2009年 数学三 真题

共23题

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#题型题目
1选择题函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x-x^{3}}{\sin \pi x}$ 的可去间断点的个数为
A1 ．
B2 ．
C3．
D无穷多个。
2选择题当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时，$\displaystyle f(x)=x-\sin a x$ 与 $\displaystyle g(x)=x^{2} \ln (1-b x)$ 是等价无穷小量，则
A$\displaystyle a=1, b=-\frac{1}{6}$ ．
B$\displaystyle a=1, b=\frac{1}{6}$ ．
C$\displaystyle a=-1, b=-\frac{1}{6}$ ．
D$\displaystyle a=-1, b=\frac{1}{6}$ ．
3选择题使不等式 $\displaystyle \int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t\gt\ln x$ 成立的 $\displaystyle x$ 的范围是
A$\displaystyle (0,1)$ ．
B$\displaystyle \left(1, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
C$\displaystyle \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ ．
D$\displaystyle (\pi,+\infty)$ ．
4选择题设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-1,3]$ 上的图形如图所示，则函数 $\displaystyle F(x)= \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 的图形为 \begin{figure} \captionsetup{labelformat=empty} \caption{
A(选项见图)
B(选项见图)
C(选项见图)
D(选项见图)
5选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 均为2阶方阵， $\displaystyle \mathbf{A}^{*}, \mathbf{B}^{*}$ 分别为 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 的伴随矩阵。若 $\displaystyle |\mathbf{A}|=2,|\mathbf{B}|=3$ ，则分块矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}\mathbf{O} & \mathbf{A} \\ \mathbf{B} & \mathbf{O}\end{array}\right)$ 的伴随矩阵为（ ）
A$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\mathbf{O} & 3 \mathbf{B}^{*} \\ 2 \mathbf{A}^{*} & \mathbf{O}\end{array}\right)$ ．
B$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\mathbf{O} & 2 \mathbf{B}^{*} \\ 3 \mathbf{A}^{*} & \mathbf{O}\end{array}\right)$ ．
C$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\mathbf{O} & 3 \mathbf{A}^{*} \\ 2 \mathbf{B}^{*} & \mathbf{O}\end{array}\right)$ ．
D$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\mathbf{O} & 2 \mathbf{A}^{*} \\ 3 \mathbf{B}^{*} & \mathbf{O}\end{array}\right)$ ．
6选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{P}$ 均为3阶矩阵， $\displaystyle \mathbf{P}^{\mathrm{T}}$ 为 $\displaystyle \mathbf{P}$ 的转置矩阵，且 $\displaystyle \mathbf{P}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 。若 $\displaystyle \mathbf{P}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right), \mathbf{Q}= \left(\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right)$ ，则 $\displaystyle \mathbf{Q}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{Q}$ 为
A$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．
B$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．
C$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．
D$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．
7选择题设事件 $\displaystyle A$ 与事件 $\displaystyle B$ 互不相容，则（）
A$\displaystyle P(\bar{A} \bar{B})=0$ ．
B$\displaystyle P(A B)=P（A）$P（B）$\displaystyle ．
C$P（A）=1-P（B）$\displaystyle ．
D$P(\bar{A} \cup \bar{B})=1$ ．
8选择题设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，且 $\displaystyle X$ 服从标准正态分布 $\displaystyle N(0,1), Y$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{Y=0\}= P\{Y=1\}=\frac{1}{2}$ 。记 $\displaystyle F_{Z}(z)$ 为随机变量 $\displaystyle Z=X Y$ 的分布函数，则函数 $\displaystyle F_{Z}(z)$ 的间断点个数为（ ）
A0．
B1 ．
C2．
D3．
9填空题$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e-e^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^{2}}-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
10填空题设 $\displaystyle z=\left(x+\mathrm{e}^{y}\right)^{x}$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
11填空题幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{n}-(-1)^{n}}{n^{2}} x^{n}$ 的收敛半径为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
12填空题设某产品的需求函数为 $\displaystyle Q=Q(p)$ ，其对价格 $\displaystyle p$ 的弹性 $\displaystyle \varepsilon_{p}=0.2$ ，则当需求量为 10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加 $\displaystyle \_\_\_\_$元。
13填空题设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}=(1,1,1)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\beta}=(1,0, k)^{\mathrm{T}}$ ，若矩阵 $\displaystyle \mathbf{\alpha} \mathbf{\beta}^{\mathrm{T}}$ 相似于 $\displaystyle \left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle k=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{m}$ 为来自二项分布总体 $\displaystyle B(n, p)$ 的简单随机样本， $\displaystyle \bar{X}$ 和 $\displaystyle S^{2}$ 分别为样本均值和样本方差．记统计量 $\displaystyle T=\bar{X}-S^{2}$ ，则 $\displaystyle E(T)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$
15解答题求二元函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}\left(2+y^{2}\right)+y \ln y$ 的极值．
16解答题计算不定积分 $\displaystyle \int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) \mathrm{d} x(x\gt 0)$ ．
17解答题计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 2, y \geqslant x\right\}$ ．
18解答题（I）证明拉格朗日中值定理：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，则存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$ 。（II）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，在 $\displaystyle (0, \delta)(\delta\gt 0)$ 内可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(0)$存在，且 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(0)=A$ ．
19解答题设曲线 $\displaystyle y=f(x)$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 是可导函数，且 $\displaystyle f(x)\gt 0$ ．已知曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 与直线 $\displaystyle y=0, x=1$ 及 $\displaystyle x=t(t\gt 1)$ 所围成的曲边梯形绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 $\displaystyle \pi t$ 倍，求该曲线的方程．
20解答题设 $$ \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -2 \end{array}\right), \quad \mathbf{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right)$$ （I）求满足 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{\xi}_{2}=\mathbf{\xi}_{1}, \mathbf{A}^{2} \mathbf{\xi}_{3}=\mathbf{\xi}_{1}$ 的所有向量 $\displaystyle \mathbf{\xi}_{2}, \mathbf{\xi}_{3}$ ；（II）对（I）中的任意向量 $\displaystyle \mathbf{\xi}_{2}, \mathbf{\xi}_{3}$ ，证明 $\displaystyle \mathbf{\xi}_{1}, \mathbf{\xi}_{2}, \mathbf{\xi}_{3}$ 线性无关。
21解答题设二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+(a-1) x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3} .$$ （I）求二次型 $\displaystyle f$ 的矩阵的所有特征值；（II）若二次型 $\displaystyle f$ 的规范形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，求 $\displaystyle a$ 的值．
22解答题设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度为$$ f(x, y)=\begin{cases}\mathrm{e}^{-x}, & 0\lt y\lt x, ~ \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}$$ （I）求条件概率密度 $\displaystyle f_{Y \mid X}(y \mid x)$ ；（II）求条件概率 $\displaystyle P\{X \leqslant 1 \mid Y \leqslant 1\}$ ．
23解答题袋中有 1 个红球、 2 个黑球与 3 个白球。现有放回地从袋中取两次，每次取一个球。以 $\displaystyle X, Y, Z$ 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。（I）求 $\displaystyle P\{X=1 \mid Z=0\}$ ；（II）求二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率分布．