2008年 数学三 真题

共23题

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#题型题目
1选择题设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，则 $\displaystyle x=0$ 是函数 $\displaystyle g(x)=\frac{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{x}$ 的（ ）
A跳跃间断点。
B可去间断点。
C无穷间断点．
D振荡间断点。
2选择题如图，曲线段的方程为 $\displaystyle y=f(x)$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上有连续的导数，则定积分 $\displaystyle \int_{0}^{a} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 等于（ ）
A曲边梯形 $\displaystyle A B O D$ 的面积．
B梯形 $\displaystyle A B O D$ 的面积。
C曲边三角形 $\displaystyle A C D$ 的面积。
D三角形 $\displaystyle A C D$ 的面积。
3选择题已知 $\displaystyle f(x, y)=\mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}+y^{4}}}$ ，则（ ）
A$\displaystyle f_{x}^{\prime}(0,0), f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在．
B$\displaystyle f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在，$\displaystyle f_{y}^{\prime}(0,0)$ 存在．
C$\displaystyle f_{x}^{\prime}(0,0)$ 存在，$\displaystyle f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在。
D$\displaystyle f_{x}^{\prime}(0,0), f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都不存在．
4选择题设函数 $\displaystyle f$ 连续。若 $\displaystyle F(u, v)=\iint_{D_{u v}} \frac{f\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $\displaystyle D_{u v}$ 为图中阴影部分，则 $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u}=(\quad)$
A$\displaystyle v f\left(u^{2}\right)$ ．
B$\displaystyle \frac{v}{u} f\left(u^{2}\right)$ ．
C$\displaystyle v f(u)$ ．
D$\displaystyle \frac{v}{u} f(u)$ 。
5选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle n$ 阶非零矩阵， $\displaystyle \mathbf{E}$ 为 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵，若 $\displaystyle \mathbf{A}^{3}=\mathbf{O}$ ，则（ ）
A$\displaystyle \mathbf{E}-\mathbf{A}$ 不可逆， $\displaystyle \mathbf{E}+\mathbf{A}$ 不可逆．
B$\displaystyle \mathbf{E}-\mathbf{A}$ 不可逆， $\displaystyle \mathbf{E}+\mathbf{A}$ 可逆．
C$\displaystyle \mathbf{E}-\mathbf{A}$ 可逆， $\displaystyle \mathbf{E}+\mathbf{A}$ 可逆．
D$\displaystyle \mathbf{E}-\mathbf{A}$ 可逆， $\displaystyle \mathbf{E}+\mathbf{A}$ 不可逆．
6选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)$ ，则在实数域上与 $\displaystyle \mathbf{A}$ 合同的矩阵为（ ）
A$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}-2 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right)$ ．
B$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right)$ ．
C$\displaystyle \left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$ ．
D$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -2 & 1\end{array}\right)$ ．
7选择题设随机变量 $\displaystyle X, Y$ 独立同分布，且 $\displaystyle X$ 的分布函数为 $\displaystyle F(x)$ ，则 $\displaystyle Z=\max \{X, Y\}$ 的分布函数为（）
A$\displaystyle F^{2}(x)$ 。
B$\displaystyle F(x) F(y)$ ．
C$\displaystyle 1-[1-F(x)]^{2}$ ．
D$\displaystyle [1-F(x)][1-F(y)]$ ．
8选择题设随机变量 $\displaystyle X \sim N(0,1), Y \sim N(1,4)$ ，且相关系数 $\displaystyle \rho_{X Y}=1$ ，则（ ）
A$\displaystyle P\{Y=-2 X-1\}=1$ ．
B$\displaystyle P\{Y=2 X-1\}=1$ ．
C$\displaystyle P\{Y=-2 X+1\}=1$ ．
D$\displaystyle P\{Y=2 X+1\}=1$
9填空题设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+1, & |x| \leqslant c, \\ \frac{2}{|x|}, & |x|\gt c\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，则 $\displaystyle c=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
10填空题设 $\displaystyle f\left(x+\frac{1}{x}\right)=\frac{x+x^{3}}{1+x^{4}}$ ，则 $\displaystyle \int_{2}^{2 \sqrt{2}} f(x) \mathrm{d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ .
11填空题设 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题微分方程 $\displaystyle x y^{\prime}+y=0$ 满足条件 $\displaystyle y(1)=1$ 的解是 $\displaystyle y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题设 3 阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征值为 $\displaystyle 1,2,2, \mathbf{E}$ 为 3 阶单位矩阵，则 $\displaystyle \left|4 \mathbf{A}^{-1}-\mathbf{E}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题设随机变量 $\displaystyle X$ 服从参数为 1 的泊松分布，则 $\displaystyle P\left\{X=E\left(X^{2}\right)\right\}=$ $\displaystyle \_\_\_\$
15解答题计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \ln \frac{\sin x}{x}$ ．
16解答题设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-z=\varphi(x+y+z)$ 所确定的函数，其中 $\displaystyle \varphi$ 具有二阶导数，且 $\displaystyle \varphi^{\prime} \neq-1$ ．（I）求 $\displaystyle \mathrm{d} z$ ；（II）记 $\displaystyle u(x, y)=\frac{1}{x-y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}\right)$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ 。
17解答题计算 $\displaystyle \iint_{D} \max \{x y, 1\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ．
18解答题设 $\displaystyle f(x)$ 是周期为 2 的连续函数．（I）证明对任意的实数 $\displaystyle t$ ，有 $\displaystyle \int_{t}^{t+2} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ ；（II）证明 $\displaystyle G(x)=\int_{0}^{x}\left[2 f(t)-\int_{t}^{t+2} f(s) \mathrm{d} s\right] \mathrm{d} t$ 是周期为 2 的周期函数．
19解答题设银行存款的年利率为 $\displaystyle r=0.05$ ，并依年复利计算。某基金会希望通过存款 $\displaystyle A$ 万元实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，$\displaystyle \cdots$ ，第 $\displaystyle n$ 年提取 $\displaystyle (10+9 n)$ 万元，并能按此规律一直提取下去，问 $\displaystyle A$ 至少应为多少万元？
20解答题设 $\displaystyle n$ 元线性方程组 $\displaystyle \mathbf{A x}=\mathbf{b}$ ，其中 $$ \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccccc} 2 a & 1 & & & & \\ a^{2} & 2 a & 1 & & & \\ & a^{2} & 2 a & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & a^{2} & 2 a & 1 \\ & & & & a^{2} & 2 a \end{array}\right)_{n \times n}, \mathbf{x}=\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right), \mathbf{b}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right) .$$ （I）证明行列式 $\displaystyle |\mathbf{A}|=(n+1) a^{n}$ ；（II）当 $\displaystyle a$ 为何值时，该方程组有唯一解，并求 $\displaystyle x_{1}$ ；（III）当 $\displaystyle a$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。
21解答题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵， $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的分别属于特征值 $\displaystyle -1,1$ 的特征向量，向量 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{3}$ 满足 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{3}= \mathbf{\alpha}_{2}+\mathbf{\alpha}_{3}$.（I）证明 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 线性无关；（II）令 $\displaystyle \mathbf{P}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right)$ ，求 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ ．
22解答题设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，$\displaystyle X$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=i\}=\frac{1}{3}(i=-1,0,1), Y$ 的概率密度为 $\displaystyle f_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0 \leqslant y\lt 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 记 $\displaystyle Z=X+Y$.（I）求 $\displaystyle P\left\{\left.Z \leqslant \frac{1}{2} \right\rvert\, X=0\right\}$ ；（II）求 $\displaystyle Z$ 的概率密度 $\displaystyle f_{Z}(z)$ ．
23解答题设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是总体 $\displaystyle N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本。记 $$ \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, \quad S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}, \quad T=\bar{X}^{2}-\frac{1}{n} S^{2} .$$ （I）（超纲题）证明 $\displaystyle T$ 是 $\displaystyle \mu^{2}$ 的无偏估计量；（无偏估计为超纲概念，可改为＂证明 $\displaystyle E(T)=\mu^{2}$ 。＂）（II）当 $\displaystyle \mu=0, \sigma=1$ 时，求 $\displaystyle D(T)$ ． \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^{2}}{n}\right)$\displaystyle ，得 $E\left(\bar{X}^{2}\right)=D(\bar{X})+[E(\bar{X})]^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n}+\mu^{2}$ ，再由 $\displaystyle E\left(S^{2}\right)=\sigma^{2}$ ，得 $\displaystyle E(T)=E\left(\bar{X}^{2}\right)-\frac{1}{n} E\left(S^{2}\right)=\frac{\sigma^{2}}{n}+\mu^{2}-\frac{\sigma^{2}}{n}=\mu^{2}$ ，于是 $\displaystyle T=\bar{X}^{2}-\frac{1}{n} S^{2}$ 为 $\displaystyle \mu^{2}$ 的无偏估计量．（II）当 $\displaystyle \mu=0, \sigma=1$ 时， $\displaystyle \bar{X} \sim N\left(0, \frac{1}{n}\right)$ ，标准化得 $\displaystyle \sqrt{n} \bar{X} \sim N(0,1)$ ，于是 $\displaystyle n \bar{X}^{2} \sim \chi^{2}(1)$ ，又 $\displaystyle \frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}=(n-1) S^{2} \sim \chi^{2}(n-1)$ ，且 $\displaystyle \bar{X}$ 与 $\displaystyle S^{2}$ 独立，得 $$ \begin{aligned} D(T) & =D\left(\bar{X}^{2}\right)+\frac{1}{n^{2}} D\left(S^{2}\right)=\frac{1}{n^{2}} D\left(n \bar{X}^{2}\right)+\frac{1}{n^{2}(n-1)^{2}} D\left[(n-1) S^{2}\right] \\ & =\frac{2}{n^{2}}+\frac{2(n-1)}{n^{2}(n-1)^{2}}=\frac{2}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}(n-1)}=\frac{2}{n(n-1)} \end{aligned}$$$