2013年 数学二 真题

共23题

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#题型题目
1选择题设 $\displaystyle \cos x-1=x \sin \alpha(x)$ ，其中 $\displaystyle |\alpha(x)|\lt\frac{\pi}{2}$ ，则当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时，$\displaystyle \alpha(x)$ 是（）
A比 $\displaystyle x$ 高阶的无穷小量。
B比 $\displaystyle x$ 低阶的无穷小量。
C与 $\displaystyle x$ 同阶但不等价的无穷小量。
D与 $\displaystyle x$ 等价的无穷小量。
2选择题设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 由方程 $\displaystyle \cos (x y)+\ln y-x=1$ 确定，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f\left(\frac{2}{n}\right)-1\right]=()$
A2．
B1 ．
C-1 ．
D-2 ．
3选择题设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x, & 0 \leqslant x\lt\pi, \\ 2, & \pi \leqslant x \leqslant 2 \pi,\end{array} \quad F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则（ ）
A$\displaystyle x=\pi$ 是函数 $\displaystyle F(x)$ 的跳跃间断点．
B$\displaystyle x=\pi$ 是函数 $\displaystyle F(x)$ 的可去间断点．
C$\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle x=\pi$ 处连续但不可导。
D$\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle x=\pi$ 处可导。
4选择题设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{(x-1)^{\alpha-1}}, & 1\lt x\lt\mathrm{e}, \\ \frac{1}{x \ln ^{\alpha+1} x}, & x \geqslant \mathrm{e} .\end{array}\right.$ 若反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则（ ）
A$\displaystyle \alpha\lt-2$ ．
B$\displaystyle \alpha\gt 2$ ．
C$\displaystyle -2\lt\alpha\lt 0$ ．
D$\displaystyle 0\lt\alpha\lt 2$ ．
5选择题设 $\displaystyle z=\frac{y}{x} f(x y)$ ，其中函数 $\displaystyle f$ 可微，则 $\displaystyle \frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=()$
A$\displaystyle 2 y f^{\prime}(x y)$ ．
B$\displaystyle -2 y f^{\prime}(x y)$ ．
C$\displaystyle \frac{2}{x} f(x y)$ ．
D$\displaystyle -\frac{2}{x} f(x y)$ ．
6选择题设 $\displaystyle D_{k}$ 是圆域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 在第 $\displaystyle k$ 象限的部分。记 $\displaystyle I_{k}=\iint_{D_{k}}(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y(k=1,2$ ， 3，4），则（ ）
A$\displaystyle I_{1}\gt 0$ ．
B$\displaystyle I_{2}\gt 0$ ．$\displaystyle (\mathrm{C}) I_{3}\gt 0$.
C$\displaystyle I_{4}\gt 0$ ．
7选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ 均为 $\displaystyle n$ 阶矩阵。若 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{B}=\mathbf{C}$ ，且 $\displaystyle \mathbf{B}$ 可逆，则（ ）
A矩阵 $\displaystyle \mathbf{C}$ 的行向量组与矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的行向量组等价。
B矩阵 $\displaystyle \mathbf{C}$ 的列向量组与矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的列向量组等价。
C矩阵 $\displaystyle \mathbf{C}$ 的行向量组与矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ 的行向量组等价。
D矩阵 $\displaystyle \mathbf{C}$ 的列向量组与矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ 的列向量组等价。
8选择题矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1\end{array}\right)$ 与 $\displaystyle \left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件为（ ）
A$\displaystyle a=0, b=2$ ．
B$\displaystyle a=0, b$ 为任意常数．
C$\displaystyle a=2, b=0$ ．
D$\displaystyle a$
9填空题$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[2-\frac{\ln (1+x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
10填空题设函数 $\displaystyle f(x)=\int_{-1}^{x} \sqrt{1-\mathrm{e}^{t}} \mathrm{~d} t$ ，则 $\displaystyle y=f(x)$ 的反函数 $\displaystyle x=f^{-1}(y)$ 在 $\displaystyle y=0$ 处的导数 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}\right|_{y=0}=$$\displaystyle \_\_\_\_$ ．
11填空题设封闭曲线 $\displaystyle L$ 的极坐标方程为 $\displaystyle r=\cos 3 \theta\left(-\frac{\pi}{6} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{6}\right)$ ，则 $\displaystyle L$ 所围平面图形的面积是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\arctan t, \\ y=\ln \sqrt{1+t^{2}}\end{array}\right.$ 上对应于 $\displaystyle t=1$ 的点处的法线方程为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题已知 $\displaystyle y_{1}=\mathrm{e}^{3 x}-x \mathrm{e}^{2 x}, y_{2}=\mathrm{e}^{x}-x \mathrm{e}^{2 x}, y_{3}=-x \mathrm{e}^{2 x}$ 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程满足条件 $\displaystyle \left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ 的解为 $\displaystyle y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
14填空题设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(a_{i j}\right)$ 是 3 阶非零矩阵，$\displaystyle |\mathbf{A}|$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的行列式，$\displaystyle A_{i j}$ 为 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式。若 $\displaystyle a_{i j}+A_{i j}=0 (i, j=1,2,3)$ ，则 $\displaystyle |\mathbf{A}|=$
15解答题当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时， $\displaystyle 1-\cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 3 x$ 与 $\displaystyle a x^{n}$ 为等价无穷小量，求 $\displaystyle n$ 与 $\displaystyle a$ 的值．
16解答题设 $\displaystyle D$ 是由曲线 $\displaystyle y=x^{\frac{1}{3}}$ ，直线 $\displaystyle x=a(a\gt 0)$ 及 $\displaystyle x$ 轴所围成的平面图形，$\displaystyle V_{x}, V_{y}$ 分别是 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle x$ 轴， $\displaystyle y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。若 $\displaystyle V_{y}=10 V_{x}$ ，求 $\displaystyle a$ 的值。
17解答题设平面区域 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle x=3 y, y=3 x$ 及 $\displaystyle x+y=8$ 围成，计算 $\displaystyle \iint_{D} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
18解答题设奇函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上具有 2 阶导数，且 $\displaystyle f(1)=1$ ．证明：（ I ）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=1$ ；（ II ）存在 $\displaystyle \eta \in(-1,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\eta)+f^{\prime}(\eta)=1$ ．
19解答题求曲线 $\displaystyle x^{3}-x y+y^{3}=1(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．
20解答题设函数 $\displaystyle f(x)=\ln x+\frac{1}{x}$ ，（ I ）求 $\displaystyle f(x)$ 的最小值；（II）设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \ln x_{n}+\frac{1}{x_{n+1}}\lt 1$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限．
21解答题设曲线 $\displaystyle L$ 的方程为 $\displaystyle y=\frac{1}{4} x^{2}-\frac{1}{2} \ln x(1 \leqslant x \leqslant \mathrm{e})$ ，（I）求 $\displaystyle L$ 的弧长；（II）设 $\displaystyle D$ 是由曲线 $\displaystyle L$ ，直线 $\displaystyle x=1, x=\mathrm{e}$ 及 $\displaystyle x$ 轴所围平面图形，求 $\displaystyle D$ 的形心的横坐标．
22解答题设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & a \\ 1 & 0\end{array}\right), \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & b\end{array}\right)$ 。当 $\displaystyle a, b$ 为何值时，存在矩阵 $\displaystyle \mathbf{C}$ 使得 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{C}-\mathbf{C} \mathbf{A}=\mathbf{B}$ ，并求所有矩阵 $\displaystyle \mathbf{C}$ ．
23解答题设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2\left(a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+a_{3} x_{3}\right)^{2}+\left(b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+b_{3} x_{3}\right)^{2}$ ，记 $$ \mathbf{\alpha}=\left(\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}\right), \quad \mathbf{\beta}=\left(\begin{array}{l} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}\right) .$$ （I）证明二次型 $\displaystyle f$ 对应的矩阵为 $\displaystyle 2 \mathbf{\alpha} \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}}+\mathbf{\beta} \mathbf{\beta}^{\mathrm{T}}$ ；（II）若 $\displaystyle \mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}$ 正交且均为单位向量，证明 $\displaystyle f$ 在正交变换下的标准形为 $\displaystyle 2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ．