2010年 数学二 真题

共23题

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#题型题目
1选择题函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-x}{x^{2}-1} \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}$ 的无穷间断点的个数为
A0 ．
B1 ．
C2．
D3．
2选择题设 $\displaystyle y_{1}, y_{2}$ 是一阶线性非齐次微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个特解，若常数 $\displaystyle \lambda, \mu$ 使 $\displaystyle \lambda y_{1}+\mu y_{2}$是该方程的解，$\displaystyle \lambda y_{1}-\mu y_{2}$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
A$\displaystyle \lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$ ．
B$\displaystyle \lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$ ．
C$\displaystyle \lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$ ．
D$\displaystyle \lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$ ．
3选择题曲线 $\displaystyle y=x^{2}$ 与曲线 $\displaystyle y=a \ln x(a \neq 0)$ 相切，则 $\displaystyle a=$
A4 e ．
B3 e ．
C2 e ．
D$e．
4选择题设 $\displaystyle m, n$ 均是正整数，则反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\sqrt[m]{\ln ^{2}(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} \mathrm{~d} x$ 的收敛性
A仅与 $\displaystyle m$ 的取值有关。
B仅与 $\displaystyle n$ 的取值有关。
C与 $\displaystyle m, n$ 的取值都有关。
D与 $\displaystyle m, n$ 的取值都无关。
5选择题设函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle F\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)=0$ 确定，其中 $\displaystyle F$ 为可微函数，且 $\displaystyle F_{2}^{\prime} \neq 0$ ，则 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$
A$\displaystyle x$ ．
B$\displaystyle z$ ．
C$\displaystyle -x$ ．
D$\displaystyle -z$ ．
6选择题$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{n}{(n+i)\left(n^{2}+j^{2}\right)}=$
A$\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} \frac{1}{(1+x)\left(1+y^{2}\right)} \mathrm{d} y$ ．
B$\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} \frac{1}{(1+x)(1+y)} \mathrm{d} y$ ．
C$\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x)(1+y)} \mathrm{d} y$ ．
D$\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x)\left(1+y^{2}\right)} \mathrm{d} y$ ．
7选择题设向量组 I： $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \cdots, \mathbf{\alpha}_{r}$ 可由向量组 II： $\displaystyle \mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}, \cdots, \mathbf{\beta}_{s}$ 线性表示。下列命题正确的是
A若向量组 I 线性无关，则 $\displaystyle r \leqslant s$ 。
B若向量组 I 线性相关，则 $\displaystyle r\gt s$ 。
C若向量组 II 线性无关，则 $\displaystyle r \leqslant s$ 。
D若向量组 II 线性相关，则 $\displaystyle r\gt s$ 。
8选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 4 阶实对称矩阵，则 $\displaystyle \mathbf{A}^{2}+\mathbf{A}=\mathbf{O}$ 。若 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的秩为 3 ，则 $\displaystyle \mathbf{A}$ 相似于
A$\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$ ．
B$\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$ ．
C$\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$ ．
D$\displaystyle \left(\begin{array}{llll}-1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{arr \right.$\right)
9填空题3 阶常系数线性齐次微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$ 的通解为 $\displaystyle y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
10填空题曲线 $\displaystyle y=\frac{2 x^{3}}{x^{2}+1}$ 的渐近线方程为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
11填空题函数 $\displaystyle y=\ln (1-2 x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的 $\displaystyle n$ 阶导数 $\displaystyle y^{(n)}(0)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题当 $\displaystyle 0 \leqslant \theta \leqslant \pi$ 时，对数螺线 $\displaystyle r=\mathrm{e}^{\theta}$ 的弧长为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题已知一个长方形的长 $\displaystyle l$ 以 $\displaystyle 2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速率增加，宽 $\displaystyle w$ 以 $\displaystyle 3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速率增加，则当 $\displaystyle l=12 \mathrm{~cm}, w=$ 5 cm 时，它的对角线增加的速率为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 为3阶矩阵，且 $\displaystyle |\mathbf{A}|=3,|\mathbf{B}|=2,\left|\mathbf{A}^{-1}+\mathbf{B}\right|=2$ ，则 $\displaystyle \left|\mathbf{A}+\mathbf{B}^{-1}\right|=$
15解答题求函数 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x^{2}}\left(x^{2}-t\right) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 的单调区间与极值．
16解答题（ I ）比较 $\displaystyle \int_{0}^{1}|\ln t|[\ln (1+t)]^{n} \mathrm{~d} t$ 与 $\displaystyle \int_{0}^{1} t^{n}|\ln t| \mathrm{d} t(n=1,2, \cdots)$ 的大小，说明理由；（II）记 $\displaystyle u_{n}=\int_{0}^{1}|\ln t|[\ln (1+t)]^{n} \mathrm{~d} t(n=1,2, \cdots)$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ ．
17解答题设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=2 t+t^{2}, \\ y=\psi(t)\end{array},(t\gt-1)\right.$ 所确定，其中 $\displaystyle \psi(t)$ 具有 2 阶导数，且 $\displaystyle \psi(1)=\frac{5}{2}, \psi^{\prime}(1)=6$ ，已知 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=\frac{3}{4(1+t)}$ ，求函数 $\displaystyle \psi(t)$ ．
18解答题一个高为 $\displaystyle l$ 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 $\displaystyle 2 a$ ，短轴为 $\displaystyle 2 b$ 的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 $\displaystyle \frac{3}{2} b$ 时（如图），计算油的质量．（长度单位为 m ，质量单位为 kg ，油的密度为常量 $\displaystyle \rho$ ，单位为 $\displaystyle \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}$ ）。
19解答题设函数 $\displaystyle u=f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且满足等式 $\displaystyle 4 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+12 \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+5 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ 。确定 $\displaystyle a, b$的值，使等式在变换 $\displaystyle \xi=x+a y, \eta=x+b y$ 下简化为 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial \xi \partial \eta}=0$ ．
20解答题（20）（本题满分 10 分） 计算二重积分 $\displaystyle I=\iint_D r^2 \sin \theta \sqrt{1-r^2 \cos 2 \theta} \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$ ，其中 $\displaystyle D=\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant r \leqslant \sec \theta$ ， $\displaystyle \left.0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{4}\right\}$. ---
21解答题设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 内可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=\frac{1}{3}$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in\left(0, \frac{1}{2}\right), \eta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ ，使得：$\displaystyle f^{\prime}(\xi)+f^{\prime}(\eta)=\xi^{2}+\eta^{2}$ ．
22解答题设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda\end{array}\right), \mathbf{b}=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ ．已知线性方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$ 存在两个不同的解．（I）求 $\displaystyle \lambda, a$ ；（II）求方程组 $\displaystyle \mathbf{A x}=\mathbf{b}$ 的通解。
23解答题设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & a \\ 4 & a & 0\end{array}\right)$ ，正交矩阵 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 使 $\displaystyle \mathbf{Q}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{Q}$ 为对角矩阵，若 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 的第 1 列为 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^{\mathrm{T}}$ ，求$\displaystyle a, Q$ ．