2012年 数学二 真题

共23题

← 返回矩阵
#题型题目
1选择题曲线 $\displaystyle y=\frac{x^{2}+x}{x^{2}-1}$ 的渐近线的条数为
A0 ．
B1 ．
C2．
D3．
2选择题设函数 $\displaystyle f(x)=\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)\left(\mathrm{e}^{2 x}-2\right) \cdots\left(\mathrm{e}^{n x}-n\right)$ ，其中 $\displaystyle n$ 为正整数，则 $\displaystyle f^{\prime}(0)$
A$\displaystyle (-1)^{n-1}(n-1)!$ ．
B$\displaystyle (-1)^{n}(n-1)!$ ．
C$\displaystyle (-1)^{n-1} n!$ ．
D$\displaystyle (-1)^{n} n!$ ．
3选择题设 $\displaystyle a_{n}\gt 0(n=1,2, \cdots), S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$ ，则数列 $\displaystyle \left\{S_{n}\right\}$ 有界是数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛的
A充分必要条件．
B充分非必要条件。
C必要非充分条件。
D既非充分也非必要条件．
4选择题设 $\displaystyle I_{k}=\int_{0}^{k \pi} \mathrm{e}^{x^{2}} \sin x \mathrm{~d} x(k=1,2,3)$ ，则有
A$\displaystyle I_{1}\lt I_{2}\lt I_{3}$.
B$\displaystyle I_{3}\lt I_{2}\lt I_{1}$ ．$\displaystyle (\mathrm{C}) I_{2}\lt I_{3}\lt I_{1}$.
C$\displaystyle I_{2}\lt I_{1}\lt I_{3}$ ．
5选择题设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 可微，且对任意的 $\displaystyle x, y$ 都有 $\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}\gt 0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}\lt 0$ ，则使不等式 $\displaystyle f\left(x_{1}, y_{1}\right)\lt f\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 成立的一个充分条件是
A$\displaystyle x_{1}\gt x_{2}, y_{1}\lt y_{2}$ ．
B$\displaystyle x_{1}\gt x_{2}, y_{1}\gt y_{2}$ ．
C$\displaystyle x_{1}\lt x_{2}, y_{1}\lt y_{2}$ ．
D$\displaystyle x_{1}\lt x_{2}, y_{1}\gt y_{2}$ ．
6选择题设区域 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle y=\sin x, x= \pm \frac{\pi}{2}, y=1$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D}\left(x y^{5}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
A$\displaystyle \pi$ ．
B2．
C-2 ．
D$\displaystyle -\pi$ ．
7选择题设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ c_{1}\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ c_{2}\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_{3}\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{4}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_{4}\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的为
A$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$.
B$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{4}$.
C$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{4}$ ．
D$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{4}$.
8选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为3阶矩阵， $\displaystyle \mathbf{P}$ 为3阶可逆矩阵，且 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 。若 $\displaystyle \mathbf{P}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right)$ ， $\displaystyle \mathbf{Q}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right)$ ，则 $\displaystyle \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{Q}=$
A$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
B$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．
C$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．
D$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{arr \right.$\right)
9填空题设 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle x^{2}-y+1=\mathrm{e}^{y}$ 所确定的隐函数，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{x=0}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
10填空题$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{1+n^{2}}+\frac{1}{2^{2}+n^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}+n^{2}}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
11填空题设 $\displaystyle z=f\left(\ln x+\frac{1}{y}\right)$ ，其中函数 $\displaystyle f(u)$ 可微，则 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y^{2} \frac{\partial z}{\partial y}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题微分方程 $\displaystyle y \mathrm{~d} x+\left(x-3 y^{2}\right) \mathrm{d} y=0$ 满足条件 $\displaystyle \left.y\right|_{x=1}=1$ 的解为 $\displaystyle y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题曲线 $\displaystyle y=x^{2}+x(x\lt 0)$ 上曲率为 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ 的点的坐标是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵，$\displaystyle |\mathbf{A}|=3, ~ \mathbf{A}^{*}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的伴随矩阵，若交换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的第 1 行与第 2 行得矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ ，则 $\displaystyle \left|\mathbf{B} \mathbf{A}^{*}\right|=$
15解答题已知函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1+x}{\sin x}-\frac{1}{x}$ ，记 $\displaystyle a=\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ ．（I）求 $\displaystyle a$ 的值；（II）若当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时，$\displaystyle f(x)-a$ 与 $\displaystyle x^{k}$ 是同阶无穷小量，求常数 $\displaystyle k$ 的值．
16解答题求函数 $\displaystyle f(x, y)=x \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}$ 的极值．
17解答题过点 $\displaystyle (0,1)$ 作曲线 $\displaystyle L: y=\ln x$ 的切线，切点为 $\displaystyle A$ ，又 $\displaystyle L$ 与 $\displaystyle x$ 轴交于 $\displaystyle B$ 点，区域 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle L$ 与直线 $\displaystyle A B$围成。求区域 $\displaystyle D$ 的面积及 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。
18解答题计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} x y \mathrm{~d} \sigma$ ，其中区域 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle r=1+\cos \theta(0 \leqslant \theta \leqslant \pi)$ 与极轴围成。
19解答题已知函数 $\displaystyle f(x)$ 满足方程 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-2 f(x)=0$ 及 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 \mathrm{e}^{x}$ ．（I）求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式；（II）求曲线 $\displaystyle y=f\left(x^{2}\right) \int_{0}^{x} f\left(-t^{2}\right) \mathrm{d} t$ 的拐点。
20解答题证明：$\displaystyle x \ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x \geqslant 1+\frac{x^{2}}{2}(-1\lt x\lt 1)$ ．
21解答题（I）证明方程 $\displaystyle x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x=1$（ $\displaystyle n$ 为大于 1 的整数）在区间 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内有且仅有一个实根；（II）记（I）中的实根为 $\displaystyle x_{n}$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限。
22解答题设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right), \mathbf{\beta}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ ．（I）计算行列式 $\displaystyle |\mathbf{A}|$ ；（II）当实数 $\displaystyle a$ 为何值时，方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{\beta}$ 有无穷多解，并求其通解。
23解答题已知 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1\end{array}\right)$ ，二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\mathbf{x}^{\mathrm{T}}\left(\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{A}\right) \mathbf{x}$ 的秩为 2 ．（I）求实数 $\displaystyle a$ 的值；（II）求正交变换 $\displaystyle \mathbf{x}=\mathbf{Q} \mathbf{y}$ 将 $\displaystyle f$ 化为标准形．