| 1 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)=x^{2}(x-1)(x-2)$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的零点个数为 |
| 2 | 选择题 | 如图，曲线段的方程为 $\displaystyle y=f(x)$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上有连续的导数，则定积分 $\displaystyle \int_{0}^{a} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 等于（A曲边梯形 $\displaystyle A B O D$ 的面积． B梯形 $\displaystyle A B O D$ 的面积。 C曲边三角形 $\displaystyle A C D$ 的面积。 D三角形 $\displaystyle A C D$ 的面积． |
| 3 | 选择题 | 在下列微分方程中，以 $\displaystyle y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \cos 2 x+C_{3} \sin 2 x\left(C_{1}, C_{2}, C_{3}\right.$ 为任意常数）为通解的是 （ ）A$\displaystyle y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$ ． B$\displaystyle y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$ ． C$\displaystyle y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$ ． D$\displaystyle y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0$ ． |
| 4 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\ln |x|}{|x-1|} \sin x$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 有A1 个可去间断点， 1 个跳跃间断点． B1 个可去间断点， 1 个无穷间断点． C2 个跳跃间断点。 D2 个无穷间断点。 |
| 5 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内单调有界，$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为数列，下列命题正确的是（A若 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 收敛。 B若 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 单调，则 $\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 收敛。 C若 $\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。 D若 $\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 单调，则 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。 |
| 6 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f$ 连续．若 $\displaystyle F(u, v)=\iint_{D_{u v}} \frac{f\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $\displaystyle D_{u v}$ 为图中阴影部分，则 $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u}=$A$\displaystyle v f\left(u^{2}\right)$ ． B$\displaystyle \frac{v}{u} f\left(u^{2}\right)$ ． C$\displaystyle v f(u)$ ． D$\displaystyle \frac{v}{u} f(u)$ 。 |
| 7 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle n$ 阶非零矩阵， $\displaystyle \mathbf{E}$ 为 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵，若 $\displaystyle \mathbf{A}^{3}=\mathbf{O}$ ，则A$\displaystyle \mathbf{E}-\mathbf{A}$ 不可逆， $\displaystyle \mathbf{E}+\mathbf{A}$ 不可逆． B$\displaystyle \mathbf{E}-\mathbf{A}$ 不可逆， $\displaystyle \mathbf{E}+\mathbf{A}$ 可逆． C$\displaystyle \mathbf{E}-\mathbf{A}$ 可逆， $\displaystyle \mathbf{E}+\mathbf{A}$ 可逆． D$\displaystyle \mathbf{E}-\mathbf{A}$ 可逆， $\displaystyle \mathbf{E}+\mathbf{A}$ 不可逆． |
| 8 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)$ ，则在实数域上与 $\displaystyle \mathbf{A}$ 合同的矩阵为 $\displaystyle ($A$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}-2 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right)$ ． B$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right)$ ． C$\displaystyle \left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$ ． D$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -2 & 1\end{array}\right)$ |
| 9 | 填空题 | 已知函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos [x f(x)]}{\left(\mathrm{e}^{x^{2}}-1\right) f(x)}=1$ ，则 $\displaystyle f(0)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 10 | 填空题 | 微分方程 $\displaystyle \left(y+x^{2} \mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ 的通解是 $\displaystyle y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
□。 |
| 11 | 填空题 | 曲线 $\displaystyle \sin (x y)+\ln (y-x)=x$ 在点 $\displaystyle (0,1)$ 处的切线方程是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 12 | 填空题 | 曲线 $\displaystyle y=(x-5) x^{\frac{2}{3}}$ 的拐点坐标为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 13 | 填空题 | 设 $\displaystyle z=\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{x}{y}}$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,2)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 14 | 填空题 | 设 3 阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征值为 $\displaystyle 2,3, \lambda$ ．若行列式 $\displaystyle |2 \mathbf{A}|=-48$ ，则 $\displaystyle \lambda=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ |
| 15 | 解答题 | 求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^{4}}$ ． |
| 16 | 解答题 | 设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=x(t), \\ y=\int_{0}^{t^{2}} \ln (1+u) \mathrm{d} u\end{array}\right.$ 确定，其中 $\displaystyle x(t)$ 是初值问题$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}-2 t \mathrm{e}^{-x}=0, \\ \left.x\right|_{t=0}=0\end{array}\right.$ 的解，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$. |
| 17 | 解答题 | 计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{2} \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ． |
| 18 | 解答题 | 计算 $\displaystyle \iint_{D} \max \{x y, 1\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ． |
| 19 | 解答题 | 设 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上具有连续导数的单调增加函数，且 $\displaystyle f(0)=1$ ．对任意的 $\displaystyle t \in[0,+\infty)$ ，直线 $\displaystyle x=0, x=t$ ，曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 以及 $\displaystyle x$ 轴所围成的曲边梯形绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周生成一旋转体．若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 $\displaystyle f(x)$ 的表达式． |
| 20 | 解答题 | （I）证明积分中值定理：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则至少存在一点 $\displaystyle \eta \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f(\mathbf{\eta})(b-a)$ ；（II）若函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 具有二阶导数，且满足 $\displaystyle \varphi(2)\gt\varphi(1), \varphi(2)\gt\int_{2}^{3} \varphi(x) \mathrm{d} x$ ，则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(1,3)$ ，使得 $\displaystyle \varphi^{\prime \prime}(\xi)\lt 0$. |
| 21 | 解答题 | 求函数 $\displaystyle u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在约束条件 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 和 $\displaystyle x+y+z=4$ 下的最大值与最小值． |
| 22 | 解答题 | 设 $\displaystyle n$ 元线性方程组 $\displaystyle \mathbf{A x}=\mathbf{b}$ ，其中
$$
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccccc}
2 a & 1 & & & & \\
a^{2} & 2 a & 1 & & & \\
& a^{2} & 2 a & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & a^{2} & 2 a & 1 \\
& & & & a^{2} & 2 a
\end{array}\right)_{n \times n}, \mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right), \mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right) .$$
（I）证明行列式 $\displaystyle |\mathbf{A}|=(n+1) a^{n}$ ；（II）当 $\displaystyle a$ 为何值时，该方程组有唯一解，并求 $\displaystyle x_{1}$ ；（III）当 $\displaystyle a$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。 |
| 23 | 解答题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为3阶矩阵， $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的分别属于特征值 $\displaystyle -1,1$ 的特征向量，向量 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{3}$ 满足 $\displaystyle A\alpha_{3}= {\alpha}_{2}+{\alpha}_{3}$.（I）证明 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 线性无关；（II）令 $\displaystyle \mathbf{P}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right)$ ，求 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ ． |