| 1 | 选择题 | 当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时，$\displaystyle f(x)=x-\sin a x$ 与 $\displaystyle g(x)=x^{2} \ln (1-b x)$ 是等价无穷小量，则A$\displaystyle a=1, b=-\frac{1}{6}$ ． B$\displaystyle a=1, b=\frac{1}{6}$ ． C$\displaystyle a=-1, b=-\frac{1}{6}$ ． D$\displaystyle a=-1, b=\frac{1}{6}$ ． |
| 2 | 选择题 | 如图，正方形 $\displaystyle \{(x, y)||x| \leqslant 1,|y| \leqslant 1\}$ 被其对角线划分为四个区域 $\displaystyle D_{k}(k=1,2,3,4), I_{k}=\iint_{D_{k}} y \cos x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，则 $\displaystyle \max _{1 \leqslant k \leqslant 4}\left\{I_{k}\right\}=$A$\displaystyle I_{1}$ ． B$\displaystyle I_{2}$ ． C$\displaystyle I_{3}$ ． D$\displaystyle I_{4}$ ． |
| 3 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-1,3]$ 上的图形如右图所示，则函数 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 的图形为
 |
| 4 | 选择题 | 设有两个数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则A当 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛。 B当 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 发散。 C当 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}\right|$ 收敛时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} b_{n}^{2}$ 收敛。 D当 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}\right|$ 发散时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} b_{n}^{2}$ 发散。 |
| 5 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 是3维向量空间 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 的一组基，则由基 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \frac{1}{2} \mathbf{\alpha}_{2}, \frac{1}{3} \mathbf{\alpha}_{3}$ 到基 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{2}+\mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{3}+\mathbf{\alpha}_{1}$的过渡矩阵为A$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3\end{array}\right)$ ． B$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right)$ ． C$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$ ． D$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$ ． |
| 6 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 均为 2 阶矩阵， $\displaystyle \mathbf{A}^{*}, \mathbf{B}^{*}$ 分别为 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 的伴随矩阵，若 $\displaystyle |\mathbf{A}|=2,|\mathbf{B}|=3$ ，则分块矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}\overline{\mathbf{O}} & \mathbf{A} \\ \mathbf{B} & \mathbf{O}\end{array}\right)$ 的伴随矩阵为（ ）A$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\mathbf{O} & 3 \mathbf{B}^{*} \\ 2 \mathbf{A}^{*} & \mathbf{O}\end{array}\right)$ ． B$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\mathbf{O} & 2 \mathbf{B}^{*} \\ 3 \mathbf{A}^{*} & \mathbf{O}\end{array}\right)$ ． C$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\mathbf{O} & 3 \mathbf{A}^{*} \\ 2 \mathbf{B}^{*} & \mathbf{O}\end{array}\right)$ ． D$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\mathbf{O} & 2 \mathbf{A}^{*} \\ 3 \mathbf{B}^{*} & \mathbf{O}\end{array}\right)$ ． |
| 7 | 选择题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 的分布函数为 $\displaystyle F(x)=0.3 \Phi(x)+0.7 \Phi\left(\frac{x-1}{2}\right)$ ，其中 $\displaystyle \Phi(x)$ 为标准正态分布的分布函数，则 $\displaystyle E(X)=(\quad)$ |
| 8 | 选择题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，且 $\displaystyle X$ 服从标准正态分布 $\displaystyle N(0,1), Y$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{Y=0\}= P\{Y=1\}=\frac{1}{2}$ ．记 $\displaystyle F_{Z}(z)$ 为随机变量 $\displaystyle Z=X Y$ 的分布函数，则函数 $\displaystyle F_{Z}(z)$ 的间断点个数为（ ） |
| 9 | 填空题 | 设函数 $\displaystyle f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，$\displaystyle z=f(x, x y)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 10 | 填空题 | 若二阶常系数线性齐次微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的通解为 $\displaystyle y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{x}$ ，则非齐次方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=x$ 满足条件 $\displaystyle y(0)=2, y^{\prime}(0)=0$ 的解为 $\displaystyle y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 11 | 填空题 | 已知曲线 $\displaystyle L: y=x^{2}(0 \leqslant x \leqslant \sqrt{2})$ ，则 $\displaystyle \int_{L} x \mathrm{~d} s=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 12 | 填空题 | 设 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1\right\}$ ，则 $\displaystyle \iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 13 | 填空题 | 若3维列向量 $\displaystyle \mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}$ 满足 $\displaystyle \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}} \mathbf{\beta}=2$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 为 $\displaystyle \mathbf{\alpha}$ 的转置，则矩阵 $\displaystyle \mathbf{\beta} \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 的非零特征值为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 14 | 填空题 | 设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{m}$ 为来自二项分布总体 $\displaystyle B(n, p)$ 的简单随机样本， $\displaystyle \bar{X}$ 和 $\displaystyle S^{2}$ 分别为样本均值和样本方差，若 $\displaystyle \bar{X}+k S^{2}$ 为 $\displaystyle n p^{2}$ 的无偏估计量，则 $\displaystyle k=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ |
| 15 | 解答题 | 求二元函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}\left(2+y^{2}\right)+y \ln y$ 的极值． |
| 16 | 解答题 | 设 $\displaystyle a_{n}$ 为曲线 $\displaystyle y=x^{n}$ 与 $\displaystyle y=x^{n+1}(n=1,2, \cdots)$ 所围成区域的面积，记 $\displaystyle S_{1}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, S_{2}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}$ ，求 $\displaystyle S_{1}$ 与 $\displaystyle S_{2}$ 的值． |
| 17 | 解答题 | 椭球面 $\displaystyle S_{1}$ 是椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转而成，圆雉面 $\displaystyle S_{2}$ 是由过点 $\displaystyle (4,0)$ 且与椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$相切的直线绕 $\displaystyle x$ 轴旋转而成。（I）求 $\displaystyle S_{1}$ 及 $\displaystyle S_{2}$ 的方程；（II）求 $\displaystyle S_{1}$ 与 $\displaystyle S_{2}$ 之间的立体的体积。 |
| 18 | 解答题 | （I）证明拉格朗日中值定理：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，则存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$ 。（II）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，在 $\displaystyle (0, \delta)(\delta\gt 0)$ 内可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(0)$ 存在，且 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(0)=A$. |
| 19 | 解答题 | 计算曲面积分 $\displaystyle I=\oiint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 是曲面 $\displaystyle 2 x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=4$ 的外侧． |
| 20 | 解答题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -2\end{array}\right), \mathbf{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{r}-1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$ ．（I）求满足 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{\xi}_{2}=\mathbf{\xi}_{1}, \mathbf{A}^{2} \mathbf{\xi}_{3}=\mathbf{\xi}_{1}$ 的所有向量 $\displaystyle \mathbf{\xi}_{2}, \mathbf{\xi}_{3}$ ；（ II）对（ I ）中的任意向量 $\displaystyle \mathbf{\xi}_{2}, \mathbf{\xi}_{3}$ ，证明 $\displaystyle \mathbf{\xi}_{1}, \mathbf{\xi}_{2}, \mathbf{\xi}_{3}$ 线性无关。 |
| 21 | 解答题 | 设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+(a-1) x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ ．（I）求二次型 $\displaystyle f$ 的矩阵的所有特征值；（II）若二次型 $\displaystyle f$ 的规范形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，求 $\displaystyle a$ 的值． |
| 22 | 解答题 | 袋中有 1 个红球、 2 个黑球与 3 个白球。现有放回地从袋中取两次，每次取一个球。以 $\displaystyle X, Y, Z$分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。（I）求 $\displaystyle P\{X=1 \mid Z=0\}$ ；（II）求二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率分布． |
| 23 | 解答题 | 设总体 $\displaystyle X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}\lambda^{2} x \mathrm{e}^{-\lambda x}, & x\gt 0, \\ 0, & \text { 其他}\end{cases}$ ，其中参数 $\displaystyle \lambda(\lambda\gt 0)$ 未知，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来}自总体 $\displaystyle X$ 的简单随机样本．（I）求参数 $\displaystyle \lambda$ 的矩估计量；（II）求参数 $\displaystyle \lambda$ 的最大似然估计量． |