B$\displaystyle \mathbf{C}=\mathbf{P} \mathbf{A} \mathbf{P}^{-1}$ ．
C$\displaystyle \mathbf{C}=\mathbf{P}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{P}$ ．
D$\displaystyle \mathbf{C}=\mathbf{P} \mathbf{A} \mathbf{P}^{\mathrm{T}}$ ．
15解答题试确定常数 $\displaystyle A, B, C$ 的值，使得 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}\left(1+B x+C x^{2}\right)=1+A x+o\left(x^{3}\right)$ ，其中 $\displaystyle o\left(x^{3}\right)$ 是当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时比 $\displaystyle x^{3}$ 高阶的无穷小量。
16解答题求 $\displaystyle \int \frac{\arcsin \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ 。
17解答题设区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0\right\}$ ，计算二重积分 $\displaystyle I=\iint_{D} \frac{1+x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
18解答题设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle 0\lt x_{1}\lt\pi, x_{n+1}=\sin x_{n}(n=1,2, \cdots)$ ．（I）证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求该极限；（II）计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right)^{\frac{1}{x_{n}^{2}}}$ ．
19解答题证明：当 $\displaystyle 0\lt a\lt b\lt\pi$ 时，$\displaystyle b \sin b+2 \cos b+\pi b\gt a \sin a+2 \cos a+\pi a$ ．
20解答题设函数 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $\displaystyle z=f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ 满足等式 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ ．（I）验证 $\displaystyle f^{\prime \prime}(u)+\frac{f^{\prime}(u)}{u}=0$ ；（II）若 $\displaystyle f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$ ，求函数 $\displaystyle f(u)$ 的表达式。
21解答题已知曲线 $\displaystyle L$ 的方程为 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=t^{2}+1, \\ y=4 t-t^{2},\end{array}(t \geqslant 0)\right.$ ．（I）讨论 $\displaystyle L$ 的凹凸性；（II）过点 $\displaystyle (-1,0)$ 引 $\displaystyle L$ 的切线，求切点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，并写出切线的方程；（III）求此切线与 $\displaystyle L$（对应于 $\displaystyle x \leqslant x_{0}$ 的部分）及 $\displaystyle x$ 轴所围成的平面图形的面积。
22解答题已知非齐次线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1, \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1, \\ a x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+b x_{4}=1\end{array}\right.$ ，有三个线性无关的解。（I）证明方程组系数矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的秩 $\displaystyle r(\mathbf{A})=2$ ；（II）求 $\displaystyle a, b$ 的值及方程组的通解．
23解答题设 3 阶实对称矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的各行元素之和均为 3 ，向量 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=(-1,2,-1)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\alpha}_{2}=(0,-1,1)^{\mathrm{T}}$ 是线性方程组 $\displaystyle \mathbf{A x}=\mathbf{0}$ 的两个解。（ I ）求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征值与特征向量；（II）求正交矩阵 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 和对角矩阵 $\displaystyle \mathbf{\Lambda}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{Q}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{Q}=\mathbf{\Lambda}$ ．