| 1 | 选择题 | 曲线 $\displaystyle y=(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}(x-4)^{4}$ 的拐点是（）A$\displaystyle (1,0)$ ． B$\displaystyle (2,0)$ ． C$\displaystyle (3,0)$ 。 D$\displaystyle (4,0)$ ． |
| 2 | 选择题 | 设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}(n=1,2, \cdots)$ 无界，则幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛域为（ ）A$\displaystyle (-1,1]$ ． B$\displaystyle [-1,1)$ ． C$\displaystyle [0,2)$ ． D$\displaystyle (0,2]$ ． |
| 3 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\displaystyle f(x)\gt 0, f^{\prime}(0)=0$ ，则函数 $\displaystyle z=f(x) \ln f(y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是（ ）A$\displaystyle f(0)\gt 1, f^{\prime \prime}(0)\gt 0$ ． B$\displaystyle f(0)\gt 1, f^{\prime \prime}(0)\lt 0$ ． C$\displaystyle f(0)\lt 1, f^{\prime \prime}(0)\gt 0$ ． D$\displaystyle f(0)\lt 1, f^{\prime \prime}(0)\lt 0$ ． |
| 4 | 选择题 | 设 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\sin x) \mathrm{d} x, J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cot x) \mathrm{d} x, K=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cos x) \mathrm{d} x$ ，则 $\displaystyle I, J, K$ 的大小关系为（ ）A$\displaystyle I\lt J\lt K$ ． B$\displaystyle I\lt K\lt J$ ． C$\displaystyle J\lt I\lt K$ ． D$\displaystyle K\lt J\lt I$ ． |
| 5 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵，将 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ ，再交换 $\displaystyle \mathbf{B}$ 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵。记 $\displaystyle \mathbf{P}_{1}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \mathbf{P}_{2}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \mathbf{A}=(\quad)$A$\displaystyle \mathbf{P}_{1} \mathbf{P}_{2}$ ． B$\displaystyle \mathbf{P}_{1}^{-1} \mathbf{P}_{2}$ ． C$\displaystyle \mathbf{P}_{2} \mathbf{P}_{1}$. D$\displaystyle \mathbf{P}_{2} \mathbf{P}_{1}^{-1}$ ． |
| 6 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{4}\right)$ 是4阶矩阵， $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的伴随矩阵。若 $\displaystyle (1,0,1,0)^{\mathrm{T}}$ 是方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系，则 $\displaystyle \mathbf{A}^{*} \mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系可为（ ）A$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{3}$ ． B$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}$. C$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$. D$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{4}$ ． |
| 7 | 选择题 | 设 $\displaystyle F_{1}(x)$ 与 $\displaystyle F_{2}(x)$ 为两个分布函数，其相应的概率密度 $\displaystyle f_{1}(x)$ 与 $\displaystyle f_{2}(x)$ 是连续函数，则必为概率密度的是（ ）A$\displaystyle f_{1}(x) f_{2}(x)$ 。 B$\displaystyle 2 f_{2}(x) F_{1}(x)$ ． C$\displaystyle f_{1}(x) F_{2}(x)$ ． D$\displaystyle f_{1}(x) F_{2}(x)+f_{2}(x) F_{1}(x)$ ． |
| 8 | 选择题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，且 $\displaystyle E(X)$ 与 $\displaystyle E(Y)$ 存在，记 $\displaystyle U=\max \{X, Y\}, V=\min \{X, Y\}$ ，则 $\displaystyle E(U V)=()$A$\displaystyle E(U) \cdot E(V)$ ．$\displaystyle (\mathrm{B}) E(X) \cdot E(Y)$ ．$\displaystyle ($ C $\displaystyle ) E(U) \cdot E(Y)$ ．$\displaystyle (\mathrm{D}) E(X) \cdot E(V)$ ． |
| 9 | 填空题 | 曲线 $\displaystyle y=\int_{0}^{x} \tan t \mathrm{~d} t\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4}\right)$ 的弧长 $\displaystyle s=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 10 | 填空题 | 微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{-x} \cos x$ 满足条件 $\displaystyle y(0)=0$ 的解为 $\displaystyle y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 11 | 填空题 | 设函数 $\displaystyle F(x, y)=\int_{0}^{x y} \frac{\sin t}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}\right|_{\substack{x=0 \\ y=2}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 12 | 填空题 | 设 $\displaystyle L$ 是柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 与平面 $\displaystyle z=x+y$ 的交线，从 $\displaystyle z$ 轴正向往 $\displaystyle z$ 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 $\displaystyle \oint_{L} x z \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+\frac{y^{2}}{2} \mathrm{~d} z=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 13 | 填空题 | 若二次曲面的方程 $\displaystyle x^{2}+3 y^{2}+z^{2}+2 a x y+2 x z+2 y z=4$ 经正交变换化为 $\displaystyle y_{1}^{2}+4 z_{1}^{2}=4$ ，则 $\displaystyle a=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 14 | 填空题 | 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 服从正态分布 $\displaystyle N\left(\mu, \mu ; \sigma^{2}, \sigma^{2} ; 0\right)$ ，则 $\displaystyle E\left(X Y^{2}\right)=$ |
| 15 | 解答题 | 求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\ln (1+x)}{x}\right]^{\frac{1}{e^{x}-1}}$ ． |
| 16 | 解答题 | 设函数 $\displaystyle z=f(x y, y g(x))$ ，其中函数 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，函数 $\displaystyle g(x)$ 可导，且在 $\displaystyle x=1$ 处取得极值 $\displaystyle g(1)=1$ ．求 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right|_{\substack{x=1 \\ y=1}}$ ． |
| 17 | 解答题 | （本题满分 10 分）
求方程 $\displaystyle k \arctan x-x=0$ 不同实根的个数，其中 $\displaystyle k$ 为参数． |
| 18 | 解答题 | （I）证明：对任意的正整数 $\displaystyle n$ ，都有 $\displaystyle \frac{1}{n+1}\lt\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\lt\frac{1}{n}$ 成立；（II）设 $\displaystyle a_{n}=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n(n=1,2, \cdots)$ ，证明数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。 |
| 19 | 解答题 | 已知函数 $\displaystyle f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $\displaystyle f(1, y)=0, f(x, 1)=0, \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=a$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，计算二重积分 $\displaystyle I=\iint_{D} x y f_{x y}^{\prime \prime}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ． |
| 20 | 解答题 | 设向量组 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\alpha}_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\alpha}_{3}=(1,3,5)^{\mathrm{T}}$ 不能由向量组 $\displaystyle \mathbf{\beta}_{1}=(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ ， $\displaystyle \mathbf{\beta}_{2}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\beta}_{3}=(3,4, a)^{\mathrm{T}}$ 线性表示。（I）求 $\displaystyle a$ 的值；（II）将 $\displaystyle \mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}, \mathbf{\beta}_{3}$ 用 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 线性表示。 |
| 21 | 解答题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 3 阶实对称矩阵， $\displaystyle \mathbf{A}$ 的秩为 2 ，且
$$
A\left(\begin{array}{rr}
1 & 1 \\
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}
-1 & 1 \\
0 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right) .$$
（ I ）求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的所有特征值与特征向量；（II）求矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ ． |
| 22 | 解答题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 的概率分布分别为
| $\displaystyle X$ | 0 | 1 | | $\displaystyle P$ | $\displaystyle \frac{1}{3}$ | $\displaystyle \frac{2}{3}$ |
| $\displaystyle Y$ | -1 | 0 | 1 | | $\displaystyle P$ | $\displaystyle \frac{1}{3}$ | $\displaystyle \frac{1}{3}$ | $\displaystyle \frac{1}{3}$ |
且 $\displaystyle P\left\{X^{2}=Y^{2}\right\}=1$ ．（I）求二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率分布；（II）求 $\displaystyle Z=X Y$ 的概率分布；（III）求 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 的相关系数 $\displaystyle \rho_{X Y}$ 。 |
| 23 | 解答题 | 设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自正态总体 $\displaystyle N\left(\mu_{0}, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，其中 $\displaystyle \mu_{0}$ 已知，$\displaystyle \sigma^{2}\gt 0$ 未知， $\displaystyle \bar{X}$ 和 $\displaystyle S^{2}$ 分别表示样本均值和样本方差。（I）求参数 $\displaystyle \sigma^{2}$ 的最大似然估计 $\displaystyle \widehat{\sigma^{2}}$ ；（II）计算 $\displaystyle E\left(\widehat{\sigma^{2}}\right)$ 和 $\displaystyle D\left(\widehat{\sigma^{2}}\right)$ 。 |