2007年 数学二 真题

共23题

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#题型题目
1选择题当 $\displaystyle x \rightarrow 0^{+}$时，与 $\displaystyle \sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
A$\displaystyle 1-\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$ ．
B$\displaystyle \ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$ ．
C$\displaystyle \sqrt{1+\sqrt{x}}-1$ ．
D$\displaystyle 1-\cos \sqrt{x}$ ．
2选择题函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}+\mathrm{e}\right) \tan x}{x\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-\mathrm{e}\right)}$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的第一类间断点是 $\displaystyle x=$
A0．
B1 ．
C$\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ ．
D$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
3选择题如图，连续函数 $\displaystyle y=f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-3,-2],[2,3]$ 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 $\displaystyle [-2,0],[0,2]$ 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周．设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则下列结论正确的是
A$\displaystyle F(3)=-\frac{3}{4} F(-2)$ ．$\displaystyle (\mathrm{B}) F(3)=\frac{5}{4} F(2)$ ．
B$\displaystyle F(-3)=\frac{3}{4} F(2)$ 。
C$\displaystyle F(-3)=-\frac{5}{4} F(-2)$ ．
4选择题设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，下列命题错误的是
A若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $\displaystyle f(0)=0$ ．
B若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，则 $\displaystyle f(0)=0$ ．
C若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在。
D若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在，则 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在。
5选择题曲线 $\displaystyle y=\frac{1}{x}+\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$ 渐近线的条数为
A0 ．
B1 ．
C2．
D3．
6选择题设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，令 $\displaystyle u_{n}=f(n)(n=1,2, \cdots)$ ，则下列结论正确的是（
A若 $\displaystyle u_{1}\gt u_{2}$ ，则 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 必收敛。
B若 $\displaystyle u_{1}\gt u_{2}$ ，则 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 必发散。
C若 $\displaystyle u_{1}\lt u_{2}$ ，则 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 必收敛。
D若 $\displaystyle u_{1}\lt u_{2}$ ，则 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 必发散。
7选择题二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微的一个充分条件是
A$\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$ ．
B$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}=0$ ，且 $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}=0$ ．
C$\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0$ ．
D$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[f_{x}^{\prime}(x, 0)-f_{x}^{\prime}(0,0)\right]=0$ ，且 $\lim _{y \rightarrow 0}\left[f_{y}^{\prime}(0, y)-f_{y}^{\prime}(
8选择题设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 连续，则二次积分 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \mathrm{d} x \int_{\sin x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y$ 等于（ ）
A$\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\pi+\arcsin y}^{\pi} f(x, y) \mathrm{d} x$.
B$\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\pi-\arcsin y}^{\pi} f(x, y) \mathrm{d} x$.
C$\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi+\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$.
D$\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi-\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$.
9填空题设向量组 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）（A） $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}-\mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{2}-\mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{3}-\mathbf{\alpha}_{1}$.（B） $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{2}+\mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{3}+\mathbf{\alpha}_{1}$.（C） $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}-2 \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{2}-2 \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{3}-2 \mathbf{\alpha}_{1}$ ．（D） $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}+2 \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{2}+2 \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{3}+2 \mathbf{\alpha}_{1}$ ．
10填空题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right), \mathbf{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \mathbf{A}$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}(\quad)$ （A）合同且相似。 （B）合同，但不相似。 （C）不合同，但相似。 （D）既不合同，也不
11填空题$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-\sin x}{x^{3}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\cos t+\cos ^{2} t \\ y=1+\sin t\end{array}\right.$ ，上对应于 $\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$ 的点处的法线斜率为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题设函数 $\displaystyle y=\frac{1}{2 x+3}$ ，则 $\displaystyle y^{(n)}(0)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题二阶常系数非齐次线性微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=2 \mathrm{e}^{2 x}$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
15解答题设 $\displaystyle f(u, v)$ 是二元可微函数，$\displaystyle z=f\left(\frac{y}{x}, \frac{x}{y}\right)$ ，则 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}-y \frac{\partial z}{\partial y}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
16解答题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \mathbf{A}^{3}$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$
17解答题设 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的单调、可导函数，且满足 $$ \int_{0}^{f(x)} f^{-1}(t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{x} t \frac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t} \mathrm{~d} t$$ 其中 $\displaystyle f^{-1}$ 是 $\displaystyle f$ 的反函数，求 $\displaystyle f(x)$ ．
18解答题设 $\displaystyle D$ 是位于曲线 $\displaystyle y=\sqrt{x} a^{-\frac{x}{2 a}}(a\gt 1,0 \leqslant x\lt+\infty)$ 下方、 $\displaystyle x$ 轴上方的无界区域。 （I）求区域 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积 $\displaystyle V(a)$ ；（II）当 $\displaystyle a$ 为何值时，$\displaystyle V(a)$ 最小？并求此最小值。
19解答题求微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}\left(x+y^{\prime 2}\right)=y^{\prime}$ 满足初始条件 $\displaystyle y(1)=y^{\prime}(1)=1$ 的特解。
20解答题已知函数 $\displaystyle f(u)$ 具有二阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=1$ ，函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle y-x \mathrm{e}^{y-1}=1$ 所确定．设 $\displaystyle z=f(\ln y-\sin x)$ ，求 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0},\left.\frac{\mathrm{~d}^{2} z}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{x=0}$ ．
21解答题设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内具有二阶导数且存在相等的最大值，$\displaystyle f(a)= g(a), f(b)=g(b)$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=g^{\prime \prime}(\xi)$ ．
22解答题设二元函数 $$ f(x, y)= \begin{cases}x^{2}, & |x|+|y| \leqslant 1 \\ \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & 1\lt|x|+|y| \leqslant 2\end{cases}$$ 计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y)| | x|+|y| \leqslant 2\}$ ．
23解答题设线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \tag{1}\\ x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=0 \\ x_{1}+4 x_{2}+a^{2} x_{3}=0 \end{array}\right.$$ 与方程组 $$ \begin{equation*} x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=a-1 \tag{2} \end{equation*}$$ 有公共解，求 $\displaystyle a$ 的值及所有公共解．