2012年 数学三 真题

共23题

← 返回矩阵
#题型题目
1选择题曲线 $\displaystyle y=\frac{x^{2}+x}{x^{2}-1}$ 的渐近线的条数为（
A0 ．
B1 ．
C2．
D3．
2选择题设函数 $\displaystyle f(x)=\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)\left(\mathrm{e}^{2 x}-2\right) \cdots\left(\mathrm{e}^{n x}-n\right)$ ，其中 $\displaystyle n$ 为正整数，则 $\displaystyle f^{\prime}(0)=$
A$\displaystyle (-1)^{n-1}(n-1)!$ ．
B$\displaystyle (-1)^{n}(n-1)$ ！．
C$\displaystyle (-1)^{n-1} n!$ ．
D$\displaystyle (-1)^{n} n!$ ．
3选择题设函数 $\displaystyle f(t)$ 连续，则二次积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{2 \cos \theta}^{2} f\left(r^{2}\right) r \mathrm{~d} r=$
A$\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{2 x-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ．
B$\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{2 x-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ．
C$\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{1+\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{4-y^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x$ ．
D$\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{1+\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{4-y^{2}}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x$ ．
4选择题已知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sqrt{n} \sin \frac{1}{n^{\alpha}}$ 绝对收敛，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2-\alpha}}$ 条件收敛，则
A$\displaystyle 0\lt\alpha \leqslant \frac{1}{2}$ ．
B$\displaystyle \frac{1}{2}\lt\alpha \leqslant 1$ ．
C$\displaystyle 1\lt\alpha \leqslant \frac{3}{2}$ ．
D$\displaystyle \frac{3}{2}\lt\alpha\lt 2$ ．
5选择题设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ c_{1}\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ c_{2}\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_{3}\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{4}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_{4}\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的为
A$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$.
B$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{4}$.
C$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{4}$ ．
D$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{4}$ ．
6选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为3阶矩阵， $\displaystyle \mathbf{P}$ 为3阶可逆矩阵，且 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 。若 $\displaystyle \mathbf{P}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right)$ ， $\displaystyle \mathbf{Q}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right)$ ，则 $\displaystyle \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{Q}=$
A$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
B$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．
C$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．
D$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
7选择题设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，且都服从区间 $\displaystyle (0,1)$ 上的均匀分布，则 $\displaystyle P\left\{X^{2}+Y^{2} \leqslant 1\right\}=$
A$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．
B$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
C$\displaystyle \frac{\pi}{8}$ ．
D$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ．
8选择题设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ 为来自总体 $\displaystyle N\left(1, \sigma^{2}\right)(\sigma\gt 0)$ 的简单随机样本，则统计量 $\displaystyle \frac{X_{1}-X_{2}}{\left|X_{3}+X_{4}-2\right|}$ 的分布为
A$\displaystyle N(0,1)$ ．
B$\displaystyle t(1)$ ．
C$\displaystyle \chi^{2}(1)$ ．
D$\displaystyle F(1,1)$
9填空题$\displaystyle \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}(\tan x)^{\frac{1}{\cos x-\sin x}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
10填空题设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\ln \sqrt{x}, & x \geqslant 1, \\ 2 x-1, & x\lt 1,\end{array} y=f(f(x))\right.$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=\mathrm{e}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
11填空题设连续函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 1}} \frac{f(x, y)-2 x+y-2}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}=0$ ，则 $\displaystyle \left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题由曲线 $\displaystyle y=\frac{4}{x}$ 和直线 $\displaystyle y=x$ 及 $\displaystyle y=4 x$ 在第一象限中围成的平面图形的面积为 $\displaystyle \_\_\_\_$ .
13填空题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵，$\displaystyle |\mathbf{A}|=3, ~ \mathbf{A}^{*}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的伴随矩阵，若交换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的第 1 行与第 2 行得矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ ，则 $\displaystyle \left|\mathbf{B} \mathbf{A}^{*}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
14填空题设 $\displaystyle A, B, C$ 是随机事件，$\displaystyle A$ 与 $\displaystyle C$ 互不相容，$\displaystyle P(A B)=\frac{1}{2}, P(C)=\frac{1}{3}$ ，则 $\displaystyle P(A B \mid \bar{C})=$
15解答题求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}-\mathrm{e}^{2-2 \cos x}}{x^{4}}$ ．
16解答题计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{x} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是以曲线 $\displaystyle y=\sqrt{x}, y=\frac{1}{\sqrt{x}}$ 及 $\displaystyle y$ 轴为边界的无界区域。
17解答题某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为 10000 （万元）。设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 $\displaystyle x$（件）和 $\displaystyle y$（件），且这两种产品的边际成本分别为 $\displaystyle 20+\frac{x}{2}$（万元／件）与$\displaystyle 6+y$（万元／件）．（I）求生产甲、乙两种产品的总成本函数 $\displaystyle C(x, y)$（万元）； （II）当总产量为 50 件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？求最小总成本； （III）求总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。
18解答题证明 $\displaystyle x \ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x \geqslant 1+\frac{x^{2}}{2}(-1\lt x\lt 1)$ ．
19解答题已知函数 $\displaystyle f(x)$ 满足方程 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-2 f(x)=0$ 及 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 \mathrm{e}^{x}$ ．（I）求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式；（II）求曲线 $\displaystyle y=f\left(x^{2}\right) \int_{0}^{x} f\left(-t^{2}\right) \mathrm{d} t$ 的拐点．
20解答题设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right), \mathbf{\beta}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ ．（I）计算行列式 $\displaystyle |\mathbf{A}|$ ；（II）当实数 $\displaystyle a$ 为何值时，方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{\beta}$ 有无穷多解，并求其通解。
21解答题已知 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1\end{array}\right)$ ，二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\mathbf{x}^{\mathrm{T}}\left(\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{A}\right) \mathbf{x}$ 的秩为 2 ．（I）求实数 $\displaystyle a$ 的值；（II）求正交变换 $\displaystyle \mathbf{x}=\mathbf{Q} \mathbf{y}$ 将 $\displaystyle f$ 化为标准形。
22解答题设二维离散型随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率分布为
$\displaystyle X$$\displaystyle Y$12
0$\displaystyle \frac{1}{4}$0$\displaystyle \frac{1}{4}$
10$\displaystyle \frac{1}{3}$0
2$\displaystyle \frac{1}{12}$0$\displaystyle \frac{1}{12}$
（I）求 $\displaystyle P\{X=2 Y\}$ ；（II）求 $\displaystyle \operatorname{Cov}(X-Y, Y)$ ．
23解答题设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布。记 $\displaystyle U=\max \{X, Y\}, V=\min \{X, Y\}$ 。（I）求 $\displaystyle V$ 的概率密度 $\displaystyle f_{V}(v)$ ；（II）求 $\displaystyle E(U+V)$ 。