2009年 数学二 真题

共23题

← 返回矩阵
#题型题目
1选择题函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x-x^{3}}{\sin \pi x}$ 的可去间断点的个数为（ ）
A1 ．
B2．
C3．
D无穷多个。
2选择题当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时，$\displaystyle f(x)=x-\sin a x$ 与 $\displaystyle g(x)=x^{2} \ln (1-b x)$ 是等价无穷小量，则（ ）
A$\displaystyle a=1, b=-\frac{1}{6}$ ．
B$\displaystyle a=1, b=\frac{1}{6}$ ．
C$\displaystyle a=-1, b=-\frac{1}{6}$ ．
D$\displaystyle a=-1, b=\frac{1}{6}$ ．
3选择题设函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 的全微分为 $\displaystyle \mathrm{d} z=x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y$ ，则点 $\displaystyle (0,0)()$
A不是 $\displaystyle f(x, y)$ 的连续点．
B不是 $\displaystyle f(x, y)$ 的极值点．
C是 $\displaystyle f(x, y)$ 的极大值点。
D是 $\displaystyle f(x, y)$ 的极小值点。
4选择题设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 连续，则 $\displaystyle \int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{y}^{4-y} f(x, y) \mathrm{d} x=()$
A$\displaystyle \int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{1}^{4-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
B$\displaystyle \int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{4-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
C$\displaystyle \int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{1}^{4-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
D$\displaystyle \int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
5选择题若 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 不变号，且曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 在点 $\displaystyle (1,1)$ 处的曲率圆为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2$ ，则函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (1,2)$ 内（ ）
A有极值点，无零点。
B无极值点，有零点。
C有极值点，有零点。
D无极值点，无零点。
6选择题设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-1,3]$ 上的图形如图所示，则函数 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 的图形为（ ） \begin{figure} \captionsetup{labelformat=empty} \caption{
A(选项见图)
B(选项见图)
C(选项见图)
D(选项见图)
7选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 均为 2 阶方阵， $\displaystyle \mathbf{A}^{*}, \mathbf{B}^{*}$ 分别为 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 的伴随矩阵。若 $\displaystyle |\mathbf{A}|=2,|\mathbf{B}|=3$ ，则分块矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}\mathbf{O} & \mathbf{A} \\ \mathbf{B} & \mathbf{O}\end{array}\right)$ 的伴随矩阵为（ ）
A$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\mathbf{O} & 3 \mathbf{B}^{*} \\ 2 \mathbf{A}^{*} & \mathbf{O}\end{array}\right)$ ．
B$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\mathbf{O} & 2 \mathbf{B}^{*} \\ 3 \mathbf{A}^{*} & \mathbf{O}\end{array}\right)$ ．
C$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\mathbf{O} & 3 \mathbf{A}^{*} \\ 2 \mathbf{B}^{*} & \mathbf{O}\end{array}\right)$ ．
D$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\mathbf{O} & 2 \mathbf{A}^{*} \\ 3 \mathbf{B}^{*} & \mathbf{O}\end{array}\right)$ ．
8选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{P}$ 均为3阶矩阵， $\displaystyle \mathbf{P}^{\mathrm{T}}$ 为 $\displaystyle \mathbf{P}$ 的转置矩阵，且 $\displaystyle \mathbf{P}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 。若 $\displaystyle \mathbf{P}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right), \mathbf{Q}= \left(\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right)$ ，则 $\displaystyle \mathbf{Q}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{Q}$ 为（ ）
A$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．
B$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．
C$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．
D$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
9填空题曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\int_{0}^{1-t} \mathrm{e}^{-u^{2}} \mathrm{~d} u, \\ y=t^{2} \ln \left(2-t^{2}\right)\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的切线方程为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
10填空题已知 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{k|x|} \mathrm{d} x=1$ ，则 $\displaystyle k=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
11填空题$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x} \sin n x \mathrm{~d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题设 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle x y+\mathrm{e}^{y}=x+1$ 确定的隐函数，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{x=0}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题函数 $\displaystyle y=x^{2 x}$ 在区间 $\displaystyle (0,1]$ 上的最小值为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}$ 为 3 维列向量， $\displaystyle \mathbf{\beta}^{\mathrm{T}}$ 为 $\displaystyle \mathbf{\beta}$ 的转置．若矩阵 $\displaystyle \mathbf{\alpha} \mathbf{\beta}^{\mathrm{T}}$ 相似于 $\displaystyle \left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \mathbf{\beta}^{\mathrm{T}} \mathbf{\alpha}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$
15解答题求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)[x-\ln (1+\tan x)]}{\sin ^{4} x}$ ．
16解答题计算不定积分 $\displaystyle \int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) \mathrm{d} x(x\gt 0)$ ．
17解答题设 $\displaystyle z=f(x+y, x-y, x y)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle \mathrm{d} z$ 与 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．
18解答题设非负函数 $\displaystyle y=y(x)(x \geqslant 0)$ 满足微分方程 $\displaystyle x y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2=0$ ．当曲线 $\displaystyle y=y(x)$ 过原点时，其与直线 $\displaystyle x=1$ 及 $\displaystyle y=0$ 围成平面区域 $\displaystyle D$ 的面积为 2 ，求 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle y$ 轴旋转所得旋转体体积。
19解答题计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 2, y \geqslant x\right\}$ ．
20解答题设 $\displaystyle y=y(x)$ 是区间 $\displaystyle (-\pi, \pi)$ 内过点 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{\sqrt{2}}, \frac{\pi}{\sqrt{2}}\right)$ 的光滑曲线。当 $\displaystyle -\pi\lt x\lt 0$ 时，曲线上任一点处的法线都过原点；当 $\displaystyle 0 \leqslant x\lt\pi$ 时，函数 $\displaystyle y(x)$ 满足 $\displaystyle y^{\prime \prime}+y+x=0$ ．求 $\displaystyle y(x)$ 的表达式．
21解答题（I）证明拉格朗日中值定理：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，则存在点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$ 。（II）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，在 $\displaystyle (0, \delta)(\delta\gt 0)$ 内可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(0)$存在，且 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(0)=A$ ．
22解答题设 $$ \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -2 \end{array}\right), \quad \mathbf{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right) .$$ （I）求满足 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{\xi}_{2}=\mathbf{\xi}_{1}, \mathbf{A}^{2} \mathbf{\xi}_{3}=\mathbf{\xi}_{1}$ 的所有向量 $\displaystyle \mathbf{\xi}_{2}, \mathbf{\xi}_{3}$ ；（ II ）对（ I ）中的任意向量 $\displaystyle \mathbf{\xi}_{2}, \mathbf{\xi}_{3}$ ，证明 $\displaystyle \mathbf{\xi}_{1}, \mathbf{\xi}_{2}, \mathbf{\xi}_{3}$ 线性无关。
23解答题设二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+(a-1) x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3} .$$ （I）求二次型 $\displaystyle f$ 的矩阵的所有特征值；（II）若二次型 $\displaystyle f$ 的规范形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，求 $\displaystyle a$ 的值。