2007年 数学一 真题

共23题

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#题型题目
1选择题当 $\displaystyle x \rightarrow 0^{+}$时，与 $\displaystyle \sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
A$\displaystyle 1-\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$ ．
B$\displaystyle \ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$ ．
C$\displaystyle \sqrt{1+\sqrt{x}}-1$ ．
D$\displaystyle 1-\cos \sqrt{x}$ ．
2选择题曲线 $\displaystyle y=\frac{1}{x}+\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$ 渐近线的条数为 $\displaystyle ($
A0 ．
B1 ．
C2．
D3．
3选择题如图，连续函数 $\displaystyle y=f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-3,-2],[2,3]$ 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 $\displaystyle [-2,0],[0,2]$ 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周．设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则下列结论正确的是（
A$\displaystyle F(3)=-\frac{3}{4} F(-2)$ 。$\displaystyle (\mathrm{B}) F(3)=\frac{5}{4} F(2)$ ．
B$\displaystyle F(-3)=\frac{3}{4} F(2)$ ．
C$\displaystyle F(-3)=-\frac{5}{4} F(-2)$ ．
4选择题设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，下列命题错误的是
A若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $\displaystyle f(0)=0$ ．
B若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，则 $\displaystyle f(0)=0$ ．
C若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在。
D若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在，则 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在．
5选择题设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上具有二阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，令 $\displaystyle u_{n}=f(n)(n=1,2, \cdots)$ ，则下列结论正确的是
A若 $\displaystyle u_{1}\gt u_{2}$ ，则 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 必收敛。
B若 $\displaystyle u_{1}\gt u_{2}$ ，则 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 必发散．
C若 $\displaystyle u_{1}\lt u_{2}$ ，则 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 必收敛。
D若 $\displaystyle u_{1}\lt u_{2}$ ，则 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 必发散．
6选择题设曲线 $\displaystyle L: f(x, y)=1$（ $\displaystyle f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数）过第 II 象限内的点 $\displaystyle M$ 和第IV象限内的点 $\displaystyle N, \Gamma$ 为 $\displaystyle L$ 上从点 $\displaystyle M$ 到点 $\displaystyle N$ 的一段弧，则下列积分小于零的是
A$\displaystyle \int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
B$\displaystyle \int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
C$\displaystyle \int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} s$ ．
D$\displaystyle \int_{\Gamma} f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+f_{y}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y$ ．
7选择题设向量组 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 线性无关，则下列向量组线性相关的是
A$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}-\mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{2}-\mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{3}-\mathbf{\alpha}_{1}$ ．
B$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{2}+\mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{3}+\mathbf{\alpha}_{1}$.
C$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}-2 \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{2}-2 \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{3}-2 \mathbf{\alpha}_{1}$ ．
D$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}+2 \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{2}+2 \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{3}+2 \mathbf{\alpha}_{1}$ ．
8选择题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right), \mathbf{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \mathbf{A}$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}$
A合同，且相似。
B合同，但不相似。
C不合同，但相似。
D既不合同，也不相似。
9填空题某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 $\displaystyle p(0\lt p\lt 1)$ ，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）（A） $\displaystyle 3 p(1-p)^{2}$ 。（B） $\displaystyle 6 p(1-p)^{2}$ ．（C） $\displaystyle 3 p^{2}(1-p)^{2}$ ．（D） $\displaystyle 6 p^{2}(1-p)^{2}$ ．
10填空题设随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 服从二维正态分布，且 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 不相关，$\displaystyle f_{X}(x), f_{Y}(y)$ 分别表示 $\displaystyle X, Y$ 的概率密度，则在 $\displaystyle Y=y$ 的条件下，$\displaystyle X$ 的条件概率密度 $\displaystyle f_{X \mid Y}(x \mid y)$ 为（ ）（A）$\displaystyle f_{X}(x)$ ．（B）$\displaystyle f_{Y}(y)$ ．$\displaystyle (\mathrm{C}) f_{X}(x) f_{Y}(y)$.（D）$\displaystyle \frac{f_{X}(x)}{f_{Y}(y)}$
11填空题$\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题设 $\displaystyle f(u, v)$ 为二元可微函数，$\displaystyle z=f\left(x^{y}, y^{x}\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
13填空题二阶常系数非齐次线性微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=2 \mathrm{e}^{2 x}$ 的通解为 $\displaystyle y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题设曲面 $\displaystyle \Sigma:|x|+|y|+|z|=1$ ，则 $\displaystyle \oiint_{\Sigma}(x+|y|) \mathrm{d} S=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
15解答题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \mathbf{A}^{3}$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
16解答题在区间 $\displaystyle (0,1)$ 中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 的概率为 $\displaystyle \_\_\_\_$
17解答题求函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}+2 y^{2}-x^{2} y^{2}$ 在区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4, y \geqslant 0\right\}$ 上的最大值和最小值．
18解答题计算曲面积分 $\displaystyle I=\iint_{\Sigma} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为曲面 $\displaystyle z=1-x^{2}-\frac{y^{2}}{4}(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的上侧．
19解答题设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内具有二阶导数且存在相等的最大值，$\displaystyle f(a)=g(a)$ ， $\displaystyle f(b)=g(b)$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=g^{\prime \prime}(\xi)$ ．
20解答题设幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内收敛，其和函数 $\displaystyle y(x)$ 满足 $$ y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}-4 y=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1 .$$ （I）证明 $\displaystyle a_{n+2}=\frac{2}{n+1} a_{n}, n=1,2, \cdots$ ；（II）求 $\displaystyle y(x)$ 的表达式。
21解答题设线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}=0, \tag{1}\\ x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=0, \\ x_{1}+4 x_{2}+a^{2} x_{3}=0 \end{array}\right.$$ 与方程 $$ \begin{equation*} x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=a-1 \tag{2} \end{equation*}$$ 有公共解，求 $\displaystyle a$ 的值及所有公共解．
22解答题设 3 阶实对称矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=-2$ ，且 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=(1,-1,1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的属于 $\displaystyle \lambda_{1}$ 的一个特征向量。记 $\displaystyle \mathbf{B}=\mathbf{A}^{5}-4 \mathbf{A}^{3}+\mathbf{E}$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{E}$ 为 3 阶单位矩阵。（I）验证 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}$ 是矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ 的特征向量，并求 $\displaystyle \mathbf{B}$ 的全部特征值与特征向量；（II）求矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ ．
23解答题设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度为$$ f(x, y)= \begin{cases}2-x-y, & 0\lt x\lt 1,0\lt y\lt 1, ~ \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}$$ （I）求 $\displaystyle P\{X\gt 2 Y\}$ ；（II）求 $\displaystyle Z=X+Y$ 的概率密度 $\displaystyle f_{Z}(z)$ ．