2012年 数学一 真题

共23题

← 返回矩阵
#题型题目
1选择题曲线 $\displaystyle y=\frac{x^{2}+x}{x^{2}-1}$ 的渐近线的条数为
A0 ．
B1 ．
C2．
D3．
2选择题设函数 $\displaystyle f(x)=\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)\left(\mathrm{e}^{2 x}-2\right) \cdots\left(\mathrm{e}^{n x}-n\right)$ ，其中 $\displaystyle n$ 为正整数，则 $\displaystyle f^{\prime}(0)=$
A$\displaystyle (-1)^{n-1}(n-1)!$ ．
B$\displaystyle (-1)^{n}(n-1)!$ ．
C$\displaystyle (-1)^{n-1} n!$ ．
D$\displaystyle (-1)^{n} n!$ ．
3选择题如果函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，那么下列命题正确的是
A若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微。
B若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微。
C若 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微，则极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在。
D若 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微，则极
4选择题设 $\displaystyle I_{k}=\int_{0}^{k \pi} \mathrm{e}^{x^{2}} \sin$
A$\displaystyle I_{1}\lt I_{2}\lt I_{3}$.
B$\displaystyle I_{3}\lt I_{2}\lt I_{1}$ ．
C$\displaystyle I_{2}\lt I_{3}\lt I_{1}$ ．
D$\displaystyle I_{2}\lt I_{1}\lt I_{3}$ ．
5选择题设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ c_{1}\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ c_{2}\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_{3}\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{4}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_{4}\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的为
A$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$.
B$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{4}$.
C$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{4}$ ．
D$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{4}$ ．
6选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为3阶矩阵， $\displaystyle \mathbf{P}$ 为3阶可逆矩阵，且 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 。若 $\displaystyle \mathbf{P}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right)$ ， $\displaystyle \mathbf{Q}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right)$ ，则 $\displaystyle \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{Q}=$
A$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
B$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．
C$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．
D$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
7选择题设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则 $\displaystyle P\{X\lt Y\}=$
A$\displaystyle \frac{1}{5}$ ．
B$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．
C$\displaystyle \frac{2}{3}$ ．
D$\displaystyle \frac{4}{5}$ ．
8选择题将长度为 1 m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为
A1 ．
B$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
C$\displaystyle -\frac{1}{2}$ ．
D-1 ．
9填空题若函数 $\displaystyle f(x)$ 满足方程 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-2 f(x)=0$ 及 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 \mathrm{e}^{x}$ ，则 $\displaystyle f(x)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
10填空题$\displaystyle \int_{0}^{2} x \sqrt{2 x-x^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．$\displaystyle \left.(11) \operatorname{grad}\left(x y+\frac{z}{y}\right)\right|_{(2,1,1)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．（12）设 $\displaystyle \Sigma=\{(x, y, z) \mid x+y+z=1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{~d} S=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．（13）设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}$ 为3维单位列向量， $\displaystyle \mathbf{E}$ 为3阶单位矩阵，则矩阵 $\displaystyle \mathbf{E}-\mathbf{\alpha} \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$。（14）设 $\displaystyle A, B, C$ 是随机事件，$\displaystyle A$ 与 $\displaystyle C$ 互不相容，$\displaystyle P(A B)=\frac{1}{2}, P(C)=\frac{1}{3}$ ，则 $\displaystyle P(A B \mid \bar{C})=$
11填空题\operatorname{grad}\left(x y+\frac{z}{y}\right)\right|_{(2,1,1)}=$\displaystyle $\_\_\_\_$\displaystyle ．$
12填空题设 $\displaystyle \Sigma=\{(x, y, z) \mid x+y+z=1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{~d} S=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}$ 为3维单位列向量， $\displaystyle \mathbf{E}$ 为3阶单位矩阵，则矩阵 $\displaystyle \mathbf{E}-\mathbf{\alpha} \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
14填空题设 $\displaystyle A, B, C$ 是随机事件，$\displaystyle A$ 与 $\displaystyle C$ 互不相容，$\displaystyle P(A B)=\frac{1}{2}, P(C)=\frac{1}{3}$ ，则 $\displaystyle P(A B \mid \bar{C})=$
15解答题证明：$\displaystyle x \ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x \geqslant 1+\frac{x^{2}}{2} \quad(-1\lt x\lt 1)$ ．
16解答题求函数 $\displaystyle f(x, y)=x \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}$ 的极值．
17解答题求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4 n^{2}+4 n+3}{2 n+1} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数．
18解答题已知曲线 $\displaystyle L:\left\{\begin{array}{l}x=f(t), \\ y=\cos t\end{array}\left(0 \leqslant t\lt\frac{\pi}{2}\right)\right.$ ，其中函数 $\displaystyle f(t)$ 具有连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(t)\gt 0\left(0\lt t\lt\frac{\pi}{2}\right)$ ．若曲线 $\displaystyle L$ 的切线与 $\displaystyle x$ 轴的交点到切点的距离恒为 1 ，求函数 $\displaystyle f(t)$ 的表达式，并求以曲线 $\displaystyle L$ 及 $\displaystyle x$ 轴和 $\displaystyle y$ 轴为边界的区域的面积。
19解答题已知 $\displaystyle L$ 是第一象限中从点 $\displaystyle (0,0)$ 沿圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 x$ 到点 $\displaystyle (2,0)$ ，再沿圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 到点 $\displaystyle (0,2)$ 的曲线段，计算曲线积分 $\displaystyle I=\int_{L} 3 x^{2} y \mathrm{~d} x+\left(x^{3}+x-2 y\right) \mathrm{d} y$ 。
20解答题设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right), \quad \mathbf{\beta}=\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ ．（I）计算行列式 $\displaystyle |\mathbf{A}|$ ；（II）当实数 $\displaystyle a$ 为何值时，方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{\beta}$ 有无穷多解，并求其通解。
21解答题已知 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1\end{array}\right)$ ，二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\mathbf{x}^{\mathrm{T}}\left(\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{A}\right) \mathbf{x}$ 的秩为 2 。（I）求实数 $\displaystyle a$ 的值；（II）求正交变换 $\displaystyle \mathbf{x}=\mathbf{Q} \mathbf{y}$ 将二次型 $\displaystyle f$ 化为标准形．
22解答题设二维离散型随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率分布为
$\displaystyle X$012
0$\displaystyle \frac{1}{4}$0$\displaystyle \frac{1}{4}$
10$\displaystyle \frac{1}{3}$0
2$\displaystyle \frac{1}{12}$0$\displaystyle \frac{1}{12}$
（I）求 $\displaystyle P\{X=2 Y\}$ ；（II）求 $\displaystyle \operatorname{Cov}(X-Y, Y)$ ．
23解答题设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立且分别服从正态分布 $\displaystyle N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 与 $\displaystyle N\left(\mu, 2 \sigma^{2}\right)$ ，其中 $\displaystyle \sigma$ 是未知参数且 $\displaystyle \sigma\gt 0$ 。记 $\displaystyle Z=X-Y$ 。（I）求 $\displaystyle Z$ 的概率密度 $\displaystyle f\left(z ; \sigma^{2}\right)$ ；（II）设 $\displaystyle Z_{1}, Z_{2}, \cdots, Z_{n}$ 为来自总体 $\displaystyle Z$ 的简单随机样本，求 $\displaystyle \sigma^{2}$ 的最大似然估计量 $\displaystyle \widehat{\sigma^{2}}$ ；（III）证明 $\displaystyle \widehat{\sigma^{2}}$ 为 $\displaystyle \sigma^{2}$ 的无偏估计量。