2011年 数学二 真题

共23题

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#题型题目
1选择题已知当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时，函数 $\displaystyle f(x)=3 \sin x-\sin 3 x$ 与 $\displaystyle c x^{k}$ 是等价无穷小量，则
A$\displaystyle k=1, c=4$ 。
B$\displaystyle k=1, c=-4$ ．$\displaystyle (\mathrm{C}) k=3, c=4$ ．
C$\displaystyle k=3, c=-4$ ．
2选择题设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} f(x)-2 f\left(x^{3}\right)}{x^{3}}=($
A$\displaystyle -2 f^{\prime}(0)$ ．
B$\displaystyle -f^{\prime}(0)$ ．
C$\displaystyle f^{\prime}(0)$ 。
D0．
3选择题函数 $\displaystyle f(x)=\ln |(x-1)(x-2)(x-3)|$ 的驻点个数为
A0 ．
B1 ．
C2 。
D3．
4选择题微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}-\lambda^{2} y=\mathrm{e}^{\lambda x}+\mathrm{e}^{-\lambda x}(\lambda\gt 0)$ 的特解形式为
A$\displaystyle a\left(\mathrm{e}^{\lambda x}+\mathrm{e}^{-\lambda x}\right)$ ．
B$\displaystyle a x\left(\mathrm{e}^{\lambda x}+\mathrm{e}^{-\lambda x}\right)$ ．
C$\displaystyle x\left(a \mathrm{e}^{\lambda x}+b \mathrm{e}^{-\lambda x}\right)$ ．
D$\displaystyle x^{2}\left(a \mathrm{e}^{\lambda x}+b \mathrm{e}^{-\lambda x}\right)$ ．
5选择题设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 均有二阶连续导数，满足 $\displaystyle f(0)\gt 0, g(0)\lt 0$ ，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=g^{\prime}(0)=0$ ，则函数 $\displaystyle z=f(x) g(y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是
A$\displaystyle f^{\prime \prime}(0)\lt 0, g^{\prime \prime}(0)\gt 0$ 。
B$\displaystyle f^{\prime \prime}(0)\lt 0, g^{\prime \prime}(0)\lt 0$ ．
C$\displaystyle f^{\prime \prime}(0)\gt 0, g^{\prime \prime}(0)\gt 0$ ．
D$\displaystyle f^{\prime \prime}(0)\gt 0, g^{\prime \prime}(0)\lt 0$ ．
6选择题设 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\sin x) \mathrm{d} x, J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cot x) \mathrm{d} x, K=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cos x) \mathrm{d} x$ ，则 $\displaystyle I, J, K$ 的大小关系为
A$\displaystyle I\lt J\lt K$ ．
B$\displaystyle I\lt K\lt J$.
C$\displaystyle J\lt I\lt K$ ．
D$\displaystyle K\lt J\lt I$ ．
7选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵，将 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的第2列加到第1列得矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ ，再交换 $\displaystyle \mathbf{B}$ 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵。记 $\displaystyle \mathbf{P}_{1}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \mathbf{P}_{2}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \mathbf{A}=$
A$\displaystyle \mathbf{P}_{1} \mathbf{P}_{2}$ ．
B$\displaystyle \mathbf{P}_{1}^{-1} \mathbf{P}_{2}$ ．
C$\displaystyle \mathbf{P}_{2} \mathbf{P}_{1}$.
D$\displaystyle \mathbf{P}_{2} \mathbf{P}_{1}^{-1}$ ．
8选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{4}\right)$ 是4阶矩阵， $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的伴随矩阵。若（ $\displaystyle \left.1,0,1,0\right)^{\mathrm{T}}$ 是方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系，则 $\displaystyle \mathbf{A}^{*} \mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系可为
A$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{3}$.
B$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}$.
C$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$.
D$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{4}$
9填空题$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+2^{x}}{2}\right)^{\frac{1}{x}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
10填空题微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{-x} \cos x$ 满足条件 $\displaystyle y(0)=0$ 的解为 $\displaystyle y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
11填空题曲线 $\displaystyle y=\int_{0}^{x} \tan t \mathrm{~d} t\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4}\right)$ 的弧长 $\displaystyle s=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} & x\gt 0, \\ 0, & x \leqslant 0,\end{array} \lambda\gt 0\right.$ ，则 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题设平面区域 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle y=x$ ，圆 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 y$ 及 $\displaystyle y$ 轴所围成，则二重积分 $\displaystyle \iint_{D} x y \mathrm{~d} \sigma=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ ，则 $\displaystyle f$ 的正惯性指数为
15解答题已知函数 $\displaystyle F(x)=\frac{\int_{0}^{x} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t}{x^{\alpha}}$ ．设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} F(x)=0$ ，试求 $\displaystyle \alpha$ 的取值范围．
16解答题设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3} t^{3}+t+\frac{1}{3} \\ y=\frac{1}{3} t^{3}-t+\frac{1}{3}\end{array}\right.$ 确定，求 $\displaystyle y=y(x)$ 的极值和曲线 $\displaystyle y=y(x)$ 的凹凸区间及拐点。
17解答题设函数 $\displaystyle z=f(x y, y g(x))$ ，其中函数 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，函数 $\displaystyle g(x)$ 可导且在 $\displaystyle x=1$ 处取得极值 $\displaystyle g(1)=1$ ，求 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right|_{\substack{x=1 \\ y=1}}$ ．
18解答题设函数 $\displaystyle y(x)$ 具有二阶导数，且曲线 $\displaystyle l: y=y(x)$ 与直线 $\displaystyle y=x$ 相切于原点．记 $\displaystyle \alpha$ 为曲线 $\displaystyle l$ 在点 $\displaystyle (x, y)$ 处切线的倾角，若 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ，求 $\displaystyle y(x)$ 的表达式。
19解答题（I）证明：对任意的正整数 $\displaystyle n$ ，都有 $\displaystyle \frac{1}{n+1}\lt\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\lt\frac{1}{n}$ 成立；（II）设 $\displaystyle a_{n}=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n(n=1,2, \cdots)$ ，证明数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。
20解答题一容器的内侧是由图中曲线绕 $\displaystyle y$ 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 y\left(y \geqslant \frac{1}{2}\right)$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\left(y \leqslant \frac{1}{2}\right)$ 连接而成。 （I）求容器的容积； （II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位： m ，重力加速度为 $\displaystyle g \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ ，水的密度为 $\displaystyle 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$ ）
21解答题已知函数 $\displaystyle f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $\displaystyle f(1, y)=f(x, 1)=0, \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=a$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，计算二重积分 $\displaystyle I=\iint_{D} x y f_{x y}^{\prime \prime}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
22解答题设向量组 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\alpha}_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\alpha}_{3}=(1,3,5)^{\mathrm{T}}$ 不能由向量组 $\displaystyle \mathbf{\beta}_{1}=(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ ， $\displaystyle \mathbf{\beta}_{2}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\beta}_{3}=(3,4, a)^{\mathrm{T}}$ 线性表示。（I）求 $\displaystyle a$ 的值；（II）将 $\displaystyle \mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}, \mathbf{\beta}_{3}$ 用 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 线性表示。
23解答题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 3 阶实对称矩阵， $\displaystyle \mathbf{A}$ 的秩为 2 ，且 $$ \mathbf{A}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ -1 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right)$$ （I）求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的所有特征值与特征向量；（II）求矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ ．