2007年 数学三 真题

共23题

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#题型题目
1选择题当 $\displaystyle x \rightarrow 0^{+}$时，与 $\displaystyle \sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
A$\displaystyle 1-\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$ ．
B$\displaystyle \ln (1+\sqrt{x})$ ．
C$\displaystyle \sqrt{1+\sqrt{x}}-1$ ．
D$\displaystyle 1-\cos \sqrt{x}$ ．
2选择题设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，下列命题错误的是
A若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $\displaystyle f(0)=0$ ．
B若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，则 $\displaystyle f(0)=0$ ．
C若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在．
D若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在，则 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在。
3选择题如图，连续函数 $\displaystyle y=f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-3,-2],[2,3]$ 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 $\displaystyle [-2,0],[0,2]$ 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周．设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则下列结论正确的是
A$\displaystyle F(3)=-\frac{3}{4} F(-2)$ ．$\displaystyle (\mathrm{B}) F(3)=\frac{5}{4} F(2)$ ．
B$\displaystyle F(-3)=\frac{3}{4} F(2)$ 。
C$\displaystyle F(-3)=-\frac{5}{4} F(-2)$ ．
4选择题设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 连续，则二次积分 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \mathrm{d} x \int_{\sin x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y$ 等于（
A$\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\pi+\arcsin y}^{\pi} f(x, y) \mathrm{d} x$.
B$\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\pi-\arcsin y}^{\pi} f(x, y) \mathrm{d} x$.
C$\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi+\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$.
D$\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi-\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$.
5选择题设某商品的需求函数为 $\displaystyle Q=160-2 p$ ，其中 $\displaystyle Q, p$ 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1 ，则商品的价格是（
A10 ．
B20 ．
C30 ．
D40 ．
6选择题曲线 $\displaystyle y=\frac{1}{x}+\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$ 渐近线的条数为 $\displaystyle ($ ）
A0 ．
B1 ．
C2 。
D3．
7选择题设向量组 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 线性无关，则下列向量组线性相关的是
A$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}-\mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{2}-\mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{3}-\mathbf{\alpha}_{1}$ ．
B$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{2}+\mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{3}+\mathbf{\alpha}_{1}$.
C$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}-2 \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{2}-2 \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{3}-2 \mathbf{\alpha}_{1}$ ．
D$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}+2 \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{2}+2 \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{3}+2 \mathbf{\alpha}_{1}$ ．
8选择题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right), \mathbf{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \mathbf{A}$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}$
A合同且相似。
B合同，但不相似。
C不合同，但相似。
D既不合同，也不相似。
9填空题某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 $\displaystyle p(0\lt p\lt 1)$ ，则此人第4次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 （A） $\displaystyle 3 p(1-p)^{2}$ ．（B） $\displaystyle 6 p(1-p)^{2}$ ．（C） $\displaystyle 3 p^{2}(1-p)^{2}$ ．（D） $\displaystyle 6 p^{2}(1-p)^{2}$ ．
10填空题设随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 服从二维正态分布，且 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 不相关，$\displaystyle f_{X}(x), f_{Y}(y)$ 分别表示 $\displaystyle X, Y$ 的概率密度，则在 $\displaystyle Y=y$ 的条件下，$\displaystyle X$ 的条件概率密度 $\displaystyle f_{X 1 Y}(x \mid y)$ 为 （A）$\displaystyle f_{X}(x)$ ．（B）$\displaystyle f_{Y}(y)$ ．$\displaystyle (\mathrm{C}) f_{X}(x) f_{Y}(y)$ ．（D）$\displaystyle \frac{f_{X}(x)}{f_{Y}(y)}$
11填空题$\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}+x^{2}+1}{2^{x}+x^{3}}(\sin x+\cos x)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题设函数 $\displaystyle y=\frac{1}{2 x+3}$ ，则 $\displaystyle y^{(n)}(0)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题设 $\displaystyle f(u, v)$ 是二元可微函数，$\displaystyle z=f\left(\frac{y}{x}, \frac{x}{y}\right)$ ，则 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}-y \frac{\partial z}{\partial y}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y}{x}-\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}\right)^{3}$ 满足 $\displaystyle \left.y\right|_{x=1}=1$ 的特解为 $\displaystyle y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
15解答题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \mathbf{A}^{3}$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
16解答题在区间 $\displaystyle (0,1)$ 中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 的概率为 $\displaystyle \_\_\_\_$
17解答题设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle y \ln y-x+y=0$ 确定，试判断曲线 $\displaystyle y=y(x)$ 在点 $\displaystyle (1,1)$ 附近的凹凸性。
18解答题设二元函数 $$ f(x, y)= \begin{cases}x^{2}, & |x|+|y| \leqslant 1, \\ \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & 1\lt|x|+|y| \leqslant 2,\end{cases}$$ 计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y)| | x|+|y| \leqslant 2\}$ 。
19解答题设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导且存在相等的最大值，又 $\displaystyle f(a)= g(a), f(b)=g(b)$ 。证明：（ I ）存在 $\displaystyle \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\eta)=g(\eta)$ ；（II）存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=g^{\prime \prime}(\xi)$ 。
20解答题将函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-3 x-4}$ 展开成 $\displaystyle x-1$ 的幂级数，并指出其收敛区间。
21解答题设线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}=0, \tag{1}\\ x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=0, \\ x_{1}+4 x_{2}+a^{2} x_{3}=0 \end{array}\right.$$ 与方程组 $$ \begin{equation*} x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=a-1 \tag{2} \end{equation*}$$ 有公共解，求 $\displaystyle a$ 的值及所有公共解．
22解答题设 3 阶实对称矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=-2$ ，且 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=(1,-1,1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的属于 $\displaystyle \lambda_{1}$的一个特征向量。记 $\displaystyle \mathbf{B}=\mathbf{A}^{5}-4 \mathbf{A}^{3}+\mathbf{E}$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{E}$ 为 3 阶单位矩阵。（I）验证 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}$ 是矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ 的特征向量，并求 $\displaystyle \mathbf{B}$ 的全部特征值与特征向量；（II）求矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ 。
23解答题设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度为$$ f(x, y)= \begin{cases}2-x-y, & 0\lt x\lt 1,0\lt y\lt 1, ~ \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}$$ （I）求 $\displaystyle P\{X\gt 2 Y\}$ ；（II）求 $\displaystyle Z=X+Y$ 的概率密度 $\displaystyle f_{Z}(z)$ ．