2013年 数学一 真题

共23题

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#题型题目
1选择题已知极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^{k}}=c$ ，其中 $\displaystyle k, c$ 为常数，且 $\displaystyle c \neq 0$ ，则（ ）
A$\displaystyle k=2, c=-\frac{1}{2}$ ．
B$\displaystyle k=2, c=\frac{1}{2}$ ．
C$\displaystyle k=3, c=-\frac{1}{3}$ ．
D$\displaystyle k=3, c=\frac{1}{3}$ 。
2选择题曲面 $\displaystyle x^{2}+\cos (x y)+y z+x=0$ 在点 $\displaystyle (0,1,-1)$ 处的切平面方程为（ ）
A$\displaystyle x-y+z=-2$ ．
B$\displaystyle x+y+z=0$ ．
C$\displaystyle x-2 y+z=-3$ ．
D$\displaystyle x-y-z=0$ ．
3选择题设 $\displaystyle f(x)=\left|x-\frac{1}{2}\right|, b_{n}=2 \int_{0}^{1} f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x(n=1,2, \cdots)$ 。令 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n \pi x$ ，则 $\displaystyle S\left(-\frac{9}{4}\right)=$ （ ）
A$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．
B$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．
C$\displaystyle -\frac{1}{4}$ ．
D$\displaystyle -\frac{3}{4}$ ．
4选择题设 $\displaystyle L_{1}: x^{2}+y^{2}=1, L_{2}: x^{2}+y^{2}=2, L_{3}: x^{2}+2 y^{2}=2, L_{4}: 2 x^{2}+y^{2}=2$ 为四条逆时针方向的平面曲线．记 $\displaystyle I_{i}=\oint_{L_{i}}\left(y+\frac{y^{3}}{6}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x-\frac{x^{3}}{3}\right) \mathrm{d} y(i=1,2,3,4)$ ，则 $\displaystyle \max \left\{I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\right\}=()$
A$\displaystyle I_{1}$ ．
B$\displaystyle I_{2}$ ．
C$\displaystyle I_{3}$.
D$\displaystyle I_{4}$ ．
5选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}, ~ \mathbf{B}, ~ \mathbf{C}$ 均为 $\displaystyle n$ 阶矩阵，若 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{B}=\mathbf{C}$ ，且 $\displaystyle \mathbf{B}$ 可逆，则（ ）
A矩阵 $\displaystyle \mathbf{C}$ 的行向量组与矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的行向量组等价。
B矩阵 $\displaystyle \mathbf{C}$ 的列向量组与矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的列向量组等价。
C矩阵 $\displaystyle \mathbf{C}$ 的行向量组与矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ 的行向量组等价。
D矩阵 $\displaystyle \mathbf{C}$ 的列向量组与矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ 的列向量组等价。
6选择题矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1\end{array}\right)$ 与 $\displaystyle \left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件为（ ）
A$\displaystyle a=0, b=2$ ．
B$\displaystyle a=0, b$ 为任意常数．
C$\displaystyle a=2, b=0$ ．
D$\displaystyle a=2, b$ 为任意常数．
7选择题设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 是随机变量，且 $\displaystyle X_{1} \sim N(0,1), X_{2} \sim N\left(0,2^{2}\right), X_{3} \sim N\left(5,3^{2}\right), p_{i}=P\left\{-2 \leqslant X_{i} \leqslant 2\right\} (i=1,2,3)$ ，则 $\displaystyle (\quad)$
A$\displaystyle p_{1}\gt p_{2}\gt p_{3}$ ．
B$\displaystyle p_{2}\gt p_{1}\gt p_{3}$ ．
C$\displaystyle p_{3}\gt p_{1}\gt p_{2}$ ．
D$\displaystyle p_{1}\gt p_{3}\gt p_{2}$ ．
8选择题设随机变量 $\displaystyle X \sim t(n), Y \sim F(1, n)$ ，给定 $\displaystyle \alpha(0\lt\alpha\lt 0.5)$ ，常数 $\displaystyle c$ 满足 $\displaystyle P\{X\gt c\}=\alpha$ ，则 $\displaystyle P\left\{Y\gt c^{2}\right\}=()$
A$\displaystyle \alpha$ ．
B$\displaystyle 1-\alpha$ ．
C$\displaystyle 2 \alpha$ ．
D$\displaystyle 1-2 \alpha$ ．
9填空题设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 由方程 $\displaystyle y-x=\mathrm{e}^{x(1-y)}$ 确定，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
10填空题已知 $\displaystyle y_{1}=\mathrm{e}^{3 x}-x \mathrm{e}^{2 x}, y_{2}=\mathrm{e}^{x}-x \mathrm{e}^{2 x}, y_{3}=-x \mathrm{e}^{2 x}$ 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解为 $\displaystyle y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
11填空题设 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\sin t, \\ y=t \sin t+\cos t\end{array}\right.$（ $\displaystyle t$ 为参数），则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题$\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
13填空题设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(a_{i j}\right)$ 是 3 阶非零矩阵，$\displaystyle |\mathbf{A}|$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的行列式，$\displaystyle A_{i j}$ 为 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式．若 $\displaystyle a_{i j}+A_{i j}=0 (i, j=1,2,3)$ ，则 $\displaystyle |\mathbf{A}|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题根据题目开头信息，这是一道2013年考研数学一的填空题，原题内容完整如下： 设随机变量 $\displaystyle Y$ 服从参数为 1 的指数分布，$\displaystyle a$ 为常数且大于零，则 $\displaystyle P\{Y \leqslant a+1 \mid Y\gt a\}=$
15解答题计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\ln (t+1)}{t} \mathrm{~d} t$ ．
16解答题设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足条件：$\displaystyle a_{0}=3, a_{1}=1, a_{n-2}-n(n-1) a_{n}=0(n \geqslant 2), S(x)$ 是幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的和函数．（I）证明 $\displaystyle S^{\prime \prime}(x)-S(x)=0$ ；（II）求 $\displaystyle S(x)$ 的表达式。
17解答题求函数 $\displaystyle f(x, y)=\left(y+\frac{x^{3}}{3}\right) \mathrm{e}^{x+y}$ 的极值．
18解答题设奇函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上具有二阶导数，且 $\displaystyle f(1)=1$ ．证明：（I）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=1$ ；（II）存在 $\displaystyle \eta \in(-1,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\eta)+f^{\prime}(\eta)=1$ ．
19解答题设直线 $\displaystyle L$ 过 $\displaystyle A(1,0,0), B(0,1,1)$ 两点，将 $\displaystyle L$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周得到曲面 $\displaystyle \Sigma, \Sigma$ 与平面 $\displaystyle z=0, z=2$所围成的立体为 $\displaystyle \Omega$ 。（I）求曲面 $\displaystyle \Sigma$ 的方程；（II）求 $\displaystyle \Omega$ 的形心坐标。
20解答题设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & a \\ 1 & 0\end{array}\right), \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & b\end{array}\right)$ 。当 $\displaystyle a, b$ 为何值时，存在矩阵 $\displaystyle \mathbf{C}$ 使得 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{C}-\mathbf{C} \mathbf{A}=\mathbf{B}$ ，并求所有矩阵 $\displaystyle \mathbf{C}$ 。
21解答题设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2\left(a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+a_{3} x_{3}\right)^{2}+\left(b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+b_{3} x_{3}\right)^{2}$ ，记 $$ \mathbf{\alpha}=\left(\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}\right), \quad \mathbf{\beta}=\left(\begin{array}{l} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}\right) .$$ （I）证明二次型 $\displaystyle f$ 对应的矩阵为 $\displaystyle 2 \mathbf{\alpha} \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}}+\mathbf{\beta} \mathbf{\beta}^{\mathrm{T}}$ ；（II）若 $\displaystyle \mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}$ 正交且均为单位向量，证明 $\displaystyle f$ 在正交变换下的标准形为 $\displaystyle 2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ．
22解答题设随机变量 $\displaystyle X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{9} x^{2}, & 0\lt x\lt 3 \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 令随机变量 $\displaystyle Y= \begin{cases}2, & X \leqslant 1, \\ X, & 1\lt X\lt 2, \\ 1, & X \geqslant 2 .\end{cases}$（I）求 $\displaystyle Y$ 的分布函数；（II）求概率 $\displaystyle P\{X \leqslant Y\}$ ．
23解答题设总体 $\displaystyle X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\theta^{2}}{x^{3}} \mathrm{e}^{-\frac{\theta}{x}}, & x\gt 0, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 其中 $\displaystyle \theta$ 为未知参数且大于零．$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$为来自总体 $\displaystyle X$ 的简单随机样本．（I）求 $\displaystyle \theta$ 的矩估计量；（II）求 $\displaystyle \theta$ 的最大似然估计量．