| 1 | 选择题 | 极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}\right]^{x}=$A1 ． B$\displaystyle e． C$\mathrm{e}^{a-b}$\displaystyle ． D$\mathrm{e}^{b-a}$ ． |
| 2 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle F\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)=0$ 确定，其中 $\displaystyle F$ 为可微函数，且 $\displaystyle F_{2}^{\prime} \neq 0$ ，则 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$ （ ）A$\displaystyle x$ ． B$\displaystyle z$ ． C$\displaystyle -x$ ． D$\displaystyle -z$ ． |
| 3 | 选择题 | 设 $\displaystyle m, n$ 均是正整数，则反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\sqrt[m]{\ln ^{2}(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} \mathrm{~d} x$ 的收敛性A仅与 $\displaystyle m$ 的取值有关． B仅与 $\displaystyle n$ 的取值有关． C与 $\displaystyle m, n$ 的取值都有关。 D与 $\displaystyle m, n$ 的取值都无关。 |
| 4 | 选择题 | $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{n}{(n+i)\left(n^{2}+j^{2}\right)}=$A$\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} \frac{1}{(1+x)\left(1+y^{2}\right)} \mathrm{d} y$ ． B$\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} \frac{1}{(1+x)(1+y)} \mathrm{d} y$ ． C$\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x)(1+y)} \mathrm{d} y$ ． D$\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x)\left(1+y^{2}\right)} \mathrm{d} y$ ． |
| 5 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵， $\displaystyle \mathbf{B}$ 为 $\displaystyle n \times m$ 矩阵， $\displaystyle \mathbf{E}$ 为 $\displaystyle m$ 阶单位矩阵，若 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{B}=\mathbf{E}$ ，则（A秩 $\displaystyle r(\mathbf{A})=m$ ，秩 $\displaystyle r(\mathbf{B})=m$ 。 B秩 $\displaystyle r(\mathbf{A})=m$ ，秩 $\displaystyle r(\mathbf{B})=n$ 。 C秩 $\displaystyle r(\mathbf{A})=n$ ，秩 $\displaystyle r(\mathbf{B})=m$ 。 D秩 $\displaystyle r(\mathbf{A})=n$ ，秩 $\displaystyle r(\mathbf{B})=n$ 。 |
| 6 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 4 阶实对称矩阵，且 $\displaystyle \mathbf{A}^{2}+\mathbf{A}=\mathbf{O}$ 。若 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的秩为 3 ，则 $\displaystyle \mathbf{A}$ 相似于（A$\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$ ． B$\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$ ． C$\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$ ． D$\displaystyle \left(\begin{array}{llll}-1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$ ． |
| 7 | 选择题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 的分布函数 $\displaystyle F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x\lt 0, \\ \frac{1}{2}, & 0 \leqslant x\lt 1, \\ 1-\mathrm{e}^{-x}, & x \geqslant 1,\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle P\{X=1\}=$A0． B$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． C$\displaystyle \frac{1}{2}-\mathrm{e}^{-1}$ ． D$\displaystyle 1-\mathrm{e}^{-1}$ ． |
| 8 | 选择题 | 设 $\displaystyle f_{1}(x)$ 为标准正态分布的概率密度，$\displaystyle f_{2}(x)$ 为 $\displaystyle [-1,3]$ 上均匀分布的概率密度，若
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
a f_{1}(x), & x \leqslant 0 \\
b f_{2}(x), & x\gt 0
\end{array}(a\gt 0, b\gt 0)\right.$$
为概率密度，则 $\displaystyle a, b$ 应满足（ ）A$\displaystyle 2 a+3 b=4$ ． B$\displaystyle 3 a+2 b=4$ ． C$\displaystyle a+b=1$ ． D$\displaystyle a+b=2$ |
| 9 | 填空题 | 设 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^{-t}, \\ y=\int_{0}^{t} \ln \left(1+u^{2}\right) \mathrm{d} u,\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=0}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ . |
| 10 | 填空题 | $\displaystyle \int_{0}^{\pi^{2}} \sqrt{x} \cos \sqrt{x} \mathrm{~d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 11 | 填空题 | 已知曲线 $\displaystyle L$ 的方程为 $\displaystyle y=1-|x|(x \in[-1,1])$ ，起点是 $\displaystyle (-1,0)$ ，终点为 $\displaystyle (1,0)$ ，则曲线积分
$$
\int_{L} x y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y=$$ |
| 12 | 填空题 | 设 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant z \leqslant 1\right\}$ ，则 $\displaystyle \Omega$ 的形心的坚坐标 $\displaystyle \bar{z}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 13 | 填空题 | 设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=(1,2,-1,0)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\alpha}_{2}=(1,1,0,2)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\alpha}_{3}=(2,1,1, a)^{\mathrm{T}}$ 。若由 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 生成的向量空间的维数为 2 ，则 $\displaystyle a=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 14 | 填空题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=k\}=\frac{C}{k!}, k=0,1,2, \cdots$ ，则 $\displaystyle E\left(X^{2}\right)=$ |
| 15 | 解答题 | 求微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=2 x \mathrm{e}^{x}$ 的通解． |
| 16 | 解答题 | 求函数 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x^{2}}\left(x^{2}-t\right) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 的单调区间与极值． |
| 17 | 解答题 | （ I ）比较 $\displaystyle \int_{0}^{1}|\ln t|[\ln (1+t)]^{n} \mathrm{~d} t$ 与 $\displaystyle \int_{0}^{1} t^{n}|\ln t| \mathrm{d} t(n=1,2, \cdots)$ 的大小，说明理由；（II）记 $\displaystyle u_{n}=\int_{0}^{1}|\ln t|[\ln (1+t)]^{n} \mathrm{~d} t(n=1,2, \cdots)$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ ． |
| 18 | 解答题 | 求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数． |
| 19 | 解答题 | 设 $\displaystyle P$ 为椭球面 $\displaystyle S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-y z=1$ 上的动点，若 $\displaystyle S$ 在点 $\displaystyle P$ 处的切平面与 $\displaystyle x O y$ 面垂直，求点 $\displaystyle P$的轨迹 $\displaystyle C$ ，并计算曲面积分 $\displaystyle I=\iint_{\Sigma} \frac{(x+\sqrt{3})|y-2 z|}{\sqrt{4+y^{2}+z^{2}-4 y z}} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 是椭球面 $\displaystyle S$ 位于曲线 $\displaystyle C$ 上方的部分。 |
| 20 | 解答题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda\end{array}\right), \mathbf{b}=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ ．已知线性方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$ 存在 2 个不同的解．（I）求 $\displaystyle \lambda, a$ ；（II）求方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的通解。 |
| 21 | 解答题 | 已知二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\mathbf{x}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{x}$ 在正交变换 $\displaystyle \mathbf{x}=\mathbf{Q} \mathbf{y}$ 下的标准形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，且 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 的第三列为 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{\mathrm{T}}$ ．（I）求矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ ；（II）证明 $\displaystyle \mathbf{A}+\mathbf{E}$ 为正定矩阵，其中 $\displaystyle \mathbf{E}$ 为 3 阶单位矩阵。 |
| 22 | 解答题 | 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=A \mathrm{e}^{-2 x^{2}+2 x y-y^{2}},-\infty\lt x\lt+\infty,-\infty\lt y\lt+\infty$$
求常数 $\displaystyle A$ 及条件概率密度 $\displaystyle f_{Y \mid X}(y \mid x)$ ． |
| 23 | 解答题 | （本题满分 11 分）
设总体 $\displaystyle X$ 的概率分布为
| $\displaystyle X$ | 1 | 2 | 3 |
| :--: | :--------: | :----------------: | :--------: || $\displaystyle P$ | $\displaystyle 1-\theta$ | $\displaystyle \theta-\theta^2+$ | $\displaystyle \theta^2$ |
其中 $\displaystyle \theta \in(0,1)$ 未知，以 $\displaystyle N$ 来表示来自总体 $\displaystyle X$ 的简单随机样本（样本容量为 $\displaystyle n$ ）中等于 $\displaystyle i$ 的个数 $\displaystyle (i=1,2,3)$ ．试求常数 $\displaystyle a_1, a_2, a_3$ ，使 $\displaystyle T=\sum_{-1}^3 a N$ 为 $\displaystyle \theta$ 的无偏估计量，并求 $\displaystyle T$ 的方差． |