| 1 | 选择题 | 当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时，用＂$\displaystyle o(x)$＂表示比 $\displaystyle x$ 高阶的无穷小量，则下列式子中错误的是A$\displaystyle x \cdot \mathbf{o}\left(x^{2}\right)=\mathbf{o}\left(x^{3}\right)$ ． B$\displaystyle \mathbf{o}(x) \cdot \mathbf{o}\left(x^{2}\right)=\mathbf{o}\left(x^{3}\right)$ ． C$\displaystyle \mathbf{o}\left(x^{2}\right)+\mathbf{o}\left(x^{2}\right)=\mathbf{o}\left(x^{2}\right)$ ． D$\displaystyle \mathbf{o}(x)+\mathbf{o}\left(x^{2}\right)=\mathbf{o}\left(x^{2}\right)$ ． |
| 2 | 选择题 | 函数 $\displaystyle f(x)=\frac{|x|^{x}-1}{x(x+1) \ln |x|}$ 的可去间断点的个数为 |
| 3 | 选择题 | 设 $\displaystyle D_{k}$ 是圆域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 位于第 $\displaystyle k$ 象限的部分。记 $\displaystyle I_{k}=\iint_{D_{k}}(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y(k=1,2,3$ ， 4），则A$\displaystyle I_{1}\gt 0$ ． B$\displaystyle I_{2}\gt 0$ ．$\displaystyle (\mathrm{C}) I_{3}\gt 0$. C$\displaystyle I_{4}\gt 0$ ． |
| 4 | 选择题 | 设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为正项数列，下列选项正确的是（A若 $\displaystyle a_{n}\gt a_{n+1}$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收敛。 B若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle a_{n}\gt a_{n+1}$ ． C若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则存在常数 $\displaystyle p\gt 1$ ，使 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{p} a_{n}$ 存在。 D若存在常数 $\displaystyle p\gt 1$ ，使 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{p} a_{n}$ 存在，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。 |
| 5 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}, ~ \mathbf{B}, ~ \mathbf{C}$ 均为 $\displaystyle n$ 阶矩阵。若 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{B}=\mathbf{C}$ ，且 $\displaystyle \mathbf{B}$ 可逆，则A矩阵 $\displaystyle \mathbf{C}$ 的行向量组与矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的行向量组等价。 B矩阵 $\displaystyle \mathbf{C}$ 的列向量组与矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的列向量组等价。 C矩阵 $\displaystyle \mathbf{C}$ 的行向量组与矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ 的行向量组等价。 D矩阵 $\displaystyle \mathbf{C}$ 的列向量组与矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ 的列向量组等价。 |
| 6 | 选择题 | 矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1\end{array}\right)$ 与 $\displaystyle \left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件为A$\displaystyle a=0, b=2$ ． B$\displaystyle a=0, b$ 为任意常数． C$\displaystyle a=2, b=0$ ． D$\displaystyle a=2, b$ 为任意常数． |
| 7 | 选择题 | 设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 是随机变量，且 $\displaystyle X_{1} \sim N(0,1), X_{2} \sim N\left(0,2^{2}\right), X_{3} \sim N\left(5,3^{2}\right), p_{i}=P\left\{-2 \leqslant X_{i} \leqslant 2\right\} (i=1,2,3)$ ，则A$\displaystyle p_{1}\gt p_{2}\gt p_{3}$ ． B$\displaystyle p_{2}\gt p_{1}\gt p_{3}$ ． C$\displaystyle p_{3}\gt p_{1}\gt p_{2}$ ． D$\displaystyle p_{1}\gt p_{3}\gt p_{2}$ ． |
| 8 | 选择题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 和 $\displaystyle Y$ 相互独立，且 $\displaystyle X$ 和 $\displaystyle Y$ 的概率分布分别为
| $\displaystyle X$ | 0 | 1 | 2 | 3 | | $\displaystyle P$ | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | $\displaystyle \frac{1}{4}$ | $\displaystyle \frac{1}{8}$ | $\displaystyle \frac{1}{8}$ |
| $\displaystyle Y$ | -1 | 0 | 1 | | $\displaystyle P$ | $\displaystyle \frac{1}{3}$ | $\displaystyle \frac{1}{3}$ | $\displaystyle \frac{1}{3}$ |
则 $\displaystyle P\{X+Y=2\}=(\quad)$A$\displaystyle \frac{1}{12}$ ． B$\displaystyle \frac{1}{8}$ ． C$\displaystyle \frac{1}{6}$ ． D$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． |
| 9 | 填空题 | 设曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 与 $\displaystyle y=x^{2}-x$ 在点 $\displaystyle (1,0)$ 处有公共切线，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n f\left(\frac{n}{n+2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 10 | 填空题 | 设函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle (z+y)^{x}=x y$ 确定，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,2)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 11 | 填空题 | $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 12 | 填空题 | 微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}-y^{\prime}+\frac{1}{4} y=0$ 的通解为 $\displaystyle y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 13 | 填空题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(a_{i j}\right)$ 是 3 阶非零矩阵，$\displaystyle |\mathbf{A}|$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的行列式，$\displaystyle A_{i j}$ 为 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式。若 $\displaystyle a_{i j}+A_{i j}=0 (i, j=1,2,3)$ ，则 $\displaystyle |\mathbf{A}|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 14 | 填空题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 服从标准正态分布 $\displaystyle N(0,1)$ ，则 $\displaystyle E\left(X \mathrm{e}^{2 X}\right)=$ |
| 15 | 解答题 | 当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时， $\displaystyle 1-\cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 3 x$ 与 $\displaystyle a x^{n}$ 为等价无穷小量，求 $\displaystyle n$ 与 $\displaystyle a$ 的值． |
| 16 | 解答题 | 设 $\displaystyle D$ 是由曲线 $\displaystyle y=x^{\frac{1}{3}}$ ，直线 $\displaystyle x=a(a\gt 0)$ 及 $\displaystyle x$ 轴所围成的平面图形，$\displaystyle V_{x}, V_{y}$ 分别是 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle x$ 轴， $\displaystyle y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积．若 $\displaystyle V_{y}=10 V_{x}$ ，求 $\displaystyle a$ 的值． |
| 17 | 解答题 | 设平面区域 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle x=3 y, y=3 x$ 及 $\displaystyle x+y=8$ 围成，计算 $\displaystyle \iint_{D} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ． |
| 18 | 解答题 | 设生产某商品的固定成本为 60000 元，可变成本为 20 元／件，价格函数为 $\displaystyle p=60-\frac{Q}{1000}$ （ $\displaystyle p$ 是单价，单位：元；$\displaystyle Q$ 是销量，单位：件）。已知产销平衡，求：
（I）该商品的边际利润；（II）当 $\displaystyle p=50$ 时的边际利润，并解释其经济意义；（III）使得利润最大的定价 $\displaystyle p$ 。 |
| 19 | 解答题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(0)=0$ 且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=2$ 。证明：（ I ）存在 $\displaystyle a\gt 0$ ，使得 $\displaystyle f(a)=1$ ；（II）对（I）中的 $\displaystyle a$ ，存在 $\displaystyle \xi \in(0, a)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{1}{a}$ ． |
| 20 | 解答题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & a \\ 1 & 0\end{array}\right), \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & b\end{array}\right)$ ．当 $\displaystyle a, b$ 为何值时，存在矩阵 $\displaystyle \mathbf{C}$ 使得 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{C}-\mathbf{C} \mathbf{A}=\mathbf{B}$ ，并求所有矩阵 $\displaystyle \mathbf{C}$ 。 |
| 21 | 解答题 | 设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2\left(a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+a_{3} x_{3}\right)^{2}+\left(b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+b_{3} x_{3}\right)^{2}$ ，记
$$
\mathbf{\alpha}=\left(\begin{array}{l}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3}
\end{array}\right), \quad \mathbf{\beta}=\left(\begin{array}{l}
b_{1} \\
b_{2} \\
b_{3}
\end{array}\right) .$$
（I）证明二次型 $\displaystyle f$ 对应的矩阵为 $\displaystyle 2 \mathbf{\alpha} \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}}+\mathbf{\beta} \mathbf{\beta}^{\mathrm{T}}$ ；（II）若 $\displaystyle \mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}$ 正交且均为单位向量，证明 $\displaystyle f$ 在正交变换下的标准形为 $\displaystyle 2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ． |
| 22 | 解答题 | 设 $\displaystyle (X, Y)$ 是二维随机变量，$\displaystyle X$ 的边缘概率密度为 $\displaystyle f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}3 x^{2}, & 0\lt x\lt 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 在给定 $\displaystyle X=x$$\displaystyle (0\lt x\lt 1)$ 的条件下 $\displaystyle Y$ 的条件概率密度为$$
f_{Y \mid X}(y \mid x)= \begin{cases}\frac{3 y^{2}}{x^{3}}, & 0\lt y\lt x, ~ \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}$$
（I）求 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度 $\displaystyle f(x, y)$ ；（II）求 $\displaystyle Y$ 的边缘概率密度 $\displaystyle f_{Y}(y)$ ；（III）求 $\displaystyle P\{X\gt 2 Y\}$ 。 |
| 23 | 解答题 | 设总体 $\displaystyle X$ 的概率密度为$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{\theta^{2}}{x^{3}} \mathrm{e}^{-\frac{\theta}{x}}, & x\gt 0, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$$
其中 $\displaystyle \theta$ 为末知参数且大于零。 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $\displaystyle X$ 的简单随机样本．（I）求 $\displaystyle \theta$ 的矩估计量；（II）求 $\displaystyle \theta$ 的最大似然估计量． |