2008年 数学一 真题

共23题

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#题型题目
1选择题设函数 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x^{2}} \ln (2+t) \mathrm{d} t$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的零点个数为
A0．
B1 ．
C2．
D3．
2选择题函数 $\displaystyle f(x, y)=\arctan \frac{x}{y}$ 在点 $\displaystyle (0,1)$ 处的梯度等于
A$\displaystyle \mathbf{i}$ ．
B$\displaystyle -\mathbf{i}$ ．
C$\displaystyle j．
D$-\mathbf{j}$ ．
3选择题在下列微分方程中，以 $\displaystyle y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \cos 2 x+C_{3} \sin 2 x$（ $\displaystyle C_{1}, C_{2}, C_{3}$ 为任意常数）为通解的是
A$\displaystyle y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$ ．
B$\displaystyle y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$ ．
C$\displaystyle y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$ ．
D$\displaystyle y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0$ ．
4选择题设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内单调有界，$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为数列，下列命题正确的是
A若 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 收敛。
B若 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 单调，则 $\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 收敛。
C若 $\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
D若 $\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 单调，则 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
5选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle n$ 阶非零矩阵， $\displaystyle \mathbf{E}$ 为 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵，若 $\displaystyle \mathbf{A}^{3}=\mathbf{O}$ ，则
A$\displaystyle \mathbf{E}-\mathbf{A}$ 不可逆， $\displaystyle \mathbf{E}+\mathbf{A}$ 不可逆．
B$\displaystyle \mathbf{E}-\mathbf{A}$ 不可逆， $\displaystyle \mathbf{E}+\mathbf{A}$ 可逆．
C$\displaystyle \mathbf{E}-\mathbf{A}$ 可逆， $\displaystyle \mathbf{E}+\mathbf{A}$ 可逆．
D$\displaystyle \mathbf{E}-\mathbf{A}$ 可逆， $\displaystyle \mathbf{E}+\mathbf{A}$ 不可逆．
6选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 $$ (x, y, z) \mathbf{A}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=1$$ 在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的正特征值的个数为 \begin{figure} \includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/f8d414d3-0ab5-44e1-a0cd-219a33783150-67.jpg?height=358&width=604&top_left_y=1491&top_left_x=1372} \captionsetup{labelformat=empty} \caption{
A0 ．
B1．
C2．
D3．
7选择题设随机变量 $\displaystyle X, Y$ 独立同分布，且 $\displaystyle X$ 的分布函数为 $\displaystyle F(x)$ ，则 $\displaystyle Z=\max \{X, Y\}$ 的分布函数为
A$\displaystyle F^{2}(x)$ 。
B$\displaystyle F(x) F(y)$ ．
C$\displaystyle 1-[1-F(x)]^{2}$ ．
D$\displaystyle [1-F(x)][1-F(y)]$ ．
8选择题设随机变量 $\displaystyle X \sim N(0,1), Y \sim N(1,4)$ ，且相关系数 $\displaystyle \rho_{X Y}=1$ ，则 $\displaystyle ($
A$\displaystyle P\{Y=-2 X-1\}=1$ ．
B$\displaystyle P\{Y=2 X-1\}=1$ ．
C$\displaystyle P\{Y=-2 X+1\}=1$ ．
D$\displaystyle P\{Y=2 X+1\}=1$
9填空题微分方程 $\displaystyle x y^{\prime}+y=0$ 满足条件 $\displaystyle y(1)=1$ 的解是 $\displaystyle y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
10填空题曲线 $\displaystyle \sin (x y)+\ln (y-x)=x$ 在点 $\displaystyle (0,1)$ 处的切线方程是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
11填空题已知幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x+2)^{n}$ 在 $\displaystyle x=0$ 处收敛，在 $\displaystyle x=-4$ 处发散，则幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-3)^{n}$ 的收敛域为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题设曲面 $\displaystyle \Sigma$ 是 $\displaystyle z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧，则 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
13填空题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 2 阶矩阵， $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}$ 为线性无关的 2 维列向量， $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{1}=\mathbf{0}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{2}=2 \mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}$ ，则 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的非零特征值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
14填空题设随机变量 $\displaystyle X$ 服从参数为 1 的泊松分布，则 $\displaystyle P\left\{X=E\left(X^{2}\right)\right\}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$
15解答题求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^{4}}$ ．
16解答题计算曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \sin 2 x \mathrm{~d} x+2\left(x^{2}-1\right) y \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是曲线 $\displaystyle y=\sin x$ 上从点 $\displaystyle (0,0)$ 到点 $\displaystyle (\pi, 0)$ 的一段．
17解答题已知曲线 $\displaystyle C:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=0, \\ x+y+3 z=5,\end{array}\right.$ 求曲线 $\displaystyle C$ 上距离 $\displaystyle x O y$ 面最远的点和最近的点．
18解答题设 $\displaystyle f(x)$ 是连续函数，（I）利用定义证明函数 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 可导，且 $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)$ ；（II）当 $\displaystyle f(x)$ 是以 2 为周期的周期函数时，证明 $\displaystyle G(x)=2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-x \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t$ 也是以 2 为周期的周期函数．
19解答题将函数 $\displaystyle f(x)=1-x^{2}(0 \leqslant x \leqslant \pi)$ 展开成余弦级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}$ 的和．
20解答题设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}$ 为 3 维列向量，矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\mathbf{\alpha} \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}}+\mathbf{\beta} \mathbf{\beta}^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}}, \mathbf{\beta}^{\mathrm{T}}$ 分别是 $\displaystyle \mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}$ 的转置。证明：（I）秩 $\displaystyle r(\mathbf{A}) \leqslant 2$ ；（II）若 $\displaystyle \mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}$ 线性相关，则秩 $\displaystyle r(\mathbf{A})\lt 2$ ．
21解答题设 $\displaystyle n$ 元线性方程组 $\displaystyle \mathbf{A x}=\mathbf{b}$ ，其中 $$ \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccccc} 2 a & 1 & & & \\ a^{2} & 2 a & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & a^{2} & 2 a & 1 \\ & & & a^{2} & 2 a \end{array}\right), \quad \mathbf{x}=\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right), \quad \mathbf{b}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right) .$$ （I）证明行列式 $\displaystyle |\mathbf{A}|=(n+1) a^{n}$ ；（II）当 $\displaystyle a$ 为何值时，该方程组有唯一解，并求 $\displaystyle x_{1}$ ；（III）当 $\displaystyle a$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．
22解答题设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，$\displaystyle X$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=i\}=\frac{1}{3}(i=-1,0,1), Y$ 的概率密度为 $\displaystyle f_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0 \leqslant y\lt 1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 记 $\displaystyle Z=X+Y$ ．（I）求 $\displaystyle P\left\{\left.Z \leqslant \frac{1}{2} \right\rvert\, X=0\right\}$ ；（II）求 $\displaystyle Z$ 的概率密度 $\displaystyle f_{Z}(z)$ ．
23解答题设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是总体 $\displaystyle N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，记 $$ \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, \quad S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}, \quad T=\bar{X}^{2}-\frac{1}{n} S^{2} .$$ （I）证明 $\displaystyle T$ 是 $\displaystyle \mu^{2}$ 的无偏估计量；（II）当 $\displaystyle \mu=0, \sigma=1$ 时，求 $\displaystyle D(T)$ 。 \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^{2}}{n}\right)$\displaystyle ，得 $E\left(\bar{X}^{2}\right)=D(\bar{X})+[E(\bar{X})]^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n}+\mu^{2}$ ．再由 $\displaystyle E\left(S^{2}\right)=\sigma^{2}$ ，得 $\displaystyle E(T)=E\left(\bar{X}^{2}\right)-\frac{1}{n} E\left(S^{2}\right)=\frac{\sigma^{2}}{n}+\mu^{2}-\frac{\sigma^{2}}{n}=\mu^{2}$ ．于是 $\displaystyle T=\bar{X}^{2}-\frac{1}{n} S^{2}$ 为 $\displaystyle \mu^{2}$ 的无偏估计量．（II）当 $\displaystyle \mu=0, \sigma=1$ 时， $\displaystyle \bar{X} \sim N\left(0, \frac{1}{n}\right)$ ，标准化得 $\displaystyle \sqrt{n} \bar{X} \sim N(0,1)$ ，于是 $\displaystyle n \bar{X}^{2} \sim \chi^{2}(1)$ ．又 $\displaystyle \frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}=(n-1) S^{2} \sim \chi^{2}(n-1)$ ，且 $\displaystyle \bar{X}$ 与 $\displaystyle S^{2}$ 独立，得 $$ \begin{aligned} D(T) & =D\left(\bar{X}^{2}\right)+\frac{1}{n^{2}} D\left(S^{2}\right)=\frac{1}{n^{2}} D\left(n \bar{X}^{2}\right)+\frac{1}{n^{2}(n-1)^{2}} D\left[(n-1) S^{2}\right] \\ & =\frac{2}{n^{2}}+\frac{2(n-1)}{n^{2}(n-1)^{2}}=\frac{2}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}(n-1)}=\frac{2}{n(n-1)} \end{aligned}$$$