2010年 数学三 真题

共23题

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#题型题目
1选择题若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{x}-\left(\frac{1}{x}-a\right) \mathrm{e}^{x}\right]=1$ ，则 $\displaystyle a$ 等于
A0 ．
B1 ．
C2．
D3．
2选择题设 $\displaystyle y_{1}, y_{2}$ 是一阶线性非齐次微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个特解，若常数 $\displaystyle \lambda, \mu$ 使 $\displaystyle \lambda y_{1}+\mu y_{2}$ 是该方程的解，$\displaystyle \lambda y_{1}-\mu y_{2}$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
A$\displaystyle \lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$ ．
B$\displaystyle \lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$ ．
C$\displaystyle \lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$ ．
D$\displaystyle \lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$ ．
3选择题设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 具有二阶导数，且 $\displaystyle g^{\prime \prime}(x)\lt 0$ ．若 $\displaystyle g\left(x_{0}\right)=a$ 是 $\displaystyle g(x)$ 的极值，则 $\displaystyle f(g(x))$ 在 $\displaystyle x_{0}$处取极大值的一个充分条件是 $\displaystyle (\mathrm{A}) f^{\prime}(a)\lt 0$ ．
A$\displaystyle f^{\prime}(a)\gt 0$ ．$\displaystyle (\mathrm{C}) f^{\prime \prime}(a)\lt 0$ ．
B$\displaystyle f^{\prime \prime}(a)\gt 0$ ．
4选择题设 $\displaystyle f(x)=\ln ^{10} x, g(x)=x, h(x)=\mathrm{e}^{\frac{x}{10}}$ ，则当 $\displaystyle x$ 充分大时有 $\displaystyle (\mathrm{A}) g(x)\lt h(x)\lt f(x)$.$\displaystyle (\mathrm{B}) h(x)\lt g(x)\lt f(x)$.$\displaystyle (\mathrm{C}) f(x)\lt g(x)\lt h(x)$.$\displaystyle (\mathrm{D}) g(x)\lt f(x)\lt h(x)$.
Ag(x)\lt h(x)\lt f(x). | B. h(x)\lt g(x)\lt f(x). | C. f(x)\lt g(x)\lt h(x). | D. g(x)\lt f(x)\lt h(x).
5选择题设向量组 I： $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{\alpha}_{r}$ 可由向量组 II： $\displaystyle \mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}, \cdots, \mathbf{\beta}_{s}$ 线性表示。下列命题正确的是
A若向量组 I 线性无关，则 $\displaystyle r \leqslant s$ 。
B若向量组 I 线性相关，则 $\displaystyle r\gt s$ 。
C若向量组 II 线性无关，则 $\displaystyle r \leqslant s$ 。
D若向量组 II 线性相关，则 $\displaystyle r\gt s$ 。
6选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 4 阶实对称矩阵，且 $\displaystyle \mathbf{A}^{2}+\mathbf{A}=\mathbf{O}$ 。若 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的秩为 3 ，则 $\displaystyle \mathbf{A}$ 相似于（
A$\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$ ．
B$\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$ ．
C$\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$ ．
D$\displaystyle \left(\begin{array}{llll}-1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$ ．
7选择题设随机变量 $\displaystyle X$ 的分布函数 $\displaystyle F(x)= \begin{cases}0, & x\lt 0, \\ \frac{1}{2}, & 0 \leqslant x\lt 1, \quad \\ 1-\mathrm{e}^{-x}, & x \geqslant 1,\end{cases}$，$\displaystyle \text { 则 } P\{X=1\}=$( )
A0 ．
B$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
C$\displaystyle \frac{1}{2}-\mathrm{e}^{-1}$ ．
D$\displaystyle 1-\mathrm{e}^{-1}$ ．
8选择题设 $\displaystyle f_{1}(x)$ 为标准正态分布的概率密度，$\displaystyle f_{2}(x)$ 为 $\displaystyle [-1,3]$ 上均匀分布的概率密度，若 $$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} a f_{1}(x), & x \leqslant 0 \\ b f_{2}(x), & x\gt 0 \end{array} \quad(a\gt 0, b\gt 0)\right.$$ 为概率密度，则 $\displaystyle a, b$ 应满足（ ）
A$\displaystyle 2 a+3 b=4$ ．
B$\displaystyle 3 a+2 b=4$ ．
C$\displaystyle a+b=1$ ．
D$\displaystyle a+b=2$
9填空题设可导函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle \int_{0}^{x+y} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=\int_{0}^{x} x \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ 确定，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
10填空题设位于曲线 $\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x\left(1+\ln ^{2} x\right)}}(\mathrm{e} \leqslant x\lt+\infty)$ 下方，$\displaystyle x$ 轴上方的无界区域为 $\displaystyle G$ ，则 $\displaystyle G$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所得空间区域的体积为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
11填空题设某商品的收益函数为 $\displaystyle R(p)$ ，收益弹性为 $\displaystyle 1+p^{3}$ ，其中 $\displaystyle p$ 为价格，且 $\displaystyle R(1)=1$ ，则 $\displaystyle R(p)=$$\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题若曲线 $\displaystyle y=x^{3}+a x^{2}+b x+1$ 有拐点 $\displaystyle (-1,0)$ ，则 $\displaystyle b=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 为 3 阶矩阵，且 $\displaystyle |\mathbf{A}|=3,|\mathbf{B}|=2,\left|\mathbf{A}^{-1}+\mathbf{B}\right|=2$ ，则 $\displaystyle \left|\mathbf{A}+\mathbf{B}^{-1}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $\displaystyle N\left(\mu, \sigma^{2}\right)(\sigma\gt 0)$ 的简单随机样本。记统计量 $\displaystyle T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ ，则 $\displaystyle E(T)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$
15解答题求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{\frac{1}{x}}-1\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ．
16解答题计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D}(x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle x=\sqrt{1+y^{2}}$ 与直线 $\displaystyle x+\sqrt{2} y=0$ 及 $\displaystyle x-\sqrt{2} y=0$围成。
17解答题求函数 $\displaystyle u=x y+2 y z$ 在约束条件 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=10$ 下的最大值和最小值.
18解答题（ I ）比较 $\displaystyle \int_{0}^{1}|\ln t|[\ln (1+t)]^{n} \mathrm{~d} t$ 与 $\displaystyle \int_{0}^{1} t^{n}|\ln t| \mathrm{d} t(n=1,2, \cdots)$ 的大小，说明理由；（II）记 $\displaystyle u_{n}=\int_{0}^{1}|\ln t|[\ln (1+t)]^{n} \mathrm{~d} t(n=1,2, \cdots)$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ 。
19解答题设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,3]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,3)$ 内存在二阶导数，且 $$ 2 f(0)=\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=f(2)+f(3)$$ （I）证明存在 $\displaystyle \eta \in(0,2)$ ，使 $\displaystyle f(\eta)=f(0)$ ；（II）证明存在 $\displaystyle \xi \in(0,3)$ ，使 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
20解答题设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda\end{array}\right), \mathbf{b}=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ ．已知线性方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$ 存在两个不同的解．（I）求 $\displaystyle \lambda, a$ ；（II）求方程组 $\displaystyle \mathbf{A x}=\mathbf{b}$ 的通解。
21解答题设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & a \\ 4 & a & 0\end{array}\right)$ ，正交矩阵 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 使 $\displaystyle \mathbf{Q}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{Q}$ 为对角矩阵，若 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 的第 1 列为 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^{\mathrm{T}}$ ，求$\displaystyle a, Q$ ．
22解答题设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度为 $$ f(x, y)=A \mathrm{e}^{-2 x^{2}+2 x y-y^{2}}, \quad-\infty\lt x\lt+\infty, \quad-\infty\lt y\lt+\infty,$$ 求常数 $\displaystyle A$ 及条件概率密度 $\displaystyle f_{Y \mid X}(y \mid x)$ ．
23解答题箱中装有 6 个球，其中红、白、黑球的个数分别为 $\displaystyle 1,2,3$ 个。现从箱中随机地取出 2 个球，记 $\displaystyle X$ 为取出的红球个数，$\displaystyle Y$ 为取出的白球个数。（I）求随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率分布；（II）求 $\displaystyle \operatorname{Cov}(X, Y)$ 。