| 1 | 选择题 | 已知当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时，函数 $\displaystyle f(x)=3 \sin x-\sin 3 x$ 与 $\displaystyle c x^{k}$ 是等价无穷小量，则（）A$\displaystyle k=1, c=4$ ． B$\displaystyle k=1, c=-4$ ．$\displaystyle (\mathrm{C}) k=3, c=4$ ． C$\displaystyle k=3, c=-4$ 。 |
| 2 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} f(x)-2 f\left(x^{3}\right)}{x^{3}}=$A$\displaystyle -2 f^{\prime}(0)$ ． B$\displaystyle -f^{\prime}(0)$ ． C$\displaystyle f^{\prime}(0)$ ． D0． |
| 3 | 选择题 | 设 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 是数列，则下列命题正确的是A若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛。 B若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛。 C若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$ 收敛。 D若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛。 |
| 4 | 选择题 | 设 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\sin x) \mathrm{d} x, J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cot x) \mathrm{d} x, K=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cos x) \mathrm{d} x$ ，则 $\displaystyle I, J, K$ 的大小关系为A$\displaystyle I\lt J\lt K$ ． B$\displaystyle I\lt K\lt J$ ． C$\displaystyle J\lt I\lt K$ ． D$\displaystyle K\lt J\lt I$ ． |
| 5 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵，将 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ ，再交换 $\displaystyle \mathbf{B}$ 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵。记 $\displaystyle \mathbf{P}_{1}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \mathbf{P}_{2}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \mathbf{A}=($A$\displaystyle \mathbf{P}_{1} \mathbf{P}_{2}$ ． B$\displaystyle \mathbf{P}_{1}^{-1} \mathbf{P}_{2}$ ． C$\displaystyle \mathbf{P}_{2} \mathbf{P}_{1}$ ． D$\displaystyle \mathbf{P}_{2} \mathbf{P}_{1}^{-1}$ ． |
| 6 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle 4 \times 3$ 矩阵， $\displaystyle \mathbf{\eta}_{1}, \mathbf{\eta}_{2}, \mathbf{\eta}_{3}$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{\beta}$ 的 3 个线性无关的解，$\displaystyle k_{1}, k_{2}$ 为任意常数，则 $\displaystyle \mathbf{A x}=\mathbf{\beta}$ 的通解为A$\displaystyle \frac{\mathbf{\eta}_{2}+\mathbf{\eta}_{3}}{2}+k_{1}\left(\mathbf{\eta}_{2}-\mathbf{\eta}_{1}\right)$ ． B$\displaystyle \frac{\mathbf{\eta}_{2}-\mathbf{\eta}_{3}}{2}+k_{1}\left(\mathbf{\eta}_{2}-\mathbf{\eta}_{1}\right)$ ． C$\displaystyle \frac{\mathbf{\eta}_{2}+\mathbf{\eta}_{3}}{2}+k_{1}\left(\mathbf{\eta}_{2}-\mathbf{\eta}_{1}\right)+k_{2}\left(\mathbf{\eta}_{3}-\mathbf{\eta}_{1}\right)$. D$\displaystyle \frac{\mathbf{\eta}_{2}-\mathbf{\eta}_{3}}{2}+k_{1}\left(\mathbf{\eta}_{2}-\mathbf{\eta}_{1}\right)+k_{2}\left(\mathbf{\eta}_{3}-\mathbf{\eta}_{1}\right)$. |
| 7 | 选择题 | 设 $\displaystyle F_{1}(x)$ 与 $\displaystyle F_{2}(x)$ 为两个分布函数，其相应的概率密度 $\displaystyle f_{1}(x)$ 与 $\displaystyle f_{2}(x)$ 是连续函数，则必为概率密度的是A$\displaystyle f_{1}(x) f_{2}(x)$ 。 B$\displaystyle 2 f_{2}(x) F_{1}(x)$ ． C$\displaystyle f_{1}(x) F_{2}(x)$ ． D$\displaystyle f_{1}(x) F_{2}(x)+f_{2}(x) F_{1}(x)$ ． |
| 8 | 选择题 | 设总体 $\displaystyle X$ 服从参数为 $\displaystyle \lambda(\lambda\gt 0)$ 的泊松分布，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n \geqslant 2)$ 为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量 $\displaystyle T_{1}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ 和 $\displaystyle T_{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n-1} X_{i}+\frac{1}{n} X_{n}$ ，有（ ）A$\displaystyle E\left(T_{1}\right)\gt E\left(T_{2}\right), D\left(T_{1}\right)\gt D\left(T_{2}\right)$ ． B$\displaystyle E\left(T_{1}\right)\gt E\left(T_{2}\right), D\left(T_{1}\right)\lt D\left(T_{2}\right)$ ．$\displaystyle ($ C $\displaystyle ) E\left(T_{1}\right)\lt E\left(T_{2}\right), D\left(T_{1}\right)\gt D\left(T_{2}\right)$ ．$\displaystyle (\mathrm{D}) E\left(T_{1}\right)\lt E\left(T_{2}\right), D\left(T_{1}\right)\lt D\left(T_{2}\right)$ ． |
| 9 | 填空题 | 设 $\displaystyle f(x)=\lim _{t \rightarrow 0} x(1+3 t)^{\frac{x}{t}}$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 10 | 填空题 | 设函数 $\displaystyle z=\left(1+\frac{x}{y}\right)^{\frac{x}{y}}$ ，则 $\displaystyle \left.\mathrm{d} z\right|_{(1,1)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ . |
| 11 | 填空题 | 曲线 $\displaystyle \tan \left(x+y+\frac{\pi}{4}\right)=\mathrm{e}^{y}$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的切线方程为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 12 | 填空题 | 曲线 $\displaystyle y=\sqrt{x^{2}-1}$ ，直线 $\displaystyle x=2$ 及 $\displaystyle x$ 轴所围的平面图形绕 $\displaystyle x$ 轴旋转所成的旋转体的体积为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 13 | 填空题 | 设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\mathbf{x}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{x}$ 的秩为 $\displaystyle 1, \mathbf{A}$ 的各行元素之和为 3 ，则 $\displaystyle f$ 在正交变换 $\displaystyle \mathbf{x}=\mathbf{Q} \mathbf{y}$ 下的标准形为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 14 | 填空题 | 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 服从正态分布 $\displaystyle N\left(\mu, \mu ; \sigma^{2}, \sigma^{2} ; 0\right)$ ，则 $\displaystyle E\left(X Y^{2}\right)=$ |
| 15 | 解答题 | 求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 \sin x}-x-1}{x \ln (1+x)}$ ． |
| 16 | 解答题 | 已知函数 $\displaystyle f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，$\displaystyle f(1,1)=2$ 是 $\displaystyle f(u, v)$ 的极值，$\displaystyle z=f(x+y, f(x, y))$ ．求 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}$ ． |
| 17 | 解答题 | 求不定积分 $\displaystyle \int \frac{\arcsin \sqrt{x}+\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ． |
| 18 | 解答题 | 证明方程 $\displaystyle 4 \arctan x-x+\frac{4 \pi}{3}-\sqrt{3}=0$ 恰有两个实根． |
| 19 | 解答题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续导数，$\displaystyle f(0)=1$ ，且满足$\displaystyle \iint_{D_{t}} f^{\prime}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{t}} f(t) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D_{t}=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant t-x, 0 \leqslant x \leqslant t\}(0\lt t \leqslant 1)$ 。求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式。 |
| 20 | 解答题 | 设向量组 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\alpha}_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\alpha}_{3}=(1,3,5)^{\mathrm{T}}$ 不能由向量组 $\displaystyle \mathbf{\beta}_{1}=(1,1,1)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\beta}_{2}= (1,2,3)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\beta}_{3}=(3,4, a)^{\mathrm{T}}$ 线性表示。（I）求 $\displaystyle a$ 的值；（II）将 $\displaystyle \mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}, \mathbf{\beta}_{3}$ 用 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 线性表示。 |
| 21 | 解答题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 3 阶实对称矩阵， $\displaystyle \mathbf{A}$ 的秩为 2 ，且
$$
\mathbf{A}\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
0 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right)$$
（I）求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的所有特征值与特征向量；（II）求矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ ． |
| 22 | 解答题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 的概率分布分别为
| $\displaystyle X$ | 0 | 1 | | $\displaystyle P$ | $\displaystyle \frac{1}{3}$ | $\displaystyle \frac{2}{3}$ |
| $\displaystyle Y$ | -1 | 0 | 1 | | $\displaystyle P$ | $\displaystyle \frac{1}{3}$ | $\displaystyle \frac{1}{3}$ | $\displaystyle \frac{1}{3}$ |
且 $\displaystyle P\left\{X^{2}=Y^{2}\right\}=1$ ．（I）求二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率分布；（II）求 $\displaystyle Z=X Y$ 的概率分布；（III）求 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 的相关系数 $\displaystyle \rho_{X Y}$ 。 |
| 23 | 解答题 | 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 服从区域 $\displaystyle G$ 上的均匀分布，其中 $\displaystyle G$ 是由 $\displaystyle x-y=0, x+y=2$ 与 $\displaystyle y=0$ 所围成的三角形区域。（I）求 $\displaystyle X$ 的概率密度 $\displaystyle f_{X}(x)$ ；（II）求条件概率密度 $\displaystyle f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ． |